Б3.В.20 Математическая логикаx

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся
по дисциплине (модулю):
Общие сведения
М и ММЭ
1.
Кафедра
2.
Направление подготовки
3.
4.
Дисциплина (модуль)
Тип заданий
Количество этапов формирования компетенций
(ДЕ, разделов, тем и т.д.)
5.
050100 "Педагогическое образование"
Математическая логика
Контрольные задания
3
Перечень компетенций
ОК-1 - владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации,
постановке цели и выбору путей её достижения
ОК-6 - способен логически верно строить устную и письменную речь
ПК-2 способностью решать задачи воспитания и духовно-нравственного развития
личности обучающихся;
Критерии и показатели оценивания компетенций
Знания: основные формы логического мышления и идеи математической логики; основные
классические факты, утверждения и методы указанной предметной области.
Умения: переводить на формальный язык простые суждения и умозаключения, определять их
логическую корректность и логическую состоятельность.
Навыки: выделение главных смысловых аспектов в доказательствах, владение проблемно-задачной
формой представления математических знаний
Опыт деятельности: решение типовых задач в указанной предметной области
Этапы формирования компетенций
1.
Основные формы логического мышления.
2.
Исчисление высказываний
3.
Исчисление предикатов
Итого
6
8
6
20
Шкала оценивания (за правильный ответ дается 1 балл)
«2» – 60% и менее
«3» – 61-80%
«4» – 81-90%
«5» – 91-100%
Типовое контрольное задание
Допустим, что S обозначает всех людей, которых зовут Лаура, а P обозначает крупных начальников.
Какие из следующих формул означают, что не всех крупных начальников зовут Лаура?
а) x(S(x) P(x));
б) x(P(x)  S(x));
в) x(S(x)  P(x));
г) x(P(x)  S(x))
Выберите правильные ответы.
Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний
Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля.
1. Основные формы логического мышления.
2. Логическая структура понятия, как формы логического мышления.
3. Логическая структура суждения.
4. Категорические силлогизмы Аристотеля.
5. Язык логики высказываний.
6. Семантика ИВ, тождественно истинные, выполнимые формулы.
7. Эквивалентные формулы. Основные эквивалентности.
8. Аксиомы и правила вывода в ИВ.
9. Теорема дедукции ИВ.
10. Семантическая выводимость в ИВ. Доказательство того, что из выводимости следует
семантическая выводимость.
11. Лемма о выводимости.
12. Теорема о полноте ИВ.
13. Сигнатура. Предикаты, операции, константы. Модель сигнатуры. Изоморфизм моделей.
Понятие подмодели.
14. Термы. Понятие формулы ИП с равенством. Свободные и связанные вхождения
переменной в формулу. Замкнутые формулы.
15. Истинность формулы ИП на модели.
16. Аксиоматизируемые классы моделей. Примеры.
17. Аксиомы и правила вывода ИП.
18. Вывод в ИП. Примеры.
19. Теорема дедукции в ИП. Приведенный вывод.
20. Противоречивые и непротиворечивые множества формул в ИП.
21. Теорема о полноте ИП.
22. Представление об аксиоматической теории множеств. Аксиомы ZF.
23. Констуктивность понятия вывода в ИП. Представление о программе Гильберта. Вторая
теорема Геделя о неполноте.
Контрольные вопросы и задания для контроля самостоятельной работы.
1. Составить таблицу истинности для формул:
a) (AB)(BC)
b) (AB) (BC)
c) (AB) (BC)
d) (AB) (BC)
e) (AB) (BC)
f) (ABC) (ABC)
g) (AB)(BC)
2. Упростить формулы:
a) (AB)(BC)(BC)
b) (AB)(BC) (AC)
c) (AB) (BC) (BC)
d) ((AB)(BC)) (AC)
2
e) (AB)( (BC) (AC))
f) (ABC)(ABC)
g) (AB)(B(AC))
3. Решить следующие логические задачи.
У Фрэнка Стоктона есть сказка, которая называется «Принцесса или тигр?» В этой сказке один.
