Тест №5. «Формула Бернулли» Проводят n независимых опытов

Тест №5.
«Формула Бернулли»
Проводят n независимых опытов, в каждом из которых событие A
может наступить с одинаковой вероятностью р=р(А). Вероятность неудачи
в каждом опыте q=1-p.
Формула Бернулли дает вероятность того, что в n опытах событие A
наступит ровно m раз:
p n (m)  Cmn  p m  q nm
Из этой формулы можно получить, что в n опытах наиболее вероятное
число успехов m 0 будет:
np  q  m 0  np  p или m 0  np
Если число (np - q) целое, то m0 имеет два значения:
m0  np  q и m0  m0'  1
Если благоприятное событие соответствует нескольким значениям m,
то вероятность такого успеха:
p n (m1 , m k )  p n (m1 )  ...  p n (mi )  ...  p n (m k ); i  1, k
Например:
p10 (2,4)  p10 (2)  p10 (3)  p10 (4)
1. Станок-автомат даёт в среднем 4% брака. Взяли на проверку 30 деталей.
а) Среди них 2шт. - брак. Вероятность этого составляет....
1) 2/30
2) 0,24
3) 0,202
4) 0,1
б) Среди них 1 шт. - брак. Вероятность этого составляет....
1) 0,2
2) 0,372
3) 1/30
4) 0,04
в) Наивероятнейшее число бракованных деталей в 30шт составляет ....
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
2. Денежный приемник автомата может сработать неправильно с
вероятностью 0,03. Опустили 150 монет. Наиболее вероятное число
правильной работы автомата составляет...
1) 135
3. Коробку
2) 146
канцелярских
3) 140
кнопок
(100шт)
4) 120
рассыпали
по
полу.
Вероятность, что кнопка легла остриём вверх составляет 0,36. Следует
ожидать, что на полу остриём вверх лежит … кнопок.
1) 36
2) 18
3) 40
4. Играют два шахматиста одинаковой спортивной квалификации, т.е
вероятность выиграть или проиграть одинакова. Для каждого из них
вероятнее выиграть 2 партии из 4-х или 3 партии из 6-ти (без ничьих)...
1) две из 4-х
2) три из 6-ти
5. Монету бросают 25 раз. Наиболее вероятно, что герб выпадет ...
1) 11 и 12 раз
2) 12 и 13 раз
3) 13 или 14 раз
2
6. Монету бросают 8 раз. Вероятность того, что герб выпадет 5 раз
составляет...
1) 0,22
2) 0,44
3) 0,5
7. В семье 5 детей. Считая, что вероятность мальчика и девочки одинакова,
вероятность того, что среди детей 2 мальчика составляет...
1) 0,4
2) 0,3125
3) 0,5
8. Игральную кость бросили 46 раз. Наиболее вероятно, что 6 очков
выпадет … раз.
1) m0=6
2) m0=7
3) m0=8
9. Монету бросают 10 раз. Вероятность того, что герб выпадет от 4-х до 6ти раз составляет ...
1) 0,66
2) 0,5
3) 0,25
10.Вероятность попадания в мишень при любом одном выстреле равна
0,8. Делают 5 выстрелов в мишень.
а)
Вероятность
того,
что
будет
ровно
2
попадания
в
мишень
составляет...
1) 0,31
2) 0,25
3) 0,0512
б) Наиболее вероятное число попаданий в мишень составляет ....
1) 3
в) Вероятность,
2) 4
соответствующая
3) 5
наиболее
вероятному числу
попаданий, составляет…
1) 0,4096
2) 0,3
3) 0,22
3
11.Игральную кость бросили
120 раз. Ожидают событие - «число
очков кратно 3-м». Это событие вероятнее всего наступит ... раз.
1) 40
2) 60
3) 20
12.В ящике 20 белых и 10 черных шаров. Вынимают подряд 4 шара,
причем каждый раз вынутый шар возвращают в ящик перед
извлечением следующего и шары перемешивают. Вероятность того, что
из 4-х вынутых шаров окажутся 2 белых составляет…
1) 8/27
2) 1/4
3) 1/3
