Федеральное агентство по образованию Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию
Министерство образования и науки Российской федерации
Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт
Кафедра математики и
методики ее преподавания
И.М. Борисенко, У.А. Яковлева
Учебно-методическое пособие
Славянск-на-Кубани
2007
2
ББК
Рекомендовано к печати
редакционно-издательским советом СГПИ
И.М. Борисенко, У.А.Яковлева
Решение позиционных задач: учебно-методическое пособие по геометрии
для студентов специальности «032100-Математика»/ Славянский-на-Кубани
государственный педагогический институт. - Славянск-на-Кубани: ИЦ
СГПИ, 2007.– 44с.
Методическое пособие включает в себя теоретический и практический
материал, относящийся к теме «Решение позиционных задач».
Данное пособие адресовано студентам математических факультетов
педагогических вузов, обучающихся в 3 учебном семестре по специальности
«032100-математика», а также преподавателям, ведущим лекционные и практические занятия по разделу геометрии «Методы изображений. Позиционные
задачи».
Рецензенты:
Пособие утверждено на заседании
кафедры математики и МПМ
(протокол № от
07 г.)
 Издательский центр
СГПИ, 2007
3
Введение
1. Роль и место раздела «Методы изображений» в математике
В технике, изобразительном искусстве, преподавании для исследования геометрических свойств предметов часто приходится пользоваться изображениями пространственных фигур на плоскости, называемыми чертежами.
При помощи чертежей могут быть мысленно представлены формы предметов, определены размеры и взаимное расположение их отдельных геометрических элементов[23].
Необходимо отметить, что изучение раздела «Методы изображения», а
в частности темы «Решение позиционных задач», формирует и развивает
пространственные представления, связанные с изображением пространственных форм на чертеже.
При решении задач на плоскости, как правило, не возникают трудности, связанные с изображением изучаемых фигур на листе бумаги или на
доске. Если нет возможности изобразить фигуру в натуральную величину,
рисуют подобную ей фигуру. В стереометрии дело обстоит иначе ясно, что
для произвольной фигуры не существует подобной плоской фигуры. Поэтому пространственные фигуры изображаются на плоскости с теми или иными
искажениями. Существуют различные методы изображения пространственных фигур[25].
В школьном преподавании геометрии применяют изображения фигур,
полученные при помощи параллельного проецирования оригинала. Построение изображения методом центрального проецирования значительно сложнее, чем с помощью параллельного проецирования, поэтому данный метод в
школьной практике не используется.
Особое внимание следует уделить понятию полноты изображения фигуры, которое в школьной программе не изучается, и поэтому у абитуриентов
возникают трудности при решении задач на сечение.
4
Данный теоретический материал не рассматривается в школьном курсе
геометрии, а без него невозможно осознано решать задачи на сечение и вычисления, исключительно важные для будущих учителей.
2. «Методы изображений» как учебная дисциплина в педвузе
Потребность современного образования ставит перед методикой преподавания математики новые задачи. Особенно остро встает вопрос о методике изучения раздела геометрии «Методы изображений». Цель его изучения
в педвузе двойная. С одной стороны, студенты получают ЗУНы, необходимые для будущей работы в школе: это знание требований к педагогическому
чертежу, знание свойств центрального и параллельного проецирования, умение изображать пространственные фигуры на плоскости(каждому учителю
придется изображать фигуры на доске или плакатах), строить сечения и т. д.
С другой стороны, студенты развивают свое пространственное мышление,
имеющиеся пространственные представления, учатся видеть ошибки в чертежах[25].
В соответствии с государственным общеобразовательным стандартом
раздел геометрии «Методы изображений. Позиционные задачи» изучается
студентами специальности «032100-математика» во 3 учебном семестре.
