Формула Кирхгофа

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики
5 семестр
Лекция 8
Формула Кирхгофа.
12 декабря 2014 года
Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Формула Кирхгофа
Задача Коши:
 2u
2
3

a

u

f
(
x
,
t
),
x

R
, t0
2
t
u( x,0)   ( x ), x  R 3
u
( x,0)   ( x ), x  R 3
t
Классическое решение:
u( x, t )  C 2 ( x  R 3 , t  0)
Формула Кирхгофа
Густав Роберт Кирхгоф
(12 марта 1824, Кёнигсберг — 17 октября 1887,
Берлин) — один из великих физиков XIX века.
Родился 12 марта 1824 года в Кёнигсберге; с 1842 по
1846 г. Изучал математику и физику в Кёнигсбергском
университете, а в 1847 году уже выступил в качестве
приват-доцента в Берлине; в 1850—1854 гг., в качестве
экстраординарного профессора, читал лекции в
Бреславле, затем до 1874 года исполнял должность
ординарного профессора в Гейдельберге, откуда в 1875
году перешёл в Берлин; в 1875 году избран членом
Берлинской академии наук, с 1862 года состоял членомкорреспондентом Санкт-Петербургской академии наук.
Умер в Берлине 17 октября 1887 года.
Формула Кирхгофа
Отец, Карл Фридрих Кирхгоф, был советником юстиции. Густав был младшим
сыном в семье. В Кляйнгорской гимназии, куда Густав пришел учиться, он охотнее
всего занимался математикой и физикой. В 18 лет, окончив гимназию, он поступил
на физико-математический факультет Кенигсбергского университета. В 23 года
Кирхгоф получил свою первую ученую степень.
В 1848 Кирхгоф, защитив в Берлинском университете диссертацию, вскоре был
приглашен экстраординарным профессором в Бреславль (ныне Вроцлав, Польша).
Через год туда же приехал Роберт Вильгельм Бунзен, с которым Кирхгофа связала
многолетняя дружба и сотрудничество. Затем Бунзен перебрался в Гейдельберг.
Туда он вскоре пригласил и Кирхгофа, который охотно принял это предложение.
Через 4 года в Гейдельберг приехал и (еще не пришедший тогда в физику) молодой
профессор физиологии Гельмгольц. Были и другие молодые талантливые ученые.
Возник один из виднейших научных центров Германии.
Переезд в Гейдельберг ознаменовался и важным изменением в личной жизни
Кирхгофа — он женился на Кларе Ришело - дочери университетского
преподавателя математики. Супруга родила Густаву двух дочерей и трех сыновей.
Формула Кирхгофа
В Гейдельберге Кирхгоф проработал 20 лет. В эти годы был достигнут один из
основных его научных результатов: вместе с Бунзеном им был создан спектральный
анализ.
В 1859 Кирхгоф сформулировал один из основных законов теплового излучения,
который носит его имя. Именно он ввел в физику понятие абсолютно черного тела. В
области механики он занимался главным образом вопросами деформации,
равновесия и движения упругих тел, течения жидкостей.
В середине 1860-х годов в результате травмы ученый оказался прикован к
инвалидному креслу, а в 1869 году умерла Клара.
В 1872 году Кирхгоф женился во второй раз, на Луизе Бреммель. В то время
ученый неоднократно получал приглашения в другие университеты, но предпочел
оставаться в Гейдельберге. В Берлин физик вернулся только в 1875, встав во главу
кафедры математической физики. Также в 1875 г. его избрали членом Берлинской
академии наук. Не имея возможности проводить опыты из-за ухудшавшегося
здоровья, Кирхгоф посвятил последние годы жизни преподавательской деятельности
и теоретическим расчетам.
Одной из последних работ великого физика было исследование влияния
магнитного и электрического воздействия на деформацию тел. Скончался Густав
Кирхгоф 17 октября 1887 года в Берлине.
Формула Кирхгофа
В Гейдельберге Кирхгоф проработал 20 лет. В эти годы был достигнут один из
основных его научных результатов: вместе с Бунзеном им был создан спектральный
анализ.
Впервые оптические спектры заинтересовали еще великого Исаака Ньютона. Но
призмы, которым пользовался Ньютон, не обеспечивали достаточно резкого
разрешения. Кроме того, сначала фигурировали только спектры испускания. Только
Уильям Хайд Волластон заметил в спектре Солнца темные линии - линии
поглощения, которые затем были тщательно исследованы Йозефом Фраунгофером,
имя которого теперь входит в их название. В 1857 Кирхгоф получил достаточно
совершенную призму, отшлифованную самим Фраунгофером, и это послужило
началом важных исследований и открытий, сделанных совместно с Бунзеном.
В 1859 Кирхгоф сформулировал один из основных законов теплового излучения,
который носит его имя. Именно он ввел в физику понятие абсолютно черного тела. В
области механики он занимался главным образом вопросами деформации,
равновесия и движения упругих тел, течения жидкостей.
С 1875 Кирхгоф возглавил кафедру математической физики в Берлинском
университете. Его «Лекции по математической физике» сыграли большую роль в
развитии теоретической физики.
Формула Кирхгофа
u( x, t )  u1 ( x, t )  u2 ( x, t )  u3 ( x, t )
 2u1
2
3

