Ð»ÐµÐºÑ Ð½Ñ‹Ðµ

Математика, 10 класс
Комплексные числа
Карпова Ирина Викторовна,
доцент кафедры математики и ИТ ДВГГУ
Начиная изучать математику в первом классе, вы складывали,
вычитали, умножали, делили только натуральные числа. Но из опыта
повседневной жизни вам было известно, что не всякую величину можно
обозначить натуральным числом. Например, если у вас было три яблока, вы
от одного отрезали половину, то осталось у вас 2 яблока и еще половина. Как
эту половину обозначить? Проблема обозначения части от некоторого целого
привела к необходимости введения обыкновенных дробей. Подобные
потребности практической жизни человека привели к необходимости
введения целых отрицательных чисел и нуля, а затем рациональных,
действительных и комплексных чисел.
В этой статье мы введем понятие и различные формы записи
комплексного числа, а также рассмотрим как складываются, умножаются,
делятся комплексные числа в различных формах записи.
Известно, что нет такого действительного числа, квадрат которого был
бы равен (-1), т.е. нет такого действительного числа равного  1 . Вместе с
тем, для того чтобы найти действительные корни некоторых кубических
уравнений, необходимо найти квадратный корень из отрицательного числа.
Обозначим 1  i . Тогда i 2  1 .
В математике i называется мнимой единицей.
Определение 1. Пусть а и b – действительные числа. Число вида
z  a  bi называется комплексным числом.
При этом, а называется действительной частью, b – мнимой частью
комплексного числа z  a  bi .
Замечание. Запись комплексного числа z  a  bi называется
алгебраической формой.
Рассмотрим действия над комплексными числами в алгебраической
форме записи.
Определение 2. Два комплексных числа z  a  bi и z1  c  di
называются равными, если равны соответственно их действительные и
мнимые части, т.е. a  bi  c  di  a  c, b  d ;
Определение 3. Суммой двух комплексных чисел z  a  bi и z1  c  di
называется комплексное число вида z  z1  (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i
Определение 4. Произведением двух комплексных чисел z  a  bi и
называется
комплексное
число
вида
z1  c  di
z  z1  (a  bi)(c  di)  (ac  bd )  (ad  bc)i
Замечание. Из определений видно, что комплексные числа
складываются и умножаются как многочлены.
 z  a  (b)i
Определение
5. Число
вида
называется
противоположным для комплексного числа z  a  bi
Множество комплексных чисел обычно обозначают С. По
определению C  a  bi a, b  R.
Правила нахождения суммы и произведения комплексных чисел
непосредственно вытекают из определения этих операций.
Если необходимо найти разность двух комплексных чисел z1 и z2,
нужно к числу z1 прибавить число противоположное z2.
Определение 6. Пусть z  a  bi - комплексное число. Число z  a  bi
называется сопряженным для числа z.
Мы определили, как складывать, умножать, вычитать комплексные
числа. Рассмотрим алгоритм деления комплексного числа z1  a  bi на
z2  c  di
1)
Запишем деление в виде дроби:
z1 a  bi

z 2 c  di
2)
Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное
знаменателю:
z1 a  bi (a  bi )(c  di ) (ac  bd )  (bc  ad )i



z 2 c  di (c  di )(c  di )
c2  d 2
в результате получили
действительное число.
дробь,
в
знаменателе
которой
3)
Разделим почленно числитель на знаменатель,
комплексное число, равное результату деления z1 на z2:
стоит
получим
z1 a  bi (a  bi )(c  di ) (ac  bd )  (bc  ad )i ac  bd bc  ad



 2

i
z 2 c  di (c  di )(c  di )
c2  d 2
c  d 2 c2  d 2
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1. Даны два комплексных числа z1  4  5i и z2  3  i . Найти:
1) z1 + z2, 2) z1 · z2, 3) z1 – z2, 4) z1 и z2 ,
5)
z1
z2
Решение.
1) z1 + z2 = (4  5i)  (3  i ) = (4  3)  (5  1)i  1  4i
2) z1 · z2 = (4  5i)  (3  i ) = (4  (3)  5  1)  (5  3  4  1)i =  7  19i
3) z1 – z2 = (4  5i)  (3  i ) = (4  (3))  (5  1)i = 7  6i
4) z1 = 4  5i ; z2 =  3  i
5)
z1 4  5i (4  5i )  (3  i ) (12  5)  (15  4)i  17  11i
17 11




=  i
10 10
z2  3  i
(3  i )( 3  i )
9 1
10
Рассмотрим еще одну возможность представления комплексного числа.
Из определения комплексного числа z  a  bi очевидно, что оно определяется
упорядоченной парой действительных чисел: (а, b). Из курса математики вам
известно, что любая упорядоченная пара действительных чисел однозначно
задает точку в прямоугольной системе координат. Таким образом, можно
установить взаимно однозначное соответствие между множеством
комплексных чисел и точками плоскости хOy.
Плоскость хOy, служащая для изображения комплексных чисел, в этом
случае, называется комплексной плоскостью Ось Oх называется
действительной осью; на ней изображаются действительные числа. Ось Oy мнимая ось; на ней изображаются чисто мнимые числа.
Расстояние от точки М ( a, b)
y
координат равно a 2  b 2 .
М(a, b)
b
до начала
Определение 7. Величина
z  a2  b2
……………………….(1)
называется модулем комплексного числа
z  a  bi .
Замечание. 1. Если мнимая часть
комплексного числа равна нулю, т.е.
комплексное
число
является
действительным, то его модуль совпадает с абсолютной величиной.
О
х
а
Определение 8. Угол  , 0    2 , отсчитываемый против часовой стрелки
от положительного направления действительной оси до луча OM ,
называется главным аргументом числа z  0 и обозначается arg z. Величина 
может быть найдена из системы:
b

,
sin  
2
2
a

b


a
, ……………………………………..(2)
cos  
a2  b2

0    2 .