Всего на изучение раздела «Методы изображений» в соответствии с
учебной программой выделяется в 3 семестре 14 аудиторных часов, в том
числе на тему «Решение позиционных задач»- 8 аудиторных часов: 2 лекционных и 6 практических. В условиях современной нехватки учебных часов,
отведенных на изучение геометрии вообще, и данного ее раздела в частности,
государственным образовательным стандартом нового поколения, значительно возрастает роль самостоятельной работы студента (СРС). СРС включает в себя такие виды деятельности студента, как работа с учебной литературой, «проработка» лекций, самостоятельное решение задач, работа над индивидуальными заданиями. В ходе учебного процесса регулярно осуществляется диагностика и коррекция знаний, умений и навыков обучаемых. В це-
5
лях осуществления контроля учебной программой предусмотрено проведение 1 контрольной работы, 1 коллоквиума, 1 теста в компьютерном классе. В
конце семестра в соответствии с учебным планом предусмотрен экзамен.
Ниже дано распределение часов на различные виды учебной деятельности студента по вопросам данного раздела.
№
Количество часов
1
0,25
4
Самостоятельная
3
работа
Практические
контрольные
Лекции
1
Всего
тем
Всего часов
Наименование разделов и
Аудиторная работа
Центральное и параллельное
8,5
проецирование
4
2
Аксонометрия
4,5
4
2
2
0,25
2
3
Позиционные задачи
12,5
8
2
6
2
4
4
Метрические задачи
8,5
4
2
2
0,5
4
8
6
3
14
Всего
31
14
В данном методическом пособии рассматривается 3 тема данного раздела геометрии.
3. План-конспект лекционного занятия
Тема: Полнота изображений. Позиционные задачи
Цель: Образовательная: познакомить студентов с понятием полноты
изображений, с методами решения позиционных задач и проиллюстрировать
их на конкретных примерах.
Развивающая: развивать память, логическое мышление, умение
анализировать, выделять закономерности.
Тип занятия: лекция-визуализация.
6
План лекции
1. Организационный момент. (7 мин.)
2. Актуализация базовых знаний. (5 мин.)
3. Изложение нового материала. (73 мин.)
4. Итог занятия. (5 мин.)
Оборудование: доска, линейка, цветной мел, мультимедиапроектор,
компьютер.
Ход занятия
1. Организационный момент: приветствие студентов, проверка присутствующих, мотивация к изучению темы.
Мотивация к изучению темы:
Начнем с того, зачем мы изучаем методы изображений и позиционные
задачи. Эта тема тесно связана со школьным курсом геометрии. Учащиеся в
школе применяют изображение фигур, полученные при помощи параллельного проецирования, но в школе не рассматривается понятие полноты изображений, и поэтому у абитуриентов возникают трудности при решении задач
на сечения. И естественно, учитель должен знать о требованиях, предъявляемых
к педагогическому чертежу, об основных методах проецирования,
уметь изображать пространственные фигуры на плоскости, уметь строить сечения. Это и будет целью изучения данной темы.
2. Актуализация базовых знаний.
Давайте вспомним, какие методы проецирования вы знаете, в чем их
основная идея?
-центральное проецирование(Если центр проецирования S- собственная точка пространства, то проецирование П называется центральным);
-параллельное проецирование(Если центр проецирования S- несобственная точка пространства, то проецирование П называется параллельным);
7
-ортогональное проецирование(Если направление проецирования перпендикулярно плоскости изображений, то такое проецирование называется
ортогональным).
3. Изложение нового материала.
На этом занятии вы встретитесь с такими новыми понятиями как полнота изображений, позиционные задачи и с уже известными понятиями, которые вам знакомы с предыдущих лекций.
1. Полные и неполные изображения
1. Пусть на плоскости  дано изображение F
некоторой фигуры
F ' (рис.1). Нам необходимо определить будет ли изображение фигуры F
полным?
М
С
А
В
Рис.1.
Для этого присоединим к нему изображение R аффинного репера
(А,В,С,М).
Посмотрим, определены ли все точки изображения F в этом репере?
Все точки изображения F определены , значит определены все ребра и
грани этого изображения, то изображение F полное.
