Интегрирование дробно-рациональных функций ( ) P х

Интегрирование дробно-рациональных
функций
Дробно-рациональной функцией (или рациональной
дробью)называется функция,равная отношению двух
многочленов,т.е. f ( х)  Pm ( х) ,где Pm ( х )- многочлен
Qn ( х)
степени m,а Qn ( х ) -многочлен степени n.
Рациональная дробь называется правильной,если
степеньчислителя меньше степени знаменателя,т.е. m  n
в противном случае (если m  n )рациональная дробь
называется неправильной.
P( х)
Всякую неправильную рациональную дробь
Q( х)
можно,путем деления числителя на знаменатель
представить в виде суммы многочлена L( х) иPправильной
( х)
R( х)
R
(
х
)

L
(
х
)

рациональной дроби
т.е.
Q( х )
Q( х )
Q
(
х
)
Например P( х)  х 4  5 х  9
Q( х)
х2
Делим числитель на знаменатель в столбик.
Получим частное L( х)  х3  2 х 2  4 х  3 и остаток R( х)  15.
Следовательно х 4  5 х  9
15
3
2
 х  2х  4х  3 
х2
х2
Правильные рациональные дроби вида:
A
1)
ха
A
(k  2, k 
2)
k
( х  а)
Mх  N
3)
( х 2  pх  q)
Mх  N
4)
( х 2  pх  q)k
(корни комплексные,т.е. p 2  4q  0
)
(k >2,корни знаменателя комплексные),
Где А,а,М,N,р,q-действительные числа,называются
простейшими рациональными дробями 1,2,3 и 4 типов.
P( x)
,
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь
Q( x)
Знаменатель которой разложен на множители
Q( x)  ( x  x1 )k1  ( x  x2 )k2  ( x 2  p1 x  q1 ) s1  ...( x 2  pm x  qm ) sm ,
можно представить (и притом единственным образом ) в
виде следующей суммы простейших дробей:
Ak1
A1
A2
P( x)


 ... 

k1
2
Q( x)
( x  x1 ) ( x  x1 )
( x  x1 )
(*)
Bk2
B1
B2


 ... 
 ...
k2
2
x  x2
( x  x2 )
( x  x2 )

... 
Cs1 x  Ds1
C1 x  D1
C2 x  D2


...

 ...
x 2  p1 x  q1 ( x 2  p1 x  q1 ) 2
( x 2  p1 x  q1 ) s1
M sm x  N sm
M 1 x  N1
M 2 x  N2


...

,
x 2  pm x  qm
( x 2  pm x  qm ) 2
( x 2  pm x  qm ) sm
где A , A ,..., B , B ,..., C , D ,..., M , N ...  некоторые действительные
коэффициенты.
1
2
1
2
1
1
1
1
Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
1)
x2  4
A
B
C
D
( x  2)( x  3)
2)
3)
3

x2

x 3

( x  2)
2

( x  3)
3
;
x3  1
A
B
Cx  D

 2 
;
2
2
2
x ( x  1)
x
x
x 1
7 x2  8x  9
A
B
Cx  D
Mx  N


 2
 2
.
2
2
2
( x  1)( x  2)( x  x  1) x  1 x  2 x  x  1 ( x  x  1)
Для нахождения неопределённых коэффициентов A1 , A2 ,..., B1 , B2 ,
Можно применить метод сравнивания коэффициентов.
Суть метода такова:
1) В правой части равенства(*)приведем к общему
знаменателю Q ( x ) ;в результате получим тождество
P( x) S ( x)

, гдеS(x)-многочлен с
Q( x) Q( x)
неопределёнными
коэффициентами.
2)Так как в полученном тождестве знаменатели равны ,то
тождественно равны и числители, т.е. P( x)  S ( x)(**) x
A1 , A2 ,..., B1 ,...
3)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих частях тождества, получим систему линейных
уравнений ,из которой и определим искомые
коэффициенты
2 x  3x  3
Пример:
Представить дробь
2
(
x

1)(
x
 2 x  5)
В виде суммы простейших дробей.
Решение: Согласно теореме имеем:
2
2 x 2  3x  3
A
Bx  C

