решение оптимальной задачи о саккадическом

РЕШЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ О САККАДИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ
ГЛАЗА, ОСУЩЕСТВЛЯЕМОМ ДВУМЯ МЫШЦАМИ
А.П. Кручинина
МГУ имени М.В.Ломоносова
a-kruch@yandex.ru
Аннотация. Саккада – это быстрое содружественное движение глаз. Данная работа посвящена
моделированию саккадического движения глаза как оптимального по быстродействию
движения. В качестве управления в оптимальной задаче рассматриваются скорости изменения
моментов сил глазодвигательных мышц агониста и антагониста.
Решение оптимальной задачи сравнивается с литературными данными. В
качестве критерия для сравнения решения и экспериментальных литературных данных
выбрана главная последовательность, выражающая зависимость между амплитудой и
продолжительностью саккады. Полученная по решению задачи оптимального
управления главная последовательность хорошо согласуется с имеющимися в
литературе результатами экспериментов.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ No 14-50-00029.
ВВЕДЕНИЕ
Процесс рассматривания человеком предметов, чтения и зрения в целом давно вызывал интерес.
Сегодня движения глаз хорошо регистрируются и методы определения положения глаза становится все
более совершенными, появляются публикации о возможностях использования записей движений глаз в
практических целях. Прежде всего, нужно упомянуть о применении окулографии в медицине и науке о
человеке. Изучение движений глаз, в том числе, саккадических, позволяет оценивать состояние ЦНС
пациента, его вестибулярного аппарата. Проведение последовательных окулографических исследований
позволяет оценить динамику течения заболевания. В некоторых случаях они используются для уточнения
диагноза [1]. Отдельный интерес представляют работы, в которых изучаются возможности оценки
функционального состояния человека-оператора по записям движений его глаз. Исследование движений
глаз включено в пред- и послеполетное обследование космонавтов [2–4].
УСЛОВИЯ ЧЕТКОГО ВИДЕНИЯ
Известно, что четкое видение рассматриваемого объекта возможно, если изображение этого объекта
проецируется на fovea (центральная область сетчатки глаза, обладающая наибольшей плотностью
фоторецепторов), находясь в конусе с углом раствора не более 2 , при этом угловая скорость движения
изображения объекта относительно сетчатки глаза (ретинальное скольжение) не должна превышать
[5].
Процесс зрительного восприятия организован как последовательность фиксаций взора на отдельных
точках, постоянно сменяющих одна другую, это показано в фундаментальной работе Ярбуса [6]. Смена
точки фиксации производится посредством быстрого движения глаза – саккады.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
При моделировании саккадического движения глаза используют различные аппроксимаци, от
наиболее простых, таких как прямая, косинусоида, функция Больцмана [7], до сложных кривых, получаемых
с учётом свойств глазного яблока, мягких тканей глазницы и свойств мышц. Не меньшее внимание
уделяется и управляющему сигналу.
Для сравнения результатов различных экспериментов и для сравнения моделей принято
использовать зависимость продолжительности саккады от амплитуды и максимальной угловой скорости
глаза на саккаде от амплитуды. Эти зависимости называются главной последовательностью.
Глазное яблоко, приводимое в движение парой мышц, будем считать абсолютно твердым телом,
движущимся согласно уравнению
где
– угол поворота глаза относительно головы, – осевой момент инерции глаза,
–
суммарный момент сил, приложенных со стороны глазодвигательных мышц,
– моменты сил
каждой из мышц, агониста и антагониста. В качестве ограниченного управления рассмотрим скорость
изменения каждого из моментов. Из физиологической литературы известно, что момент силы, создаваемый
глазодвигательной мышцей в состоянии покоя не равен нулю, а является небольшой величиной. Начальные
и конечные условия на момент примем равными
. Моменты времени, когда нарушаются и
восстанавливаются условия четкого видения, обозначим соответственно
Получаем задачу:
и
,
– время саккады.
(1)
При рассмотрении момента, приложенного к глазу со стороны пары мышц, как единой переменной,
задача принимает вид
(2)
Оптимальным управлением в задаче (2) является релейное управление. Решение задачи (1) не
должно противоречить задаче (2). Откуда получаем, что модуль
должен быть максимален, при
нарушении условий четкого видения. Решение задачи (1) для малых саккад совпадает с решением
оптимальной задачи без ограничений и находится с помощью принципа максимума Понтрягина. Траектория
не выходит на ограничение
, если амплитуда саккады не превосходит значения
, равного
приблизительно 27o.
Решение описанной задачи соответствует экспериментальным данным для амплитуд меньше .
В случае саккады амплитуды
единственно возможная ситуация выхода оптимальной
траектории на ограничение – приход изображающей точки в углы
и
и стояние в этих точках.
Время стояния изображающей точки в этих углах определяется амплитудой саккады. Начальное значение
для момента силы для этапа движения глаза составляет величину
– половину максимально
возможного момента сил.
При этом время, затрачиваемое на подготовку и реализацию саккады, можно вычислить по
формуле T
2
видения равно
Mb  M0
sI
 43
 2tгр . Однако собственно время, когда нарушено условие четкого
u*
2u*
43
sI
 2tгр .
2u*
Рис. 1.
Закон изменения моментов силы во время саккады.
СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Моменты переключений для саккад каждой амплитуды
находились в задаче (1) численно.
Сравнение результатов численного моделирования с главной последовательностью, приведенной в [8],
показывает качественное совпадение зависимости длительности саккады от её амплитуды на всем
рассмотренном диапазоне амплитуд.
Рис.2.
Сравнение решения задачи с литературными данными.
Литература
1.
Bahil, A.T., Troost, B. T. Types of saccadic eye movements // Neurology. – 1979. – Vol. 29, No. 8. – P. 1150-1152.
2.
Kornilova, L.N., Naumov, I.A., Glukhikh, D.O., et al. The effects of support-proprioceptive deprivation on visualmanual tracking and vestibular function // Human Physiology. – 2013. – Vol. 39, No. 5. – P. 462-471.
3.
Kornilova, L.N., Sagalovitch, S.V., Temnikova, V.V., et al. Static and dynamic vestibulo-cervico-ocular responses after
prolonged exposure to microgravity // Journal of Vestibular Research. – 2007. – Vol. 17, No. 5(6). – P. 217-226.
4.
Kornilova, L.N., Temnikova, V.V., Sagalovitch, S.V., et al. Effect of otoliths upon function of the semicircular canals
after long-term stay under conditions of microgravitation // Physiological Journal. – 2007. – Vol. 93, No. 2. – P. 128138.
5.
Штефанова О.Ю., Якушев А.Г. Критерий качества зрительного слежения при нистагме // Вестник
Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. – 2008. – № 4. – С. 63-65.
6.
Ярбус А.Л. Роль движений глаз в процессе зрения. – М.: Наука, 1965. – 173 с.
7.
Якушев А.Г., Напалков Д.А., Ратманова П.О. и др. Композиционный способ определения управления
глазодвигательными мышцами при саккаде // Российский журнал биомеханики. – 2011. – Т. 15, № 1. – С. 99109.
8.
Tanaka, H., Krakauer, J. W., Qian, N. An optimization principle for determining movement duration //
Neurophysiology. – 2006. – No. 95. – P. 3875-3886.