Выведем теперь определение полного изображения:
Оп.: Изображение F некоторой фигуры F ' на плоскости  называется
полным, если к нему можно присоединить изображение аффинного репера(т.е. в изображении фигуры F выделить изображение аффинного репера)
8
так, что все точки, прямые и плоскости, определяющие фигуру F, являются
заданными.
2. Теперь мы присоединим к изображению F изображение F 1 , т.ч.
(АВС)=(А 1 В 1 С 1 ) (рис.2). Попробуйте присоединить к нему изображение репера, будет ли изображение F 1 полным?(студенты самостоятельно получают
ответ на этот вопрос)
М
С(С1)
А(А1)
В(В1)
М1
Рис.2.
3. Давайте выясним, будет ли свойство изображения быть полным
(или не полным) зависеть от выбора присоединенного аффинного репера?(при ответе нет преподаватель обращается к рис.1 и приводит другой
пример)
Посмотрите на изображение F фигуры F ' (рис.2). Попробуйте присоединить изображение другого репера, например, (М,А,В,С), (С,М,А,В)… Будет ли в этих случаях изображение F полным?(Возможный вариант ответа 1
(неверный): да будет, тогда преподаватель просит назвать проекцию точки
М1; 2(верный) не будет, тогда продолжает дальше)
4. Можно записать теорему:
Т.: Полное изображение F определяет оригинал F ' с точностью до аффинной эквивалентности.
9
5. Вернемся к рис.2. Сколько точек не задано? Сколько точек надо задать, чтобы изображение стало полным?( Возможный вариант ответа: не
задана одна точка)
Отсюда следует определение:
О.: Число независимых переменных, значение которых надо задать,
чтобы изображение сделать полным, называется коэффициентом неполноты
изображения.
Т.е. на рис.2 коэффициент неполноты равен 1.
6.Изображения точек, лежащих на поверхности призмы, пирамиды, конуса, цилиндра являются полными, а изображение внутренних точек, указанных выше тел не являются полными.
2. Позиционные задачи
C’
S’
.
A’
N’
.
M’
B’
. .
M’
С0 ’
C 0’
А0’
M0’
N0’
В0
’
Рис.3.
А0’
M0’
N’
N0’
B0’
Рис.4.
Дано изображение точки M ' . Необходимо, чтобы изображение точки
M ' было полным. Что для этого нужно сделать?(спроецировать точку M ' на
плоскость основания).
Проецируем точку M ' оригинала из какой- нибудь точки (при центральном проецировании)(рис.3) или параллельно какой- либо прямой (при
10
параллельном проецировании)(рис.4) на некоторую вспомогательную плоскость. Эту плоскость называют основной, или плоскостью оснований, а само
проецирование внутренним. Затем поменяют метод аксонометрического проецирования и строят аксонометрическую (М) и вторичную (М 0 ) проекции
точки М ' . Тогда изображение точки М ' становится полным.
2. Задачи, в которых по данным инциденциям (взаимным расположениям фигур) требуется построить новую, называются позиционными.
Приведите примеры позиционных задач, которые вы знаете?(ребята
могут привести следующие примеры: нахождение точки пересечения прямой
и плоскости, нахождение линии пересечения двух плоскостей,, построения
сечения многогранника плоскостью и т.д.)
Т.об. можно выделить три основных типа задач:
- инциденция точек, прямых и плоскостей;
- задачи на сечения;
- инциденция прямых и поверхностей.
Позиционные задачи на полных изображениях имеют вполне определенное решение, иначе говоря, их решение не имеет никакого произвола (и
выполняются аналогично соответствующим построениям в оригинале). Если
же изображение не полное, то решая позиционную задачу, некоторые элементы можно задавать произвольно.
Мы будем рассматривать задачи первых двух типов.
3. Т.: На полных изображениях можно построить сечения призм, пирамид, цилиндров и конусов плоскостью.
4. Плоскость называется секущей плоскостью многогранника, если по
обе стороны от этой плоскости имеются точки данного многогранника.
Многоугольник, сторонами которого являются отрезки , по которым
секущая плоскость пересекает грани многогранника, называется сечением
многогранника.