Обозначим модуль комплексного числа через r  z , учитывая (1)
формулы (2) примут вид:
a  r cos  ,

b  r sin  ,
sin  
b
;
z
cos  
a
. Тогда
z
…………………………………………(3)
Учитывая все сказанное выше, комплексное число может быть
записано в еще одной форме:
z  r (cos  i sin  ) …………………………………(4)
Формула (4) называется тригонометрической записью комплексного числа
z  a  bi .
Замечание. Используя формулы (1) – (4) можно переходить от
алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, и
наоборот.
Рассмотрим
действия
над
комплексными
числами
в
тригонометрической форме записи.
Если комплексные числа z1 и z2 представить в тригонометрической
форме: z1  r1 (cos1  i sin 1 ), z2  r2 (cos2  i sin 2 ), то
1) z1 z2  r1r2 cos1   2   i sin1   2 . …………………………..(5)
2)
z1
r
 1 cos1   2   i sin 1   2 . ……………………………...(6)
z 2 r2
3) z1n  z1 (cos n1  i sin n1 ),n  Z . (формула Муавра) ……………(7)
Таким образом:
 произведением двух комплексных чисел, записанных в
тригонометрической форме, является комплексное число, модуль которого
равен произведению модулей этих чисел, а аргумент равен сумме аргументов
сомножителей;
 частным от деления двух комплексных чисел является комплексное
число, модуль которого равен отношению модулей этих комплексных чисел,
а аргумент равен разности их аргументов;
 n-ой степенью комплексного числа
является число, модуль
которого есть n-ая степень модуля первоначального числа, а аргумент равен
произведению числа n на аргумент первоначального числа.
Пример 2. Записать комплексные числа z1  1  i и z2   3  i в
n
тригонометрической форме и найти z1 · z2;
z1
и z14
z2
Решение. 1) Найдем модуль и аргумент числа z1.
По определению z  a 2  b 2 . Для числа z1: a =1; b = - 1, тогда z  2 .
Аргумент найдем из условий (2):

1
2

,
sin  
2
2


1
2

,
cos  
2
2

0    2 .


 
7
4
2) Запишем число в тригонометрической форме: z1  2 (cos
7
7
 i sin
)
4
4
3) аналогично найдем модуль и аргумент числа z2, и запишем его в
тригонометрической форме: z2  2(cos
2
2
 i sin
).
3
3
4) Найдем произведение z1 · z2 по формуле (5)
7
29
29 
2 

 7 2  
 i  sin


  i  sin 
  = 2 2  cos
12
12 
3 


 4
5
5 

z1  z2  2 2  cos
 i  sin
;
12
12 


z1·z2= 2 2  cos 
3
  4
Найдем частное
z1
по формуле (6):
z2
z1
2
7 2
7 2 
2
13
13 
=  cos    i sin     =
 i sin
 cos

2   4
3 
3 
z2
2 
12
12 
 4
Найдем степень z14 по формуле (7)
z14 =
 2   cos 4  74   i sin  4  74   = 4  cos 7  i sin 7  = 4  cos  i sin  
4





Кроме умножения, деления, возведения в степень, тригонометрическая
форма записи позволяет извлекать корни п-ой степени из комплексного
числа.
Теорема 9. Для любого комплексного числа z  r (cos  i sin  ), z  0,
существует ровно п корней п-ой степени, которые определяются по формуле:


 k  n r  cos
  2 k
n
 i sin
  2 k 
n
 , k  0; 1;...; n  1. …………..(8)

Пример 3. Найти все корни четвертой степени из числа 16i.
Решение.
Всего будет четыре корня четвертой степени, которые можно найти по
формулам (8)


1) Запишем число в тригонометрической форме: 16i  16 cos  i sin ,

2
2) Воспользуемся формулами (8):




 2  0
 2  0 



  2 cos  i sin ,
при k  0 , получим 0  4 16  cos 8
 i sin 8
8
8
4
4











 2 1
 2 1 

5
5 
  2 cos
 i sin
при k  1 , получим 1  4 16  cos 8
 i sin 8
,
8
8 
4
4











 2  2
 2  2 

9
9 
4
  2 cos
 i sin
при k  2 , получим 2  16  cos 8
 i sin 8
,
8
8 
4
4







2




 2  3
 2  3 

13
13 
  2 cos
 i sin
при k  3 , получим 3  4 16  cos 8
 i sin 8
.
8
8 
4
4







Задачи для самостоятельной работы
1. Вычислить:
а) i 3 ; б) i 4 ; в) i 241
2. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме
записи
1 i
;
а)
2i  1
б) (1  i )  (1  i ) ;
3
3
(2i  3) 2
i
в)

.
i 1
i 1
3. Представить комплексные числа в тригонометрической форме
а) -2;
б) i;
в) -2i;
г) 2 3  2i;
4. Найти все значения следующих корней:
а) 3 i ; б) 3  1  i; в) 6  64