задачи из открытого банка заданий по математике ГИА

1.
Тема для
повторения
Взаимное
расположение
точек и прямых
Задания открытого банка
Какие из следующих утверждений верны?
1. Существуют три различные точки плоскости, через которые можно провести
прямую.
2. Существуют две различные прямые, не проходящие через одну общую точку.
3. Через любую точку можно провести прямую.
4.
5.
6.
7.
Через любую точку проходит ровно одна прямая.
Через любую точку проходит более одной прямой.
Через любую точку проходит не менее одной прямой.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной
прямой, параллельной данной.
8.
9.
10.
11.
Через любые две точки можно провести прямую.
Через любые две точки проходит ровно одна прямая.
Через любые две точки проходит не более одной прямой.
Через любые две точки проходит не менее одной прямой.
12.
13.
14.
15.
Через любые три точки можно провести прямую.
Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
Через любые три точки проходит не менее одной прямой.
Через любые три точки проходит не более одной прямой.
16.
17.
18.
19.
Любые две прямые проходят через одну общую точку.
Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.
Любые две прямые имеют не более одной общей точки.
20. Любые три прямые имеют ровно одну общую точку.
21. Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.
22. Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
2.
Вертикальные
углы
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если угол равен 54°, то вертикальный с ним угол равен 34°.
2. Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
3. Сумма вертикальных углов равна 180°.
3.
Смежные углы
Какие из следующих утверждений верны?
1.
2.
3.
4.
4.
Параллельные
прямые
Сумма смежных углов равна 90°.
Если угол равен 30°, то смежный с ним равен 60°.
Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
Смежные углы равны.
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то
прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы
составляют в сумме 180°, то эти две прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы
равны 65°, то эти две прямые параллельны.
4. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест
лежащие углы равны 70°, то две прямые параллельны.
1
5. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие
углы равны, то прямые параллельны.
6. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест
лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны. Если
при пересечении двух прямых третьей внутренние односторонние углы равны
90°, то прямые параллельны.
7. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние
односторонние углы равны 70°и 110°, то эти две прямые параллельны.
8. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые
перпендикулярны.
9. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые
параллельны.
10. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то
соответственные углы равны.
11. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма
внутренних односторонних углов равна 90°.
12. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние
односторонние углы равны.
13. Если две перпендикулярные прямые пересечены третьей прямой, то накрест
лежащие углы равны.
14. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то
прямые перпендикулярны.
15. Если две перпендикулярные прямые пересечены третьей прямой, то сумма
внутренних односторонних углов равна 180°.
5.
Сумма углов
треугольника
Какие из следующих утверждений верны?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Внешний угол
треугольника
Сумма углов тупоугольного треугольника больше 180°.
Сумма углов треугольника не превосходит 180°.
Если два угла треугольника равны 40° и 70°, то третий угол равен 70°.
Если один угол треугольника больше 120°, то два других его угла меньше 30°.
Если два угла треугольника меньше 30°, то его третий угол больше 120°.
Какие из следующих утверждений верны?
1. Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов.
2. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.
3. Если в треугольнике ABC углы A и B равны соответственно 40°и 70°, то
внешний угол этого треугольника с вершиной C равен 110°.
4. Если в треугольнике ABC углы А и В равны соответственно 40° и 70°, то
внешний угол этого треугольника при вершине С равен 70°.
7.
Неравенство
треугольника
Какие из следующих утверждений верны?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Каждая сторона треугольника равна сумме двух других сторон.
Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон.
Каждая сторона треугольника не превосходит суммы двух других сторон.
Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.
Треугольник со сторонами 3, 4, 5 существует.
Треугольник со сторонами 2, 3, 4 не существует.
Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует.
Треугольник со сторонами 2, 2, 3 существует.
Треугольник со сторонами 1, 2, 3 существует
Если две стороны треугольника равны 3 и 5, то его третья сторона больше 3.
Если две стороны треугольника равны 3 и 4, то его третья сторона меньше 7.
Если две стороны треугольника равны 3 и 5, то его третья сторона больше 2.
2
8.
Соотношения
между сторонами
и углами
треугольника
Какие из следующих утверждений верны?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
9.
Равнобедренный
треугольник
В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона.
В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона.
В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол.
В треугольнике против меньшей стороны лежит больший угол.
В треугольнике против большей стороны лежит меньший угол.
В треугольнике ABC, для которого
,
,
, угол В
наименьший.