5. Рассмотрим тетраэдр (рис.5) , у него 4 грани. По скольким граням
11
может пересечь секущая плоскость данный многогранник? Может ли она
пересечь только две грани? Одну грань?
Рис.5.
А теперь рассмотрим параллелепипед (рис.6)
Рис.6.
(С помощью проектора показать возможные сечения многогранников)
6. Рассмотрим секущую плоскость  и грани многогранника. Что значит построить линию пересечения двух плоскостей? Что такое вершины
сечения многогранника? Что такое стороны сечения многогранника? (вершины- следы секущей плоскости на ребра многогранника, стороны- следы
секущей плоскости на грани многогранника).
Т.об., решение позиционных задач сводится к многократному применению построений следа прямой и плоскости и двух плоскостей.
7. Решение задачи на построение точки пересечения прямой с поверхностью сводится к проведению через эту прямую подходяще выбранной секущей плоскости. В случае многогранника эту плоскость нетрудно найти, так
12
как сечением многогранника является многоугольник и пересечение многоугольника с прямой легко найти. Если же сечение есть кривая, то эта кривая
строится лишь приближенно по точкам и искомое пересечение находится
приближенно.
8. Рассмотрим рис.7.
Пусть  и - соседние грани, а- общее ребро, где =а,[M,N]- сторона
сечения стороны ,P  . Нужно построить сторону сечения грани . Что
общего имеют стороны  и ?(прямую а) Теперь нам надо построить точку,
которая будет принадлежать обеим плоскостям и секущей плоскости. Где эта
точка будет расположена?(на прямой а) Как получить эту точку?((MN)  а=
T, теперь мы имеем точку Т   и точку Р  , то ТР  ) Как построить сторону
сечения грани ?(ТР пересекает ребра грани  в точках А и В, [А,В]-сторона
сечения грани )(рис.8)
Рис.7.
Рис.8.
9. Зам.: При решении задач на построение сечений многогранников
удобно пользоваться данным приемом.
Теперь давайте выведем алгоритм построения сечения многогранника:
13
Построить сечение многогранника
плоскостью, заданной тремя точками
Две точки принадлежат одной грани
Нет
Применить внутреннее
проецирование
Да
Провести сторону сечения
многогранника в грани, содержащей данные точки
Применить замечание(рис.7,
рис.8)
При построении сечений на
изображениях призм, использовать свойство, что плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым
4. Итог занятия.
Лектор ведет беседу со студентами.
Итак, на этой лекции вы познакомились с понятиями полноты изображения, с позиционными задачами и методами решения позиционных задач(с
помощью центрального, параллельного и аксонометрического проецирования)
Какова основная идея решения позиционных задач?
Возможный вариант ответа: Идея заключается в том, чтобы по взаимным расположениям фигур построить новую фигуру, используя при этом методы проецирования.
14
Как вы думаете, в каком случае решая позиционные задачи, мы можем
некоторые элементы задавать произвольно?
Возможный вариант ответа: Решая позиционные задачи на неполных
изображения можно некоторые элементы задавать произвольно, а на полных
изображениях позиционные задачи не содержат никакого произвола, а имеют
вполне определенное решение.
4. Планы-конспекты практических занятий
Практическое занятие №1
Тема: Полнота изображений. Позиционные задачи
Цель: Сформировать у студентов понятие полноты изображений и показать какое отношение имеет полнота изображения к возможности и однозначности решения позиционной задачи, научить решать позиционные задачи первого типа(инциденция точек, прямых и плоскостей).
Структура занятия:
1. Организационный момент. (5 мин.)
2. Решение задач. (80 мин.)
3. Постановка домашнего задания. (5 мин.)
Оборудование: доска, линейка, цветной мел, мультимедиапроектор,
компьютер.
Ход занятия:
1.Организационный момент.
Приветствие. Проверка присутствующих. Сообщение темы и цели занятия.
В школе вы встречались с некоторыми задачами, относящимися к позиционным, но понятие полноты изображения фигуры в школьном курсе
геометрии не рассматривается. На этом занятии мы посмотрим какое отношение имеет полнота изображения к возможности и однозначности решения
позиционных задач.