a

u
,
x

R
, t0
1
2
t
u1 ( x,0)   ( x ), x  R 3
 2 u2
2
3

a

u
,
x

R
, t0
2
2
t
u2 ( x,0)  0, x  R 3
u1
( x,0)  0, x  R 3
t
u2
( x,0)   ( x ), x  R 3
t
 2u3
2
3

a

u

f
(
x
,
t
),
x

R
, t0
3
2
t
u3 ( x,0)  0, x  R 3
u3
( x,0)  0, x  R 3
t
Формула Кирхгофа
y3
y ξ=
y
ξ
a
| y  a | R
| ξ | 1
y1
Среднее значение по сфере
ya
ξ
, y  a  Rξ
R
dS y  R 2dSξ
y2
1
M[ f ] 
f ( y )dS y
2

4 R | y a| R
1
M[ f ] 
4

|ξ|1
f ( x  Rξ)dSξ
Формула Кирхгофа
y3
y ξ=
y
ξ
| ξ | 1
y1
x
| y  x | at
Метод средних
1
M [ f ]( x, t ) 
f ( y )dS y
2

4 (at ) | y  x|at
y2
yx
ξ
, y  x  atξ
at
dS y  ( at ) 2 dSξ
1
M[ f ] 
4

|ξ|1
f ( x  atξ)dSξ
Формула Кирхгофа
Основное утверждение:
 ( x)  C 2 ( R3 )
t
u( x, t )  tM [ ] 
4
  ( x  atξ)dS
|ξ|1
 2u
2
3

a

u
,
x

R
, t0
2
t
u( x,0)  0, x  R 3
u
( x,0)   ( x ), x  R 3
t
ξ
Формула Кирхгофа
t
u ( x, t ) 
4
u( x, t ) 
ut ( x, t ) 
1
4
t
4
  ( x  atξ)dS
|ξ|1
  ( x  atξ)dS
ξ
|ξ|1
  ( x  atξ)dSξ 
|ξ|1
ξ
at
4
 ( ,ξ)dS
ξ
|ξ| 1
  ( x  atξ) 



(
x

at
ξ
,
x

at
ξ
,
x

at
ξ
)

1
1
2
2
1
2


t
t


   aξ   aξ   aξ  a ( ,ξ)

1
2
3
 x


x

x
1
2
3


at 2
u I
I
( ,ξ)dSξ  ut  

4 |ξ|1
t t
Формула Кирхгофа
u I
 u I 
u u
I I
  utt       2  t  2  t 
t t
t  t t 
t
t t
t
u 1 u I  I I
I
I
  2      2  t  t  utt  t
t
tt t t
t
t
t
ut 
at 2
I
( ( x  atξ),ξ)dSξ 

