1 Элементы линейной алгебры

Определители II-го порядка
В общем виде система n-линейных уравнений
с n неизвестными записывается так :
a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1,
a21x1  a22 x2  a23 x3  ...  a2 n xn  b2,
an1 x1  an 2 x2  an3 x3  ...  ann xn  bn
(1)
X, Y, Z заменяются одной буквой X 1 ,X 2 , X 3 . В общем виде :
X k , K  1,2,.., n (K-порядковый номер неизвестной)
Коэффициенты при неизвестных обозначаются одной буквой
с двойным индексом a
#
a 13
ik
Коэффициент в первом уравнении
при неизвестной x 3
i-номер уравнения, k-номер неизвестной
b i – свободные члены , i - номер уравнения
Система двух уравнений с двумя неизвестными.
a11 x1  a12 x2  b1,
a21 x1  a22 x2  b2
(2)
Система трех уравнений с тремя неизвестными.
a11x1  a12 x2  a13 x3  b1,
a21x1  a22 x2  a23 x3  b2,
a31x1  a32 x2  a33 x3  b3
(3)
Для получения общего приема решения системы (1)
обратимся сначала в системе (2).
Def
#
Система, для которой существует хоть одно
1 : решение, называется совместной.
Система:
2 x1  3x2  8
4 x1  6 x2  16
Имеет сколь угодно решений:
(1;2),(-2;4),(4;0), и т.д.
Def 2 : Совместная система, имеющая единственное
решение, называется определенной.
Def 3 :
Совместная система, имеющая сколь угодно
решений, называется неопределенной.
Def 4 :
Система, не имеющая ни одного решения,
называется несовместной.
Перейдем к системе (2), используя способ
алгебраического сложения, с исключением
сначала неизвестной x 2 , а затем- неизвестной x 1 .
В результате получаем следующее решение:
b1a22  b2 a12
x1 
a11a22  a21a12
a11b2  a21b1
x2 
a11a22  a21a12
Возможны три случая:
1. Знаменатель не равен 0 
определенное решение.
2. Знаменатель = 0 и числитель не равен 0 
система решений не имеет, т.е. несовместна.
3. Знаменатель = 0 и числитель = 0 
система обращается в одно уравнение с двумя
неизвестными, т.е. оказывается
совместной, но неопределенной.
Для перехода к системе (1) используют определители.
Def
Выражение a 11 a 22 – a 21 a12 , являющееся
5 : знаменателем дробей, определяющих
значения неизвестных x 1 x2 , называется
определителем второго порядка.
Символ D – детерминант.
Составим таблицу из 4-х элементов, являющихся
коэффициентами при неизвестных в
рассматриваемой системе (2).
1
D
2
a11a12
a21a22
Главная диагональ
Побочная диагональ
Произведение элементов главной диагонали
берется со знаком «+», побочной со знаком «-».
D1 
b1a12
b2 a22
D1
x1 
D
и
D2 
a11b1
a21b2
D2
x2 
D
(4)
Определитель n-го порядка.
Записывается в виде квадратной таблицы, содержащей
n^2 элементов вида a ik , расположенных в n строках
и n столбцах:
a11a12 ...a1n
D
a21a22 ...a2 n
................
an1an 2 ...ann
Def 5 :
В раскрытом виде этот определитель представляет
алгебраическую сумму n членов, каждый из
которых является произведением n элементов,
взятых по одному из каждой строки и из каждого
столбца, причем знак всякого члена определяется
входящими в его состав элементами.
Главная диагональ:
Побочная диагональ:
Попарно равные
индексы
Элементы с
равными суммами
индексов
Правило Сарруса для
определителя III-го порядка
Существуют примеры облегченного вычисления
определителя. Для D з-го порядка такое вычисление легко
выписывается по алгебраической сумме 3!=6 членов,
записанной по правилу Сарруса , состоящему в том, что
основная таблица расширяется добавлением к ней справа
первого и второго столбцов:
a11a12a13a11a12
a21a22a23a21a22
a31a32a33a31a32
Из нее выписываются :
со знаком «+» три члена,
являющиеся произведениями трех членов в
направлении главной диагонали, начиная от
элементов верхней строки D,
и со знаком «-» три члена,
являющиеся произведениями трех
элементов в направлении побочной диагонали,
начиная от элементов нижней строки D.
Это дает следующую формулу:
a11a12a13
D  a21a22a23  a11a22a33  a12a23a31 
a31a32a33
a13a21a32  a31a22a13  a32a23a11  a33a21a12
(5)
#
2 1 1
D  2 4 3 
11 17  12
2  4(12)  11(1)( 3)  2 17 1 
(11 4 1  2(1)( 12)  2 17(3))  5
Ответ:5