2. Решение задач.
15
Решение некоторых задач преподаватель сопровождает демонстрацией
рисунков с помощью проектора.
Для решения задачи преподаватель вызывает одного студента к доске(или спрашивает с места). Но в любое время он может прервать решение
примера студентом и попросить продолжить решение задания другого студента.
Задача 1. Доказать, что изображение треугольной призмы ABCA1В1С1
является полным.
Решение:
Выделим в изображении данной треугольной призмы изображение репера {A,’B’,C’,A1’}(рис.9 выводится на экран). Тогда вершины призмы лежат
в координатных плоскостях.{Что мы можем сказать об изображениях этих
точек?} Поэтому их изображения совпадают с соответствующими вторичными проекциями, т.е. являются заданными, значит изображение треугольной призмы является полным.
А’
B’
C’
В
А
С
Рис.9.
Задача 2. Доказать, что изображение шестигранника(рис.10 выводится
на экран) не является полным. Определить коэффициент неполноты.
Решение:
16
{Эту задачу мы рекомендуем решить устно, так как она уже затрагивалась на лекции}
Изображение многогранника будет неполным, если существует такое
присоединенное к нему изображение репера, в котором хотя бы одна из его
точек не задана. Рассмотрим репер {A’,C’, B’,D’}. {Все ли точки заданы?}.
Вторичная проекция точки Е’ в этом репере не определена. Этой проекцией
может служить любая точка прямой, проходящей через Е параллельно AD.
Задав эту точку, получим полное изображение. Поэтому коэффициент неполноты равен 1.
D
B
А
C
E
Рис.10.
Задача 3. На рисунке 11(изображение выводится на экран) изображен
тетраэдр и прямая. Является ли это изображение полным? Найти коэффициент неполноты.
Решение:
{Попробуйте самостоятельно присоединить изображение какоголибо репера и определите коэффициент неполноты? Если учащиеся не справятся, то преподаватель объясняет сам}
17
Это изображение не является полным, так как, если, например, к нему
присоединить изображение репера{A,B,C,D}, то вершины тетраэдра A’B’C’D’
окажутся заданными, а точки M’ и N’–нет(не определены их вторичные проекции). Коэффициент неполноты равен 2.
D
.
M
.
N
А
С
В
Рис.11.
Задача 4. Дана четырехугольная призма ABCDA’B’C’D’ . Точка M– середина ребра BB’. Построить точку пересечения плоскости, проходящей через вершины A, B’ и C, с прямой MD.
Решение:
{Как мы можем получить искомую точку?- правильный вариант ответа: необходимо построить точку пересечения данной прямой с подходяще
выбранной прямой в исходной плоскости}
Пусть ABCDA’B’C’D’– изображение данной призмы, O- точка пересечения диагоналей основания ABCD (рис.12). Для построения искомой точки X
рассмотрим плоскость, содержащую прямую MD, найдем прямую пересечения этой плоскости с плоскостью ACB’. Тогда точка Х совпадает с точкой пересечения построенной прямой и прямой MD. Удобнее всего в качестве
плоскости, содержащей MD, взять плоскость BDD’B’. Эта плоскость пересекается с плоскостью ACB’ по прямой B’O. Таким образом, искомая точка Х
совпадает с точкой пересечения прямых MD и B’O.
B'
C'
А'
D'
18
M
X
B
C
O
А
D
Рис.12.
Задача 5. Дано изображение пирамиды ABCD и прямой, пересекающей
ее грани ABD и BCD в точках M и N. Найти след прямой MN на плоскости
основания ABC.
Решение
{Что значит найти след прямой на плоскость?- правильный вариант
ответа :нужно найти точку пересечения данной прямой с плоскостью основания пирамиды}
Присоединим к изображению данной пирамиды изображение {A, B, C,
D} аффинного репера. Прямая MN лежит в плоскости DMN, поэтому след X0
этой прямой лежит на следе p0 плоскости DMN, то есть X0 - точка пересечения прямых MN и p0 . Построим след p0 плоскости DMN. Прямые DM и DN
пересекают плоскость основания пирамиды в точках M0 и N0, поэтому прямая
p0 проходит через точки M0 и N0, то есть совпадает с прямой M0N0. Таким образом, X0=MN ∩ M0N0 (рис.13).