 2
2
( x  1)( x  2 x  5)
x 1 x  2x  5
2 x 2  3x  3
A( x 2  2 x  5)  ( x  1)( Bx  C )

2
( x  1)( x  2 x  5)
( x  1)( x 2  2 x  5)
Отсюда следует
2 x 2  3x  3  Ax 2  2 Ax  5 A  Bx 2  Cx  C,
2 x 2  3x  3  ( A  B) x 2  (2 A  B  C ) x  (5 A  C )
2
1
0
Приравнивая коэффициенты при x , x , x , получаем
2 

3 
3 

A B
2 A  B  C
5A  C
Решаем систему, находим, что
A  1, B  3, C  2
2 x  3x  3
1
3x  2

 2
2
( x  1)( x  2 x  5)
x 1 x  2x  5
2
Для нахождения неопределённых коэффициентов
применяют также метод отдельных значений аргумента
после получения тождества(**) аргументу х придают
конкретные значения столько раз, сколько
Q( x)) вместо
неопределённых коэффициентов(обычно полагают
х значения действительных корней многочлена
Найдём интегралы от простейших рациональных дробей.
1)
A
l ( x  a)
 х  adx  
xa
 A  ln x  a  C
(формула (2) таблицы интегралов)
2)
 k 1
A
( x  a)
k
 ( x  a)k dx  A   ( x  a) d ( x  a)  A  k  1  C
(формула (1))
Mx  N
3)
Выделяем в знаменателе полный
dx
. x2  px  q
квадрат, делаем замену и подстановку в числителе.
3x  1
 x 2  2 x  10dx
Пример: Найти
Решение: x 2  2 x  10  ( x  1)2  9
x 1  t 
3x  1
3x  1


dx


x

t

1

2
2
 x  2 x  10  ( x  1)  9 

 dx  dt 
3(t  1)  1
tdt
dt
3 2
 t 2  9 dt  3 t 2  9  2 t 2  9  2 ln(t  9) 
2
t
3
2
x 1
2
arctg  C  ln( x  2 x  10)  arctg
 C.
3
3
2
3
3
Интегрирование рациональных дробей
Сформулируем общее правило интегрирования
рациональных дробей:
1).Если дробь неправильная, то представить её в виде
суммы многочлена и правильной дроби;
2)Разложив знаменатель правильной рациональной дроби
на множители , представить её в виде суммы простейших
рациональных дробей;
3)Проинтегрировать многочлен и полученную сумму
простейших дробей.
Пример:Найти интеграл

x  2x  4x  4
dx
4
3
2
x  2x  2x
5
3
Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь;
выделим её целую часть путём деления числителя на
знаменатель. Получаем:
x5  2 x3  4 x  4
4 x3  4 x 2  4 x  4
 x2
4
3
2
x  2x  2x
x 4  2 x3  2 x 2
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие
дроби:
4 x3  4 x 2  4 x  4 4 x3  4 x 2  4 x A B
Cx  D
 2 2
  2 2
,
4
3
2
x  2x  2x
x ( x  2 x  2) x x x  2 x  2
т.е.4 x3  4 x 2  4 x  4  Ax( x 2  2 x  2)  B( x 2  2 x  2)  (Cx  D) x 2 ,
т.е.4 x3  4 x 2  4 x  4  ( A  C ) x3  (2 A  B  D) x 2  (2 A  2 B) x  2 B.
Отсюда следует,что
Находим :
 AC
2 A  B  D