13.Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания
рабочего,
равна 0,6. Рабочий обслуживает 4 одинаковых станка.
Вероятность того, что в течение часа какой-либо один станок из 4-х
потребует внимания рабочего, составляет…
1) 0,1536
2)
4
(0,6)
3) 0,4
14.Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не меньше 9-ти
автомобилей, а их на автобазе 10шт. Вероятность выхода каждой
автомашины на линию равна 0,9. Вероятность нормальной работы
автобазы в ближайший день равна…
1) 0,81
2) 0,736
3) 0,9
15.У n испытаний Бернулли число возможных элементарных событий
составляет…
1)
2)
n
(1 / 2)
3) 2n
4
16.Проводят три испытания Бернулли – три раза бросают монету. Тогда
вероятность
любого
элементарного
события(ОРО,
ООР
и
т.д.)
составляет…
1) 1/3
2) 1/8
3) 1/6
17.В испытании Бернулли вероятность успеха равна 0,2; тогда вероятность
неудачи составляет…
1) 0,8
2)
2
(0,2)
3) 1/0,2
18.Проводят несколько испытаний в одинаковых условиях. В каждом
испытании
вероятность
появления
события
А
составляет
0,4.
Вероятность того, что событие А произойдет 2 раза в 2-х испытаниях,
составляет…
1) 0,8
2) 0,16
3) 0,24
19.Проводят несколько испытаний в одинаковых условиях. В каждом
испытании
вероятность
появления
события
А
составляет
0,4.
Вероятность того, что событие А произойдет 2 раза в 3-х испытаниях,
составляет…
1) 0,32
2) 0,064
3) 0,288
20.Канцелярскую кнопку бросают на стол 400 раз. Наиболее вероятное
число «успехов» - острие вверх равно 90.вероятность события: «кнопка
упала острием вверх» составляет…
1) 0,255
2) 0,31
3) 0,41
21.В тесте 16 задач; каждая задача имеет 4 варианта ответа, - один из них
правильный. Ученик отвечает наугад. Наиболее вероятное число
правильных ответов, составляет…
1) 4
2) 12
3) 1
5
22.Бросают одновременно 5 игральных кубиков. Вероятность того, что на
двух из пяти кубиков появится число 1, составляет…
1) 2/5
2) 0,161
3) 5/6
23.Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Ожидаемое
(необходимое) число попаданий равно 5. Для этого нужно произвести …
выстрелов.
1) 10
2) 20
3) 25
24.По цели стреляют 5 раз. Вероятность попадания при каждом выстреле
равна 0,2. Для поражения цели достаточно не менее трех попаданий.
Вероятность поражения цели составляет…
1) 0,058
2) 0,051
3) 0,00032
25.Монету бросают 10 раз. Вероятность того, что герб выпадет от 4-х до
6-ти раз, составляет…
1) 21/32
2) 0,5
3) 0,4
6
Тест
Пояснение
№
1.
Ответ
Опыт - проверка каждой из 30 деталей. Событие A - появление
брака; вероятность этого p  0,04 ; тогда q  0,96 .
0,202
По формуле Бернулли:
а) p30 (2)  C30 (0,04)  (0,96)
2
2
б) p30 (1)  C30 (0,04)  (0,96)
1
1
28
29
 0,202
 0,372
0,372
в) Наивероятнейшее число брака в 30-ти деталях составляет:
m 0  n  p  30  0,4  1,2  m 0  1шт
или так:
1
np  q  m 0  np  p
1,2  0,96  m 0  1,2  0,04
0,24  m 0  1,24  m 0  1
2.
По условию: n=150; p=0,97; q=0,03. По формуле:
np  q  m 0  np  p имеем:
146
150  0,97  0,03  m 0  150  0,97  0,97
145,44  m 0  146,47  m 0  146
3.
Наивероятнейшее число вычислим так:
36
m 0  np  m 0  100  0,36  36
4.
По условию p=q=1/2 и безразлично в какой последовательности
будут выиграны партии. Значит:
1 2  3  4  1 
p 4 (2)  C 24  p 2  q 2 
 