В треугольнике ABC, для которого
,
,
, угол A
наибольший.
В треугольнике ABC, для которого
,
,
, угол А
наименьший.
В треугольнике АВС, для которого
,
,
, угол В
наибольший.
В треугольнике ABC, для которого
,
,
, сторона
AC наибольшая.
В треугольнике
, для которого
,
,
,
сторона
— наименьшая.
В треугольнике
, для которого
,
,
,
сторона АВ — наибольшая.
Какие из следующих утверждений верны?
1. В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.
2. В равнобедренном треугольнике имеется не менее двух равных углов.
3. Если один из углов равнобедренного треугольника равен 30°, то один из его
оставшихся углов равен 120°.
4. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180°.
10. Прямоугольный
треугольник
Какие из следующих утверждений верны?
1. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90°.
3. Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной,
проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.
4. Если расстояние от точки до прямой больше 1, то и длина любой наклонной,
проведенной из данной точки к прямой, больше 1.
5. Если все высоты треугольника меньше 1, то и все его стороны меньше 1.
6. Если все стороны треугольника меньше 1, то и все его высоты меньше 1.
7. Если гипотенуза одного прямоугольного треугольника равна гипотенузе
другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
8. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного
треугольника, то такие треугольники равны.
9. Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника
соответственно равны катету и углу другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны.
10. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен углу другого
прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
11. Теорема Пифагора
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза
равна 13.
2. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов
гипотенузы и другого катета.
3
3. Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно
6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
12. Теорема, обратная
теореме Пифагора
Какие из следующих утверждений верны?
1. Треугольник ABC, у которого АВ = 20, ВС = 21, АС = 29, является
прямоугольным.
2. Треугольник ABC, у которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5, является тупоугольным.
13. Равные
треугольники
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и
углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум
сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
4. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.
5. Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника
соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедренного
треугольника, то такие треугольники равны.
14. Подобные
треугольники
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно
равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
2. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем
3. углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
4. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам
другого треугольника, то такие треугольники подобны.
5. Любые два равносторонних треугольника подобны.
6. Любые два равнобедренных треугольника подобны.
7. Любые два прямоугольных треугольника подобны.
8. Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.
9. Если два треугольника подобны, то их соответствующие стороны равны.
10. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
11. Отношение периметров подобных треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
15. Терема синусов
Верно ли утверждение?
Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.
16. Теорема
косинусов
Какие из следующих утверждений верны?
1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон без произведения этих сторон на косинус угла между ними.
2. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.
3. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между
ними.
4. Треугольник ABC, у которого АВ =5 , ВС = 6, АС = 7, является
остроугольным.
4
17. Выпуклый
четырехугольник
Какие из следующих утверждений верны?
1. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.
2. Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его
четвертый угол равен 160°.
3. Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180°.
4. Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его
четвертый угол равен 160°.
18. Параллелограмм
Какие из следующих утверждений верны?
19. Прямоугольник
Противоположные углы параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Диагонали параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма делят его углы пополам.
Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол
равен 120°.
6. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то
другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 40°.
7. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то
другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.
8. Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то
другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 130°.
9. Если в четырёхугольнике две стороны параллельны, то этот четырёхугольник
— параллелограмм.
10. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот
четырехугольник — параллелограмм.
11. Если в четырёхугольнике два угла — прямые, то этот четырёхугольник —
параллелограмм.
12. Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот
четырехугольник — параллелограмм.
13. Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник
- параллелограмм.
Какие из следующих утверждений верны?
1.
2.
3.
4.
5.
1. Диагонали прямоугольника перпендикулярны.
2. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм —
прямоугольник.
20. Квадрат
Какие из следующих утверждений верны?
1. Диагонали квадрата делят его углы пополам.
2. Диагонали квадрата равны
3. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот
параллелограмм – квадрат.
4. Если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то этот
четырёхугольник — квадрат.
21. Ромб
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот
параллелограмм — ромб.
2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот
четырехугольник-ромб.
3. Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.
5
22. Трапеция
Верно ли утверждение?
Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10.
23. Окружность
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то эти
прямая и окружность не имеют общих точек.
2. Если радиус окружности равен 2, а расстояние от центра окружности до
прямой равно 3, то эти прямая и окружность не имеют общих точек.
3. Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до
прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
4. Если радиус окружности равен 7, а расстояние от центра окружности до
прямой равно 5, то эти прямая и окружность не имеют общих точек.