В некотором царстве правил король. Однажды потехи ради он решил устроить для
заключенных своей тюрьмы следующее испытание. Были приготовлены две комнаты. В каждую из
комнат посадили либо тигра, либо принцессу. Узник должен угадать, в какой из двух комнат
находится принцесса, а в какой — тигр. Если он укажет на первую комнату, то женится на принцессе,
если на вторую, то его растерзает тигр. Далее король приказал:
— Я не хочу полагаться на случайности. Пусть на дверях каждой комнаты повесят по табличке,
а заключенному будет кое-что сказано о них. Если узник не дурак и способен рассуждать логически,
он сумеет сохранить себе жизнь и в придачу заполучить прелестную невесту.
Испытания первого дня.
В самый первый день были проведены три испытания. При этом король объявил узнику, что в
ходе всех трех испытаний в каждой из комнат будет находиться либо принцесса, либо тигр, хотя
вполне может статься, что сразу в обеих комнатах обнаружится по тигру или там окажутся одни
лишь принцессы.
1. Первое испытание.
На табличках было написано:
При этом король добавил: На однойтабличке —правда, на другой — нет.
Какую дверь вы бы открыли?
2. Второе испытание.
Итак, первый узник спас себе жизнь и на радостях отбыл вместе с принцессой
Таблички на дверях сменили, соответственно были подобраны и обитатели комнат. На этот раз
на табличках можно было прочитать следующее:
-Истинны ли утверждения на табличках? — спросил второй узник.
-Может, оба истинны, а может, оба ложны,— ответил ему король.
Какую из комнат следует выбрать второму узнику?
3
3. Третье испытание.
Во время этого испытания король объявил, что опять утверждения на обеих табличках
одновременно либо истинны, либо ложны. Надписи же были вот какие:
День второй
И во всех испытаниях этого дня относительно левой комнаты (комната I) король говорил:
-Если в этой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, если же тигр,
ложно.
В правой же комнате (комната II) все было наоборот: утверждение на табличке ложно, если в
комнате находится принцесса, и истинно, если в комнате сидит тигр. Ну и опять же, вполне может
статься, что в обеих комнатах находятся принцессы или в них сидит по тигру, либо, наконец, в одной
комнате пребывает принцесса, а в другой — тигр.
4. Четвертое испытание.
Объявив эти правила следующему узнику, король указал на две новые таблички:
Какую из комнат следует выбрать на этот узнику?
5. Испытание пятое.
Условия те же, а таблички вот какие:
6. Испытание шестое.
Надписи на табличках:
Как должен поступить узник?
7. Испытание седьмое.
Теперь на табличках было написано:
4
8. Испытание восьмое.
Табличек нет.
- На дверях же нет никаких табличек! – воскликнул следующий узник.
- Совершенно верно,— заметил король.— Их только что изготовили и не успели повесить.
- Так как же мне выбирать? — спросил узник.
- А вот эти таблички,— ответил король.
— Очень мило,— обеспокоился узник,— а какую куда?
Король призадумался.
— А тебе это знать вовсе не обязательно,— сказал он наконец.— Задача решается и так. Только
не забудь, конечно,— добавил он,— что если принцесса в левой комнате, то утверждение на табличке
у этой двери будет истинным, а если там тигр, то ложным. Для правой же комнаты — все наоборот.
Каково решение задачи в этом случае?
Третий день
На этот раз приготовили три комнаты вместо двух. В одну поместили принцессу, а в две другие
— по тигру.
9. Испытание девятое.
Узнику были предложены на выбор три комнаты, в одной из которых, как объяснил король,
находилась принцесса, а в двух других сидели тигры.
На дверях комнат были повешены следующие таблички:
При этом король добавил, что по крайней мере одно из этих утверждений является истинным.
Где принцесса?
10. Испытание десятое.
Снова в комнаты поместили лишь одну принцессу и двух тигров. Король объяснил узнику, что
на этот раз табличка на двери, за которой находится принцесса, говорит правду, а из двух других
надписей по меньшей мере одна является ошибочной.
Сами же таблички имели такой вид:
5
11. Испытание одиннадцатое.
Это испытание было еще каверзнее. Король объяснил узнику, что в одной из комнат сидит
принцесса, в другой — тигр, а третья комната пуста. При этом надпись на двери комнаты, в которой
находится принцесса,— истинна, надпись на двери, за которой сидит тигр, — ложна, а то, что
написано на табличке у пустой комнаты, может оказаться как истинным, так и ложным. Вот эти
таблички:
Где принцесса, а где тигр?
6