4 |ξ|1
y ξ=
y
at 2

( ( y ),ξ)dS y 
2

4 (at ) | y  x|at
x
| y  x | at

 ( y )
1
dS

 ( y )dy
y


4 a | y  x|at 
4 a | y  x|at
1
Формула Кирхгофа
I
1
4 a | y  x|at
1
 ( y )dy 
4 a
at
2

0
0
0
2
r
 dr  d   ( y )sin  d
 y1  x1  r cos  sin 
D( y1 , y2 , y3 )

2
y

x

r
sin

sin



r
sin 
 2
2
D( r,  ,  )
 y  x  r cos 
3
 3
ξ= y  {cos  sin  ,sin  sin  ,cos  }  ξ( ,  )
x

y

| y  x | at
y  x  rξ( , )
I
1
4 a
at
2

0
0
0
2
r
 dr  d   ( x  rξ( , ))sin  d
Формула Кирхгофа
I
1
4 a
at
2

0
0
0
2
r
 dr  d   ( x  rξ( , ))sin  d
 2 

It 
( at )   d   ( x  atξ( ,  ))sin  d  a 
4 a
0
0

1
2
a 2t 2

4
2

0
0
 d   ( x  atξ( , ))sin  d 
a 2t 2

 ( x  atξ)dSξ

4 |ξ|1
I t a 2t
utt  
 ( x  atξ)dSξ

t 4 |ξ|1
u( x, t ) 
t
4

|ξ|1
 ( x  atξ)dSξ  utt  a 2u
Формула Кирхгофа
Начальные условия:
t
u( x, t ) 
4
ut ( x, t ) 
1
4
  ( x  atξ)dS
ξ
|ξ|1
  ( x  atξ)dSξ 
|ξ|1
at
4
 ( ,ξ)dS
ξ
|ξ| 1
0
u ( x,0) 
   ( x  a  0  ξ)dSξ  0
4 |ξ|1
ut ( x,0) 
1

4
1
4
  ( x  a  0  ξ)dSξ 
|ξ|1
a 0
  ( ,ξ)dSξ 
4 |ξ|1
 ( x)
 ( x)
|ξ|1 ( x )dSξ  4 |ξ|1 dSξ  4  4   ( x )
Формула Кирхгофа
Решение второй задачи:
 ( x)  C 3 ( R3 )

 t
u( x, t )   tM [ ]  
t
t  4

|ξ|1 ( x  atξ)dSξ 

 2u
2
3

a

u
,
x

R
, t0
2
t
u( x,0)   ( x ), x  R 3
u
( x,0)  0, x  R 3
t
Формула Кирхгофа
t
v ( x, t )  tM [ ] 
4
  ( x  atξ)dS
ξ
|ξ|1
u( x, t )  vt ( x, t )
v ( x, t )  C 3 ( x  R 3 , t  0)  u( x, t )  C 2 ( x  R 3 , t  0)
vtt  a 2 v  ( vtt )t  a 2 ( v ) t  ( vt ) tt a 2 ( vt ) t  utt  a 2u
v ( x,0)  0, vt ( x,0)   ( x )  u( x,0)   ( x )
a 2t
vtt ( x, t ) 
 ( x  atξ )dSξ  ut ( x,0)  vtt ( x,0)  0

4 |ξ|1
Формула Кирхгофа
Решение третьей задачи:
f ( x.t )  C 2 ( x  R 3 , t  0)
t
1
u ( x, t ) 
(t   )  f ( x  a (t   )ξ, )dSξ d

4 0
|ξ|1
 2u
2
3

a

u

f
(
x
,
t
),
x

R
, t0
2
t
u( x,0)  0, x  R 3
u
( x,0)  0, x  R 3
t
Формула Кирхгофа
Принцип Дюамеля:
f ( x, t )  C 2 ( x  R 3 , t  0)
vtt  a 2 v, x  R 3 , t  

v t   0

vt t   f ( x, )
t
u( x, t )   v( x, t , )d
0
utt  a 2 u  f ( x, t ), x  R 3 , t  0

3
u
(
x
,0)

