Просто, сложно, интересно: Принцип Дирихле Принцип Дирихле Если в n клетках сидят m зайцев, причём m > n, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца. Пусть в n клетках сидят m зайцев, причём n > m. Тогда найдется хотя бы одна пустая клетка. Главная трудность состоит в том, что в каждой конкретной задаче нелегко понять, что (кто) же здесь выступает в роли «зайцев», а что (кто) – в роли «клеток». Далеко не всегда по формулировке задачи можно определить, что следует применить принцип Дирихле Некоторые задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле, можно решить, используя метод доказательства от противного Задача № 1. В классе 27 учеников. Найдётся ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем три ученика этого класса. Решение. 12 месяцев - «клетки», а 27 учеников «зайцы». Так как 27 > 12 * 2 , то по принципу Дирихле найдётся «клетка», в которой сидят не менее 3 «зайцев», то есть найдётся месяц, в котором дни рождения отмечают не менее 3 учеников. Задача № 2. Грани куба окрашены в 2 цвета. Докажите, что найдутся две соседние одноцветные грани. Задача № 3. В квадратном ковре со стороной 1 м моль проела 51 дырку (дырка — точка). Докажите, что некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок. Решение. Количество заплаток, которым можно накрыть весь ковёр, равно 10000 : 400 = 25. 1м Примем за «клетки» - заплатки , а за «зайцев» - дырки. 51 : 25 = 2 ( 1 ост.), 51>25 *2, значит, по принципу Дирихле какая-то из этих заплаток накроет не менее трех дырок. 20 см Задача № 4. Докажите, что никакая прямая не может пересекать все три стороны треугольника. A b a l B C Задача № 5. 16 учеников сидят за круглым столом, причем больше половины из них девушки. Докажите, что какие-то две девушки сидят напротив друг друга. Решение. Образуем 8 пар, в каждую пару включим учеников, сидящих напротив друг друга. Примем за «клетки» - пары, а за «зайцев» - девушек. Так как девушек больше половины, то найдётся «клетка» (пара), в которой будут находиться 2 девушки. Задача №6. Можно ли в таблице 6×6 расставить числа 0, 1 и -1 так, чтобы все суммы по вертикалям, горизонталям и двум диагоналям были различны? Решение. Наименьшая из всех возможных сумм, равна -6, наибольшая сумма равна 6. Можно получить и любую сумму от -6 до 6. Суммы могут принимать 13 различных значений, причем в отдельных строках или столбцах суммы могут повторяться. 13 различных сумм примем за «зайцев», а столбцы, строки и диагонали таблицы – за «клетки». Число «клеток» равно 14, число «зайцев» 13. Следовательно, по принципу Дирихле, найдётся одна свободная клетка. Это означает, что где-то суммы будут совпадать. Задача №7. Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5. Решение. При делении целого числа на 5 возможны 5 остатков: 0, 1, 2, 3, 4. Остатки – «клетки». Шесть целых чисел – «зайцы».Число зайцев больше числа клеток, значит, по принципу Дирихле, среди них обязательно найдутся два числа с одинаковыми остатками (а = 5n + k , b = 5p + k). Рассмотрим их разность: a – b = 5n + k – 5p – k = 5 (n – p), то есть разность делится на 5. Задача № 8. В ящике лежат 105 яблок четырех сортов. Докажите, что среди них найдутся, по крайней мере, 27 яблок одного сорта. Решение «Зайцы» - яблоки, а «клетки» - сорта яблок. 105 : 4 = 26 (1 ост.), 105> 26 * 4. Тогда по принципу Дирихле найдётся клетка, в которой сидит по крайней мере 27 «зайцев», то есть найдётся 27 яблок одного сорта. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!