Квадратный трехчлен и теорема Виета_Груздев А, Тэн В

Квадратный трёхчлен и
теорема Виета
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Что называется квадратным трёхчленом
• Формулировка теоремы Виета и
доказательство
• Примеры заданий для решения
квадратных трёхчленов
1
2
4
Выражение Зх2 -2x-5 является многочленом второй степени с одной
переменной. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.
Квадратным трехчленом называется многочлен вида ах2 + bх + с, где х —
переменная, а, Ь и с — некоторые числа, причем а не равно 0.
0011
0010 1010
1101 0001
0100 1011
Значение
квадратного
трехчлена
Зх2 - 2х - 5 зависит
от значения х. Так, например: если х = 5, то Зх2 - 2х - 5 = 60;
если х = 1у то Зх2 - 2х - 5 = -4;
если х = -1, то 3x2 - 2х -5 = 0;
если х = 2, то Зх2 - 2x - 5 = 3.
Мы видим, что при х - 1 квадратный трехчлен
Зх2 - 2х - 5 обращается в нуль. Говорят, что число - 1 является корнем этого
трехчлена.
Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при
котором значение этого трехчлена равно нулю.
Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена
ах2 + bх + с, надо решить квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0.
1
2
4
Если х1 и х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с, то
ах2 + bх + с = а (х - х1) (х - х2).
Доказательство:
Вынесем за скобки в многочлене ах2 + bх + с множитель а.
0011
0010 1010 1101 0001 0100 1011
Получим:
ах2 +bх + с =а(x2+(b/a)x +c/a)
Так как корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с являются также корнями
квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, то по теореме Виета
x1+x2=-b/a, x1*x2 = c/a
Отсюда
b/a , = -(x1+ x2), а
c/a=x1*x2
Поэтому
х2 + b/a х + c = х2 -(x1 + х2)х + х1 *х2 =x2 - x1x -x2x +x1x2 =x (x - x1)-x2(x-x1)=(x-x1)(x -x2)
Итак,
ах2 + bх + с = а (x - х1) (x - х2). ч.и.т.д.
1
2
4
Заметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя
разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.
Доказательство:
Пусть трехчлен ах2 + bх + с не имеет корней. Предположим, что его можно
представить в виде произведения многочленов первой степени:
ах2 + bх + с = (kx + т) (рх + q),
где k, 1010
т, р и1101
q — некоторые
числа,
0011 0010
0001 0100
1011причем k не равно 0 и p не равно 0.
Произведение (kx + т) (рх + q) обращается в
нуль при x=-m/k и x=-q/p Следовательно, при этих значениях х обращается
в нуль и трехчлен
ах2+ bх + с, т.е. числа -m/k и -q/p — являются его корнями. Мы пришли к
противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.
1
2
4
Основоположником этой теоремы был Франсуа Виет- выдающийся
французский математик XVI века, положивший начало алгебре как
науке. По образованию и основной профессии — юрист, по
склонности души — математик.
Биография
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
•
Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской
провинции Пуату — Шарант. Отец Виета был юристом,
а мать (Маргарита Дюпон) происходила из знатной
семьи, что облегчило дальнейшую карьеру её сына.
•
Учился сначала в местном францисканском монастыре, а
затем — в университете Пуатье, где получил степень
бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской
практикой в родном городе.
•
Около 1570 года подготовил «Математический Канон»
— труд по тригонометрии, — который издал в Париже в
1579 году.
1
2
4
•
В 1571 году переехал в Париж и вскоре перешёл на государственную службу, но
увлечение его математикой продолжало расти.
•
Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом Виет
0011 0010
1010
1101 0001
0100
1011
сделал
блестящую
карьеру
и стал
советником сначала короля Генриха III, а
после его убийства — Генриха IV. По поручению Генриха IV Виет сумел
расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже
обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии .
1
2
•
Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет устранён от
дел (1584—1588), он полностью посвятил себя математике. Изучил труды
классиков (Кардано, Бомбелли, Стевина и др.). Итогом его размышлений стали
несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики»
— символический язык алгебры.