0,
x

R

u ( x,0)  0, x  R 3
 t
Формула Кирхгофа
  2u
2
3

a

u
,
x

R
, t0
 t 2

t
3
u ( x, t ) 

(
x

at
ξ)
dS

u
(
x
,0)

0,
x

R

ξ

4 |ξ|1
u ( x,0)   ( x ), x  R 3
 t

vtt  a 2 v, x  R 3 , t  

t 
v ( x , t , ) 
f ( x  a (t   )ξ, )dSξ  v t   0

4 |ξ|1

vt t   f ( x, )
Формула Кирхгофа
t
t
1
u( x, t )   v( x, t , )d 
(t   )  f ( x  a (t   )ξ, )dSξd

4 0
0
|ξ|1
vtt  a 2 v, x  R 3 , t  

v t   0

vt t   f ( x, )
t
u   v( x, t , )d
t
0
t
ut   vt ( x, t , )d  v( x, t , t )   vt ( x, t , )d
0
0
t
t
0
0
utt   vtt ( x, t, )d  vt ( x, t , t )   vt ( x, t , )d  f ( x, t )
t
utt  a 2 u   (vtt  a 2v )( x, t, )d  f ( x, t )  f ( x, t )
0
Формула Кирхгофа
t
t
0
0
u( x, t )   v( x, t , )d , ut ( x, t )   vt ( x, t , )d
0
0
0
0
u( x,0)   v( x,0, )d  0, ut ( x,0)   vt ( x,0, )d  0
Преобразование полученной формулы
t
1
u ( x, t ) 
(t   )  f ( x  a (t   )ξ, )dSξ d

4 0
|ξ|1
t   
t
1
u ( x, t ) 
  f ( x  a ξ,t   )dSξd

4 0 |ξ|1
Формула Кирхгофа
t
u ( x, t ) 
1
  f ( x  a ξ,t   )dSξd

4 0 |ξ|1
y  x  a ξ, |ξ | 1  | y  x | a , dS y  (a )2 dSξ
t
1
1
u ( x, t ) 
f ( y,t   )dS y d
2 

4 a 0  | y  x|a
at
1
1
u ( x, t ) 
4 a 2 0 r | y x|r
1

4 a 2
at
 
0 | y  x|  r
r  a
r

f  y,t  dS y dr 
a

| x  y |

f  y ,t 

a

dS dr
y
|x y|
Формула Кирхгофа
1
u ( x, t ) 
4 a 2
at
 
0 | y  x|  r
| x  y |

f  y,t 

a

 dS dr
y
|x y|
dS y dr  (r 2 sin  d d )dr  dy
1
u ( x, t ) 
4 a 2 | y  x|at
| x  y |

f  y,t 

a

 dy
|x y|
Формула Кирхгофа
  C 3 ( R3 ),   C 2 ( R3 ), f  C 2 ( x  R3 , t  0)

1
u( x, t )   tM [ ]  tM [ ] 
t
4 a 2 | y  x|at
| x  y |

f  y ,t 

a 

dy 
|x y|

1  1
1


(
y
)
dS

 ( y )dS y 

y
2
2


 4 a t | y  x|at
4 a t  t | y  x|at

| x  y |

f  y ,t 

1
a

 dy

4 a 2 | y  x|at
|x y|
Распространение волн в пространстве
  0,
 финитна и сосредоточена в ,
f 0
1
u ( x, t ) 
 ( y )dS y
2

4 a t | y  x|at

x
u
d
a
D
a
t
Распространение волн в пространстве
точки, удаленные от 
на расстояние d  at
(передний фронт волны)

