Лекция 5. Алгебры и алгебраические системы 2008 г.

Дискретная математика.
Математическая логика
Лекция 5. Алгебры
и алгебраические
системы
2008 г.
Проф., д.т.н. Гусева А.И. ,
доцент Порешин П.П.,
аспирант Цыплаков А.C.
Алгебра
.
Алгебра A=<M, S>
- это
совокупность множества М с
заданными на нем операциями
S={O1, O2, . . . ,On}
Множество
носителем
сигнатурой
М
называется
алгебры,
S
–
.
Группоиды – алгебры с одной
операцией
Алгебра вида A=<M, > , где –
двухместная операция, называется
группоидом
Если операция типа сложения, то
группоид называется аддитивным,
если операция типа умножение – то
группоид мультипликативный
В зависимости от свойств двухместной
операции , группоид может быть
коммутативным (абелевым),
идемпотентным или ассоциативным
Нейтральные элементы
Элемент называется правым нейтральным
элементом, если x  M _ x e  x
Элемент называется левым нейтральным
элементом, если x  M _ e x  x
Если элемент одновременно и левый и
правый, то он называется нейтральным
элементом (двухсторонним)
Если группоид <M, o> мультипликативный,
то нейтральный элемент называется
единицей и обозначается 1
Если группоид <M, o > аддитивный, то
нейтральный элемент называется нулем и
обозначается 0
Обратный элемент
Если для элемента а существует
обратный элемент а-1, то
1
a a a
1
ae
Теоремы
Т1. Никакой группоид не
может иметь более одного
нейтрального элемента
Т2. Обратный элемент
единственен
Свойства
Свойство коммутативности
a o b =b o a
Группоид
(х - мультипликативный,
+ - аддитивный )
Коммутативный
группоид
(абелев)
Моноид
(Полугруппа с 1)
Свойство
ассоциативности
(a o b) o c = a o (b o c)
Свойство идемпотентности
aoa=а
Ассоциативный
группоид
(полугруппа)
Группа
(Моноид с а-1)
Идемпотентный
группоид
Алгебры с двумя
операциями
Рассмотрим
алгебру с двумя
операциями
A=<M, +, x> , где
+ - операция типа
сложения
x – операция
типа умножения
Кольцо
(Х - мультипликативный группоид,
+ - абелева группа,
дистрибутивность Х относительно +)
Тело
( группа по умножению)
Поле
(абелева
мультипликативная группа)
Решетка
(ассоциативность,
коммутативность,
идемпотентность,поглощение )
Кольцо
a  (b  c )  (a  b )  c
0  M , a _ a  0  0  a  а
Существует 0
Абелева
группа
по
сложению
a _ a _ a  a  0
Существует
обратный элемент
a b  ba
Сложение
коммутативно
a  (b  c )  (a  b)  c
Умножение
ассоциативно
Полугруппа
по
умножению
a  (b  c )  a  b  a  c
Умножение
дистрибутивно
Выполняютс
я законы
дистрибутив
ности
1
.
Сложение
ассоциативно
1
(b  c )  a  b  a  c  a
Тело
a  (b  c )  (a  b )  c
0  M , a _ a  0  0  a  а
1
1
a _ a _ a  a  0
Сложение
ассоциативно
Существует 0
Существует
обратный элемент
a __ a 1 _ a  a 1  0
Сложение
коммутативно
Умножение
ассоциативно
Существует
обратный элемент
1  M , a  0 _ a  1  1  a  а
Существует 1
a b  ba
a  (b  c )  (a  b)  c
a  (b  c ) .a  b  a  c
(b  c )  a  b  a  c  a
Абелева
группа
по
сложению
Умножение
дистрибутивно
Группа по
умножению
Выполняютс
я законы
дистрибутив
ности
Поле
0  M , a _ a  0  0  a  a
Сложение
ассоциативно
Существует 0
a _ a 1 _ a  a 1  0
Существует обратный
элемент
a  (b  c )  (a  b )  c
a b  ba
a  (b  c )  (a  b)  c
a __ a 1 _ a  a 1  0
a b  b a
1  M , a  0 _ a  1  1  a  а
a  (b  c )  a.  b  a  c
(b  c )  a  b  a  c  a
Сложение
коммутативно
Умножение
ассоциативно
Существует обратный
элемент
Абелева
группа
по
сложению
Абелева
группа
по
умножению
Умножение
коммутативно
Существует 1
Умножение
дистрибутивно
Выполняются
законы
дистрибутивн
ости
Решетка
Решетка – алгебра с двумя
_и_ ,
бинарными операциями
такими, что выполняются следующие
условия
a
a
a
b
a  a
a  a
bb
aa
a
b
a (b c )  (a b ) c
a (b c )  (a b ) c
(a b) a  a
(a  b) a  a
идемпотентность
коммутативность
ассоциативность
поглощение
Решетка
(ассоциативность,
коммутативность,
идемпотентность,поглощение )
Дистибутивная
решетка
(два закона)
дистибутивности
Виды решеток
Ограниченная
решетка
(законы с 0 и 1)
Решетка
с дополнением
( законы с
обратным элементом а-1)
a  (b c )  a b a c
a (b c )  (a b ) (a c )
0  M _ a _ 0 a  0
1  M _ a _ 1  a  1
a _ a 1 _ a  a 1  1_ a a 1  0
Алгебра множеств
(алгебра Кантора) –
дистрибутивная
ограниченная
решетка с
дополнениями
Дистрибутивная
решетка
Решетка
ограниченная
Решетка с
дополнениями
=
Классификация
Алгебра
Одна операция
Группоид
(х - мультипликативный,
+ - аддитивный )
Коммутативный
группоид
(абелев)
Ассоциативный
группоид
(полугруппа)
Моноид
(Полугруппа с 1)
Группа
(Моноид с а-1)
Две операции
Идемпотентный
группоид
Кольцо
(Х - мультипликативный группоид,
+ - абелева группа,
дистрибутивность Х относительно +)
Тело
( группа по умножению)
Поле
(абелева
мультипликативная группа)
Решетка
(ассоциативность,
коммутативность,
идемпотентность,поглощение )
Дистибутивная
решетка
(два закона)
дистибутивности
Решетка
с дополнением
( законы с
обратным элементом а-1)
Ограниченная
решетка
(законы с 0 и 1)