1  2 1  2  2 
5
p 6 (3)  C36  p 3  q 3 
6
2
2
6
1
  
 2  16
Две из
четырех
Две из 4-х выиграть вероятнее, чем три из 6-ти.
7
5.
n=25; p=q=0,5; по формуле:
np  q  m 0  np  p
12
25  0,5  0,5  m 0  25  0,5  0,5
и
12  m 0  13
Если в неравенстве справа и слева два целых числа, то ответ -
13
оба этих числа.
6.
Используем формулу Бернулли:
5
3
1 1 7
p8 (5)  C85  p5  q 3  C85         0,22
 2   2  32
7.
8.
1
p5 (2)  C52  p 2  q 3  C52   
 2
2
0,22
3
1 5
     0,3125
 2  16
0,3125
По условию: n=46; p=1/6; q=5/6
np  q  m 0  np  p
1 5
1 1
46    m 0  46   
6 6
6 6
5
5
6  m0  7  m0  7
6
6
9.
7
n=10; p=q=1/2. Вероятность:
p10 (4  m  6)  p10 (4)  p10 (5)  p10 (6) 
 C104  p 4  q 6  C105  p 5  q 5  C106  p 6  q 4
1
т.к. p  q  и С104  С106  210
2
210 252 210
p10 (4  m  6) 


 0,66
1024 1024 1024
0,66
8
10. По условию n=5; p=0,8; q=0,2.
а) вероятность ровно 2-х попаданий:
0,0512
p5 (2)  C52  p 2  q 3  C52  (0,8) 2  0,23  0,0512
б) Наиболее вероятное число попаданий:
4
m 0  n  p  5  0,8  4
в) Вероятность соответствующая m0 = 4 будет:
0,4096
p5 (4)  C54  (0,8) 4  0,2  0,4096
11.
По формуле: m 0  np , получим m 0  120 
12.
Вероятность извлечения белого шара одинакова p 
2
 40
6
40
20 2
 во
30 3
всех 4-х случаях.
8/27
По формуле Бернулли:
 2
p 4 (2)  C  p  q  C   
 3
2
4
2
2
2
2
4
2
8
1
  
 3  27
13. По формуле Бернулли:
(1)=
14.
∙ ∙
(9, 10)=
=4∙0,6∙
0,1536
=0,1536
(9) +
(10)=
∙
∙0,1+
∙
=
0,736
=0,3874+0,3487=0,736
15. У n испытаний Бернулли число возможных событий равно
16. Вероятность любого элементарного события в испытании
Бернулли равна 1/
=1/
1/8
=1/8
17. В испытании Бернулли q=1 - p=1 - 0,2=0,8
18.
(2)=
∙
∙
19.
(2)=
∙
∙ =3∙
20.
=1∙
∙1=0,16
0,16
∙0,6=0,288
0,288
=n∙p → 90=400∙p → p=90/400=0,225
21. n=16; p=1/4;
0,8
0,225
=n∙p=16∙1/4=4
4
9
22.
(2)=
∙
∙
=10∙ 125/7776≈0,161
=5; p=0,2 →
23.
0,161
=n∙p
25
5=n∙0,2 → n=25
24. По условию: n=5; р=0,2; q=0,8
Цель будет поражена, если в нее попадут 3,4 или 5 раз из пяти
выстрелов, т.е.
p=
(3)+
(4)+
(5)
(3)=
∙
∙
(4)=
∙
∙
(5)=
∙
=0,00032
0,058
=0,0512
=0,0064
p=0,058
25. p(4≤k≤6) =
(4)+
(5)+
(6)
(4)=
∙
∙
=
∙
=210/1024
(5)=
∙
∙
=
∙
=252/1024
(6)=
∙
∙
=
∙
=210/1024
21/32
p(4≤k≤6) = 21/32
10