точки, которые удалены от самой
дальней точки  на расстояние D  at
(задний фронт волны)
Распространение волн в пространстве
Христиа́н Гю́йгенс ван Зёйлихем (14
апреля 1629, Гаага — 8 июля 1695, Гаага) —
нидерландский механик, физик, математик,
астроном и изобретатель.
Научную деятельность Христиан Гюйгенс
начал в 1651 году сочинением об определении
длины дуг гиперболы, эллипса и круга. В 1654
году он открыл теорию эволют и эвольвент.
В 1657 году Гюйгенс издал описание
устройства изобретённых им карманных часов
с маятником.
Распространение волн в пространстве
Гюйгенс выводит законы равноускоренного движения свободно
падающих тел. Выводя зависимость между высотой падения и
квадратом времени, Гюйгенс делает замечание, что высоты
падений относятся как квадраты приобретенных скоростей.
Гюйгенс самостоятельно усовершенствовал телескоп; в 1655
году он открыл спутник Сатурна Титан и описал кольца Сатурна. В
1659-м он описал всю систему Сатурна в изданном им сочинении.
В 1672 году он обнаружил ледяную шапку на Южном полюсе
Марса. Он открыл также туманность Ориона и другие туманности,
наблюдал двойные звёзды, оценил (довольно точно) период
вращения Марса вокруг оси.
В 1678 Гюйгенс выпустил «Трактат о свете» — набросок
волновой теории света. В 1690 году он изложил качественную
теорию отражения и преломления в том виде, как она излагается
теперь в учебниках физики. Сформулировал т. н. принцип
Гюйгенса, позволяющий исследовать движение волнового фронта.
Распространение волн в пространстве
Принцип Гюйгенса
Этот принцип был сформулирован Христианом Гюйгенсом в то
время, когда законы распространения волн — отражение,
преломление, огибание препятствий (дифракция) не находили
объяснения. И Гюйгенс предложил принцип, на основании которого
это можно было бы сделать.
Каждая точка, до которой доходит волновое
возбуждение, является в свою очередь центром
вторичных волн; поверхность, огибающая в
некоторый момент времени эти вторичные волны,
указывает положение к этому моменту фронта
действительно распространяющейся волны.
Распространение волн в пространстве
Принцип Гюйгенса даёт рецепт построения волновой поверхности в
момент времени t + ∆t по известному её положению в момент
времени t.
Именно, каждую точку исходной волновой поверхности мы
рассматриваем как источник вторичных волн. За время ∆t вторичные
волны пройдут расстояние a∆t, где a - скорость волны. Из каждой
точки старой волновой поверхности строим сферы радиуса a∆t; новая
волновая поверхность будет касательной ко всем этим сферам.
Распространение волн в пространстве
Распространение волн в пространстве
Все точки отрезка AB служат источниками вторичных волн. Раньше всего волновая поверхность AS
приходит в точку A. Затем, по мере движения падающей волны, в колебательный процесс вовлекаются
другие точки данного отрезка, и в самую последнюю очередь - точка B.
Сферическая волна с центром в A имеет на рис. 4 наибольший радиус. По мере приближения к точке B
радиусы сферических вторичных волн, испущенных промежуточными точками, уменьшаются
до нуля. Волновая поверхность BT отражённой волны есть плоскость, касательная ко всем этим
Сферам. Теперь заметим, что радиус AT - это расстояние, пройденное вторичной волной с центром
в A за то время, пока волновая поверхность AS двигается к точке B. Скажем это чуть подругому: время движения вторичной волны от точки A до точки T равно времени движения
падающей волны от точки S до точки B. Но скорости движения падающей и вторичной волн
совпадают - ведь дело происходит в одной и той же среде! Поэтому, раз совпадают скорости
и времена, то равны и расстояния: AT =BS. Получается, что прямоугольные треугольники ABT и ABS
равны по гипотенузе и катету. Стало быть, равны и соответствующие острые углы: ∠ABT = ∠BAS.
Остаётся заметить, что ∠ABT = φ (так как оба они равны 90◦ − ∠BAT ) и ∠BAS = α (оба они равны 90◦ −
∠N AS). Таким образом, φ = α - угол отражения равен углу падения
Распространение волн в пространстве
точки, удаленные от 
на расстояние d  at
(передний фронт волны)

Построение фронта волны с
учетом формулы Кирхгофа
совпадает с построением
фронта волны с помощью
принципа Гюйгенса.
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики.
Формула Кирхгофа.
Лекция 8 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Метод спуска.
Лекция состоится в пятницу 19 декабря
В 12:00 по Московскому времени.