Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние от точки до прямой в пространстве
Расстояние от точки до прямой в пространстве – это длина перпендикуляра, опущенного из этой
точки на прямую.
Через прямую и точку не лежащую на этой прямой можно провести плоскость и притом только одну.
Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве
В этой связи чрез данную прямую и не лежащую на ней данную точку нужно:
1. Провести плоскость;
2. В этой плоскости опустить из точки на прямую перпендикуляр;
3. Найти длину перпендикуляра, который является искомым расстоянием от точки до прямой.
1.
В единичном кубе A D1 найти расстояние
от точки В до DD1 .
Проведем через данную точку В и данную
прямую DD1 плоскость. Это плоскость D1 DB
(диагональное сечение DD1B1B ). В этой
плоскости
из
точки
В
опускаем
перпендикуляр на DD1 . Это отрезок DB, так
как DD1  ADC , а значит любой прямой в
этой плоскости. Длина перпендикуляра DB
искомое расстояние.
DB  2 - диагональ квадрата, которая
находится из ADB ( A  90. AD  AB  1 )
по теореме Пифагора.
Ответ: DB  2 .
2.
В единичном кубе A D1 найти расстояние
от точки В до AD1 .
Проведем через данную точку В и данную
прямую AD1 плоскость BAD1
(диагональное
сечение BAD1C1 ). В этом сечении можно
рассмотреть D1 AB ,
который
является
прямоугольным. BA  AD1 по теореме о трех
перпендикулярах (проекция AD наклонной
AD1 перпендикулярна АВ, следовательно
AD1  AB . Как вы понимаете АВ и есть
расстояние от точки В до AD1 .
Ответ: BA  1 .
3.
В единичном кубе найти расстояние от
точки В до прямой A1C1 .
Проведем через данную точку В и данную
прямую A1C1 плоскость A1C1 B . Сечение куба
этой плоскостью есть равносторонний A1C1B
со
стороной
равной 2 .
Искомым
расстоянием
является
высота
ВК
равностороннего A1C1B .
1-й способ:
BK  BC12  KC12  ( 2) 2  (
2 2
1
)  2 
2
2
3
2
.
2-й способ:
BK
2 3
3
3
 Sin60 ; BK  BC1  Sin60 


BC1
2
2
2
.
3
Ответ: BK 
.
2
4.
В единичном кубе найти расстояние от
точки В до A1 D .
Проведем через данную точку В и данную
прямую A1 D плоскость A1DB . Сечение куба
этой плоскостью есть равносторонний A1DB
со стороной равной 2 . Из точки В опустим
перпендикуляр ВК на прямую A1 D . Длина ВК
– искомое расстояние.
BK
2 3
3
 Sin60; BK  BA1  Sin60 

.
BA1
2
2
Ответ: BK 
3
.
2
5.
В единичном кубе найти расстояние от
точки В до прямой A1C .
Проведем через данную точку В и данную
A1 BC .
прямую A1C плоскость
В
этой
A1BC .
плоскости
рассмотрим
Это
прямоугольный треугольник. A1B  BC по
теореме о трех перпендикулярах (проекция
АВ наклонной A1B перпендикулярна ВС
следовательно и наклонная A1B  BC ).
В A1BC опустим перпендикуляр ВК из точки
В на A1C . ВК – искомое расстояние. Длину ВК
найдем из уравнения, в котором левая и
A1BC
правая части - это площадь
A1 B  BC BK  A1C

.
2
2
Откуда BK 
A1 B  BC
; A1 B  2;
A1C
A1C  12  12  12  3 ;
BK 
2 1
2

.
3
3
Ответ: BK 
2
.
3
6.
В единичном кубе найти расстояние от
точки В до прямой DB1 .
Проведем через точку В и прямую DB1
плоскость.
В этой
плоскости рассмотрим DBB1 ,
B  90 так как BB1  ADB , следовательно
BB1 перпендикулярна любой прямой в
плоскости ADB , в том числе и DB . Из точки
В опустим перпендикуляр ВК на прямую DB1
. Длина ВК – искомое расстояние.
BK  DB1  BB1  BD; BK 
Ответ: BK 
BB1  BD 1  2