•
Только часть трудов этого талантливого и плодовитого учёного была издана при
жизни Виета. Главное его сочинение: «Введение в аналитическое искусство»
(1591), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но
продолжить не успел. Есть некоторые указания, что учёный умер
насильственной смертью.
4
Научная деятельность
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Виет чётко представлял себе конечную цель — разработку нового языка, своего рода
обобщённой арифметики, которая даст возможность проводить математические
исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью:
1
2
Все математики знали, что под их алгеброй… были скрыты несравненные сокровища,
но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными,
совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства,
представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий.
4
Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые
реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом
приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только
неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых
он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет
использовал для этого только заглавные буквы — гласные для неизвестных,
согласные для коэффициентов.
Другие заслуги Виета:
• знаменитые «формулы Виета» для коэффициентов многочлена как
функций его корней;
• новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического
применимый
0011 0010уравнения,
1010 1101
0001 0100также
1011для трисекции угла;
• первый пример бесконечного произведения:
•
•
•
1
2
полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх
степеней;
идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических
уравнений;
оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений
с числовыми коэффициентами.
4
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие
законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же
оценена учёными разных стран, которые приступили к её
совершенствованию. Английский учёный Томас Хэрриот в своём
посмертно изданном (1631) труде уже очень близок к современной
символике: вместо заглавных букв применяет строчные, степени
записывает не словесно, а мультипликативно (aaa вместо a3),
использует знак равенства (предложенный в 1557 году Робертом
Рекордом), а также придуманные самим Хэрриотом символы
сравнения «>» и «<». Практически окончательный вид алгебраической
символике придал Декарт.
1
2
4
1 уровень сложности
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Выделим из трехчлена Зх2 - 36х + 140 квадрат двучлена.
Решение: Вынесем за скобки множитель 3:
Зх2 -36х + 140 = 3(х2 -12х + 140/3 ).
Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 12x в виде
произведения 2 • 6 • х, а затем
прибавим и вычтем 62. Получим:
Зх2 -36х + 140 = 3[ х2-12х + 140/3 ) = = 3[x2 -2*6*х + 62 -62 +140/3) =
3((х-6)2 + 32/3 ) = 3(х-6)2 +32.
Значит, Зх2 - 36х + 140 = 3 (х - 6)2 + 32.
Ответ: 3 (х - 6)2 + 32.
1
2
4
2 уровень сложности
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Найти все пары квадратных трехчленов x2 + ax + b , x2 + cx +d
такие, что a и b – корни второго трехчлена, c и d – корни первого.
Решение:
x2 + ax , x2 - ax , a – любое число; x2 + x - 2 , x2 + x - 2 . По теореме
Виета a = -(c + d) , b = cd , c = -(a+b) , d = ab . Получили систему
уравнений a + b + c = 0, a + c + d = 0, b = cd, d = ab, которая
равносильная системе a + b + c = 0, b = d, b = bc, b = ab,
1
2
4
Если b = 0 , то d = 0 , c =- a , a – любое. Если же b 0 , то a = c = 1 , b
= d =- 2 .
Ответ: x2 + ax , x2 - ax , a – любое число; x2 + x - 2 , x2 + x - 2 .
3 уровень сложности:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в
виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми
дискриминантами.
2
Решение: Рассмотрим квадратный трехчлен f (x) = ax2 + bx + c. Выделим
полный квадрат, для этого обозначим t = x + b/2a и D = b2 - 4ac. Тогда
ax2 + bx + c = at2 – (D/4a2)
При D ≤ 0 положим p =
. Тогда искомое представление
1
4
a(t2 – D/4a2) = a/2((t - p)2 + (t + p)2) = a/2(x+(b-√-D)/2a)2+a/2(b+√-D)/2a )2.
При D > 0 положим q = .
Тогда
a(t2 – D/4a2) = a(2(t + q)2 - (t + 2q)2) = 2a(x + (b+√D/2)/2a)2-a(x+(b+√2D)2
Работу выполнили:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Груздев Александр
• Тэн Владислав
• Томанов Евгений
1
2
4