 х

реклама
11. Волновая функция
В квантовой механике состояние частицы
полностью описывается волновой функцией (х,у,z,t) .
В частном случае свободной частицы волновая
функция есть волна де-Бройля (10.1).
Макс Борн (1926 г.) раскрыл физический смысл
волновой функции.
Плотность вероятности обнаружения частицы в
некоторый момент времени t в точке пространства
r(х,у,z) равна |(х,у,z,t)|2 .
Вероятность обнаружения частицы в некоторый
момент времени t в элементарном объеме dV,
окружающем точку Р, равна:

dP |  | dV     dV
2
Вероятностный смысл волновой
накладывает условия на ее свойства.
функции
Они включают в себя:
1. Условие конечности волновой функции
Волновая функция не
бесконечных значений.
может
принимать
2. Условие однозначности волновой функции
Волновая функция должна быть однозначной
функцией координат и времени, так как плотность
вероятности
обнаружения
частицы
определяться в каждой задаче однозначно.
должна
3. Условие непрерывности волновой функции
В любой момент времени волновая функция
должна
быть
непрерывной
функцией
пространственных координат.
Кроме того, непрерывными должны быть и
первые частные производные волновой функции
d/dx, d/dy, d/dz.
4. Условие нормировки волновой функции

V 
dP 

|  | dV  1
2
V 
Это значит, что пребывание частицы где-либо в
пространстве есть достоверное событие и его
вероятность должна быть равна единице.
5. Принцип суперпозиции состояний
Если частица может находиться в нескольких
квантовых состояниях, описываемых волновыми
функциями 1,2,3,…,N, то она может находиться и
в состоянии, описываемом волновой функцией
 = С11 + С22 + С33 + … + СNN
где С1, С2, С3, …, СN – комплексные числа.
Квадрат модуля коэффициента |Сi|2 определяет вероятность
того, что при измерении, проведенном над системой, мы
обнаружим ее в состоянии, описываемом функцией i.
Например, в случае, когда электрон падает на
двойную щель (рис.10.2) волновая функция 1
описывает волну, проходящую через щель А, а
волновая функция 2 – через щель В.
На экране обе волновые функции перекрываются
и дают интерференционную картину от двух щелей.
При этом n -й интерференционный максимум
определяется таким же выражением, как и для света
sinn = n/d
12. Уравнение Шредингера
Для описания поведения микрочастиц уравнения
классической физики (уравнения Ньютона) не
пригодны.
В квантовой механике состояние частицы
описывается волновой функцией (х,y,z,t), которая
находится из решения
дифференциального уравнения,
сформулированного
Эрвином Шредингером в 1926 г.
Временное уравнение Шредингера для частицы с
массой покоя m в потенциальном поле U(x,y,z,t)
имеет вид:
 ˆ
i
 H  
  U ( x, y, z, t )
t
2m
2
где
i  1
- мнимая единица,
- оператор Гамильтона
оператор полной энергии,
Ĥ



 2  2  2
x
y
z
2
2
(12.1)
(гамильтониан)
2
- оператор Лапласа
–
Уравнение Шредингера решается с учетом
начальных и граничных условий, накладываемых
на волновую функцию.
Начальное условие задаёт значение волновой
функции в начальный момент времени t = 0.
Граничные условия обычно задаются на границах
областей, где потенциальная функция U терпит
разрывы первого или второго рода.
В качестве примера вычислим волновую
функцию свободной частицы с кинетической
энергий
E = p2/2m
Пусть частица движется в отсутствие силовых
полей (U = 0, F = 0) в направлении оси x.
Уравнение
Шредингера
записывается в виде:
для
этого
случая