 2 A  2B

2B




4
4
4
,
,
,

4
.
B  2, A  0, C  4, D  2.
Таким образом получаем ,что:
4 x3  4 x 2  4 x  4
2
4x  2
 2  2
4
3
2
x  2x  2x
x
x  2x  2
x5  2 x3  4 x  4
2
4x  2
и
 x2 2  2
.
4
3
2
x  2x  2x
x
x  2x  2
Найдем искомый интеграл, преобразуя подынтегральную дробнорациональную функцию, представляя её в виде полученной
суммы.
x  2x  4x  4
2
4x  2
 x4  2 x3  2 x2 dx   ( x  2  x2  x2  2x  2 )dx 
2
x
2
4x  2
 2x   
dx.
2
2
x ( x  1)  1
5
3
НАЙДЁМ ИНТЕРГАЛ:
4x  2
4t  4  2
4t  2
tdt
dt
 ( x  1)2  1dx   t 2  1 dt   t 2  1 dt  4 t 2  1  2 t 2  1 
1
4  ln(t 2  1)  2arctg (t )  C  2 ln( x 2  2 x  2)  2 frctg ( x  1)  C.
2
Следовательно,
x  2x  4x  4
 x4  2 x3  2 x 2 dx 
2
x
2
2
 2 x   2 ln( x  2 x  2)  2 ar ctg ( x  1)  C
2
x
5
3
Отметим,что любая рациональная функция интегрируется в
элементарных функциях.
Пример:Вычислить
x3  x  2
I 
dx
( x  3)( x  4)
Решение: Преобразуем знаменатель дроби
( x  3)( x  4)  x 2  7 x  12
Выделим целую часть в дроби (поделим многочлен, стоящий в
числителе на многочлен знаменателя)
x3  x  2
38 x  82
38 x  82

x

7


x

7

x 2  7 x  12
x 2  7 x  12
( x  3)( x  4)
Поэтому
38x  82
1 2
38 x  82
I   (x  7 
)dx  x  7 x  
dx
( x  3)( x  4)
2
( x  3)( x  4)
Дробь
38 x  82
A
B


( x  3)( x  4) x  3 x  4
Умножая обе части равенства на(х-3)(х-4),получаем
38 x  82  A( x  4)  B( x  3)  Ax  4 A  Bx  3B
38 x  82  x( A  B)  (4  3)
x1
x0
:
:
A  B  38
4  3  82
Решая систему с двумя неизвестными находим значения
А=-32;В=70.
38 x  82
32
70
Дробь


( x  3)( x  4)
А
x 3
x4
1 2
32
70
I  x  7 x   (

) dx 
2
x3
x4
1 2
 x  7 x  32 ln x  3  70 ln x  4  C .
2
Пример: Вычислить
xdx
I 
3
1 x
Решение: Так как
1  x3  (1  x)(1  x  x 2 ),
А корни трёхчлена комплексны, то дробь запишем в виде
x
A
Bx  C



3
2
1 x 1 x 1 x  x
A(1  x  x 2 )  ( Bx  C )(1  x) A  Ax  Ax 2  Bx  Bx 2  C  Cx


2
2
(1  x)(1  x  x )
(1  x)(1  x  x )
x ( A  B)  x( A  B  C )  ( A  C )

(1  x)(1  x  x 2 )
2
x;
A  B  0;
A  B;
x1;  A  B  C  1; ( B)  B  C  1;
x2 ;
A  C  0;
 B  C  0;
A B
2B  C  1
B  C  0
1
1
1
Откуда вычитая из(2)-(3) получим: 3B  1; B  ; A   ; C 
3
3
3
1
1
1
x

Таким образом имеем: A  Bx  C   3  3
3 ;
1  x 1  x  x2 1  x 1  x  x2
Тогда:
1
1
1
x
x 1
3 )dx   1 dx  1
I   ( 3  3
dx 
2
2


1 x 1 x  x
3 1 x 3 1 x  x
Решим отдельно второй интеграл т.к. первый табличный №2:
1 1
1
3
1 x 1
1 x  2  2 1
1 x 2
1
2 dx 
dx

dx

dx

3  1  x  x2
3  1  x  x2
3  1  x  x2
3  1  x  x2
1
 1  x  x2  t 
Пусть  2
1)
x

dt
1
1
2
d
(
x

x

1)

dt
2


dx


ln
t

ln(
x
 x  1)  C
2


 2 x  1  dt 
x  x 1
2t 2
2



2)
1 dt
x 
2 2
3



dx
dx
2 dx  3


 x2  x  1 2  2
1
1
3 
1 2 3
(x  2  x  ) 
(x  ) 
2
4
4
2
4
3
 
2
dx
1 2
3 2
(x  )  ( )
2
2
1
x
3 2
2x 1
2
 
arctg
 3arctg

2 3
3 2
3
1
1 1
1
2x 1
2
I   ln 1  x   ln x  x  1   3 ar ctg
C
3
3 2
3
3
1
1
3
2x 1
2
Ответ :  ln 1  x  ln x  x  1  arctg
C
3
6
3
3