5. Если радиус окружности и расстояние от центра окружности до прямой равны
2, то эти прямая и окружность касаются.
6. Если расстояние от центра окружности до прямой равно диаметру
окружности, то эти прямая и окружность касаются.
7. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше диаметра
окружности, то эти прямая и окружность пересекаются.
8. Если расстояние от центра окружности до прямой больше диаметра
окружности, то эти прямая и окружность не имеют общих точек.
9. Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами
равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.
10. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами
равно 1, то эти окружности пересекаются.
11. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами
равно 8, то эти окружности касаются.
12. Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами
равно 4, то эти окружности пересекаются.
13. Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их
диаметров, то эти окружности касаются.
14. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их
диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
15. Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов,
то эти окружности пересекаются.
16. Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов,
то эти окружности касаются.
17. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их
радиусов, то эти окружности не пересекаются.
18. Если две окружности касаются, то расстояние между их центрами равно
сумме радиусов.
24. Углы и дуги,
связанные с
окружностью
Какие из следующих утверждений верны?
1. Вписанные углы окружности равны.
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.
3. Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на
эту дугу окружности, равен 40°.
4. Если дуга окружности составляет 80°, то центральный угол, опирающийся на
эту дугу, равен 40°.
5. Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается
этот угол, равна 60°.
6. Если вписанный угол равен 30°, то центральный угол, опирающийся на ту же
дугу окружности, равен 60°.
6
25. Описанная
окружность
Какие из следующих утверждений верны?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
26. Вписанная
окружность
Через любые две точки проходит не менее одной окружности.
Через любые две точки можно провести не более одной окружности.
Через любые три точки можно провести не менее одной окружности.
Через любые три точки проходит не более одной окружности.
Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
Центром окружности, описанной около треугольника, является точка
пересечения биссектрис.
Центром окружности, описанной около треугольника, является точка
пересечения высот.
Центром окружности, описанной около треугольника, является точка
пересечения его медиан.
Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3,
4, 5, находится на стороне этого треугольника.
Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит
единственная окружность.
Около любого ромба можно описать окружность.
Около любой трапеции можно описать окружность.
Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной
окружности.
Если сумма двух противоположных углов прямоугольника равна 180°, около
этого прямоугольника можно описать окружность.
Если один из углов вписанного в окружность четырёхугольника равен 63°, то
противоположный ему угол четырёхугольника равен 117°.
Сумма углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 360°.
Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения
его диагоналей.
Если около параллелограмма можно описать окружность, то этот
параллелограмм – прямоугольник.
Если около параллелограмма можно описать окружность, и в него можно
вписать окружность, то этот параллелограмм – квадрат.
Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция
равнобедренная.
Если около ромба можно описать окружность, то этот ромб – квадрат.
Какие из следующих утверждений верны?
1. В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
2. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения
серединных перпендикуляров к его сторонам.
3. Центром окружности, вписанной в правильный треугольник является точка
пересечения его медиан.
4. В любой параллелограмм можно вписать окружность.
5. В любую трапецию можно вписать окружность.
6. В любой ромб можно вписать окружность.
7. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм –
ромб.
8. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, сумма длин двух его
противоположных сторон равна 24, а длина третьей стороны равна 14, то
длина оставшейся стороны равна 10.
27. Симметрия в
геометрических
фигурах
Какие из следующих утверждений верны?
1. Прямая не имеет осей симметрии.
7
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
28. Свойства площади
Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.
Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.
Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.
Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.
Квадрат не имеет центра симметрии.
Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.
Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее
диагоналей.
Верно ли утверждение?
Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.
29. Площадь
треугольника
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то
площадь этого треугольника равна 10.
2. Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.
3. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катета на
гипотенузу.
4. Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту,
проведенную к этой стороне.
5. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту,
проведенную к этой стороне.
30. Площадь
параллелограмма
Верно ли утверждение?
1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту,
проведённую к этой стороне.
2. Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними
равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.
31. Площадь
прямоугольника
Верно ли утверждение?
Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон.
32. Площадь
трапеции
Какие из следующих утверждений верны?
1.
2.
3.
4.
Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.
Площадь трапеции не превосходит произведения средней линии на высоту.
Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.
33. Площадь
описанного
многоугольника
Верно ли утверждение?
34. Длина окружности
и площадь круга
Какие из следующих утверждений верны?
Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его
периметра на радиус вписанной окружности.
1. Длина окружности радиуса R равна πR.
2. Площадь круга радиуса R равна 2πR.
8