DB1
3
2
.
3
В правильной шестиугольной пирамиде
SABCDEF стороны основания равны 1, а
боковые ребра 2, найдите расстояние от
точки В до прямой SF.
Через данную прямую FS и данную точку В
проводим плоскость FSB. В этой плоскости
из точки В опускаем перпендикуляр ВР на
прямую FS. Длина этого перпендикуляра ВР
есть искомое расстояние. FSB равнобедренный ( FS  SB ). Есть несколько
способов нахождения РВ. Рассмотрим один
из них. В FSB SF  SB  2; FB  3. По
теореме косинусов найдем косинус угла S.
FB 2  2 FS 2  2 FS 2  CosS ;
3  8  8  CosS ;
5
25
39
CosS  ; SinS  1 

.
8
64
8
7.
SPB : PB  SB  SinS 
Ответ: PB 
39
.
4
2  39
39

.
8
4
2
.
3
8.
В правильной шестиугольной призме A...F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки В до прямых:
а) D1C1
б) F1 E1 .
а) Рассмотрим трапецию BED1C1 - D1C1 BE по
свойству параллельности плоскостей (
EB  D1C1 ). Удобнее сместить точку В в
точку К. Точка К – основание высоты
трапеции. C1 K - искомое расстояние.
Рассмотрим C1KB : C1K  C1B2  KB 2 .
C1 B  1  1  2;
( EB  D1C1 ) 2  1 1

 ;
2
2
2
1
7
C1 K  2  
;
4
2
KB 
7
.
2
б) Проведем BF1 и BE1 . Высота BF1E1 есть
Ответ: C1 K 
искомое расстояние. Найдем проекцию BF1 на
плоскость A1B1...F1 . Это B1 F1 . Найдем E1F1B1 .
Внутренний угол правильного
шестиугольника равен 120 . Значит
A1F1B1  30 и E1F1B1  90 , поэтому
BF1  F1E1 по теореме о трех
перпендикулярах. BF1 - искомое расстояние.
B1 F1  3;
BF1  1  3  2.
Ответ: BF1  2.
Запомните, что E1 F1 B - прямоугольный.
9.
В правильной шестиугольной призме A...F1 ,
все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки В до прямой:
а) E1C1 ;
б) AE1 .
а) Рассмотрим BC1 E1 . Высота этого
треугольника опущенная из вершины В на
E1C1 есть искомое расстояние.
Проекцией BC1 на верхнее основание
является B1C1 , B1C1  E1C1 , поэтому
BC1  E1C1 по теореме о трех
перпендикулярах. BC1 - искомое расстояние.
BC1  2 - диагональ квадрата.
б) Рассмотрим BA1E1 . Проекция BA1 на
верхнюю плоскость A1B1...F1 является B1 A1 .
B1 A1  A1E1 , значит по теореме о трех
перпендикулярах BA1  A1E1 , BA1 - искомое
расстояние. BA1  2 .
Найдем некоторые отрезки и углы в
правильном шестиугольнике при условии,
что сторона AB  1 . О – центр
шестиугольника. Тогда AO  1 и AD  2 .
Внутренний угол ABC найдем по формуле
180(n  2)
n 
, если n  6 , то  6  120 .
n
1 3
AK  AB  Cos30 
; AC  3  AE.
2
ACD  AED  90.
OBDC – ромб.
1
3
OM  MC  ; BM  MD 
.
2
2
AA1 , BB1 , CC1 - медианы, высоты, биссектрисы
правильного ABC , сторона которого равна
a.
a 3
BB1  a  Sin60 
- высота.
2
BO  R , где R – радиус описанной
окружности.
OB1  r , где r – радиус вписанной
окружности.
2
2a  3
a
R   BB1 

;
3
3 2
3
R
a
r 
;
2 2 3
a2  3
S ABC 
.
4