i


2
t
2m0 x
2
2
Его решением является волновая функция:
 ( x, t )  Ae
i
 ( Et  px )
- то есть плоская волна де Бройля. Плотность
вероятности обнаружения частицы ||2 = A2, не зависит
от времени t и координаты х. Значит свободная частица
в любой точке х и в любой момент времени
обнаруживается с одинаковой вероятностью.
В квантовой механике существует класс задач, в
которых потенциальная энергия U(x,y,z) не зависит
от времени - это стационарное поле.
В стационарных полях квантовая система
находится в состояниях с определенным значением
энергии E.
Такие состояния называются стационарными
состояниями.
Для стационарного поля волновую функцию
можно представить в виде :
(x,y,z,t) = Ф(x,y,z) (t)
Ф(x,y,z)  зависит только от координат,
(t)  зависит только от времени.
Подставляя
Ф(x,y,z)(t)
в
уравнение
Шредингера и разделив обе части уравнения на
Ф(x,y,z)(t), получаем
i  1 ˆ
 HФ
 t Ф
В этом уравнении левая часть зависит только от
времени, а правая  только от координат.
Данное равенство возможно лишь в случае, если
левая и правая части уравнения равны одной и той
же постоянной величине.
Обозначим её буквой Е, получаем два уравнения:
HФ = EФ
∂
ih
= E
∂t
(12.2)
Константа Е представляет полную энергию
квантово-механической системы.
Перепишем 1- ое уравнение с учетом вида
оператора Ĥ
Ф +
2m
2
(E - U)Ф = 0
(12.3)
Это уравнение называется уравнением Шредингера
для стационарных состояний (стационарное уравнение
Шредингера).
Решениями
стационарного
уравнения
Шредингера являются волновые функции Фn и
энергии
Еn
Фn +
2m
2
(En - U)Фn = 0
(12.3)
n - номер квантового состояния
Совокупность энергий
Еn
называется спектром.
Волновые функции удовлетворяют
ортогональности и нормировки
Фn Фm =  Ф (r )  Фm (r )dV   n,m

n
условию
(12.4)
Решением второго уравнения
∂
ih
= E
∂t
является плоская волна
 (t )  Ae
i
 Et
(12.5)
13. Соотношения неопределенностей Гейнзенберга
Двойственная
природа
микрочастиц
накладывает ограничения на точность определения
физических величин.
Вернер
Гейзенберг
Рассмотрим дифракцию электрона на щели. Электроны
падают нормально на непрозрачный экран с щелью шириной Δх.
Электроны, прошедшие через щель, в основном попадают в
центральный дифракционный максимум. Границы этого максимума
определяются углом дифракции, задающим направление на первый
минимум интенсивности в дифракционной картине. Согласно
теории дифракции этот угол находится из условия
- де-бройлевская
длина волны
электрона.
В силу малости угла
С другой стороны, угол можно определить через импульс
электрон:
Поэтому
Принимая во внимание, что
получаем окончательно
Поскольку
при
выводе
использовались
упрощающие
предположения,
то
полученное
соотношение является приближенным. Строгий
вывод дает следующий результат
xpx  / 2
(13.1)
Это соотношение было получено в 1927 г.
Вернером Гейзенбергом и называется соотношением
неопределенностей Гейзенберга. Из него следует, что
чем точнее мы определяем координату частицы, тем
более
неопределенной
становится
проекция
импульса частицы на эту координатную ось и
наоборот.
Невозможно одновременно точно определить
значения координаты и импульса частицы.
Такие же соотношения имеют место для проекций
координат и импульсов частицы на другие оси
уp у  / 2
zpz  / 2
Эти ограничения не связаны с точностью
измерений, достижимой в конкретном эксперименте,
а имеют принципиальное значение.
Соотношения
неопределенностей
–
фундаментальные
соотношения
квантовой
механики. Они устанавливают предел точности
одновременного
определения
переменных,
характеризующих квантовую систему.
Операторы физических величин
В квантовой механике каждой физической
величине соответствует оператор, который строится из
выражения для классической величины.
оператор координаты
ххх
r = iх+ jy+kz  r = iх+ jy+kz
оператор импульса



р  р   i    i (i  j
к )
х
y
z
оператор момента имульса
  
 


М  М  r  р    i  i  y  z  
y 
  z
   
 
 
j  z  х  к  х  y  
z   y
х  
 х
оператор кинетической энергии
2
2
 2
р2
( р  р)
( р  р)
2
2 
Т

Т 


 2 2 2
2m
2m
2m
2m  х y z 
2m
оператор потенциальной энергии
U( х, y,z,t)  U ( х, y,z,t)  U( х, y,z,t)
оператор Гамильтона
Е  Т  U( х, y,z,t)  Н  
2
2m
  U( х, y,z,t)
Значения физических величин
Среднее значение физической величины, которой
соответствует оператор Â , в квантовом состоянии,
описываемом волновой функцией , дается формулой
ˆ
А

ˆ |   dV
   | A
В ходе эксперимента определяется именно среднее
значение физической величины.
Принцип соответствия
Принцип соответствия утверждает, что любая более
общая физическая теория не должна исключать
предыдущую, а должна включать ее как предельный
частный случай (Н.Бор).
Поэтому результаты квантовой механики должны
совпадать с результатами классической механики, если
волновыми свойствами частиц можно пренебречь.
Это имеет место, когда длина волны де Бройля
частицы много меньше характерного размера области
движения частицы λБ << L.
Скачать