D
M
N
А
p
С
N0
M
0
В
Рис.13.
X0
19
Задача 6. Дана четырехугольная призма ABCDA’B’C’D’ и точки M и N
на гранях AA’B’B и BB’C’C . Найти точку пересечения прямой, параллельной
MN и проходящей через центр симметрии призмы, с плоскостью основания.
Решение
{Прежде нужно вспомнить, что мы может провести прямую параллельную данной, только если эти прямые лежат в одной плоскости , поэтому для решения данной задачи необходимо выбрать подходящую плоскость}
Пусть ABCDA’B’C’D’ – изображение данной призмы, а M и N – данных
точек. Обозначим через M3 и N3 вторичные проекции точек M и N . Центр
симметрии O3 параллелограмма ABCD является вторичной проекцией центра
симметрии O призмы на координатную плоскость ABD. Точка P пересечения
прямых MN и M3N3 представляет собой изображение точки пересечения прямой MN с плоскостью основания призмы. Так как изображением параллельных прямых являются параллельные прямые, то прямые l и l3, проходящие
через O и O3, соответственно параллельные MN и M3N3, служат изображениями искомой прямой и ее вторичной проекции. Искомая точка X совпадает с
точкой пересечения прямых l и l3( рис.14).
B'
C'
N
А'
D'
O
M
B
l
O3
P
А
l3
M3
X
Рис.14.
3. Постановка домашнего задания.
Решить номера:
C
N3
D
20
№ 58: Доказать, что изображения следующих многогранников являются полным:
-четырехугольной призмы;
-n-угольной призмы;
-треугольной пирамиды;
-четырехугольной пирамиды;
-n-угольной пирамиды.
№ 59: Доказать, что изображения многогранников на рисунке 82(стр.30) не
являются полными. Определить их коэффициент неполноты.
№ 66: Дана четырехугольная пирамида SABCD и точки M и N на гранях ABS
и ADS. Построить точку пересечения прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника BCS и параллельной MN с плоскостью основания ABCD.
Практическое занятие №2
Тема: Решение позиционных задач методами центрального, параллельного и аксонометрического проецирования
Цель: Сформировать у студентов умения и навыки решения позиционных задач первого типа методами центрального, параллельного и аксонометрического проецирования.
Структура занятия
1. Организационный момент. (2 мин.)
2. Решение задач. (85 мин.)
3. Постановка домашнего задания. (3 мин.)
Оборудование: доска, линейка, цветной мел, мультимедиапроектор,
компьютер.
Ход занятия
1.Организационный момент.
Приветствие. Проверка присутствующих. Сообщение темы и цели занятия.
2. Решение задач.
21
Задача 1. Даны изображения тетраэдра SABC и прямой PQ, точка P
принадлежит прямой KL, проведенной в грани SAC, точка Q лежит в плоскости основания тетраэдра. Построить тоски пересечения прямой PQ с тетраэдром.
Решение:
{Нам дан тетраэдр, значит какой вид проецирования мы будем использовать?}. Преподаватель вызывает одного студента к доске и следит
за правильностью решения задачи.
Сначала заметим, что изображение точек поверхности тетраэдра является полным. Действительно , если считать, что A’B’C’ – плоскость основания, а S’ – центр внутреннего проецирования, то каждая точка данных фигур
определена на изображении. Пусть П – плоскость, проходящая через прямую
PK и точку Q. Методом следов легко построить треугольник KLM – пересечение плоскости П и пирамиды. Тогда X и Y – точки пересечения прямой PQ
и поверхности пирамиды.
Замечание: Точки X и Y можно построить, если пересечение прямой PQ
с плоскостью треугольника KLM не пустое множество . Если же пересечение
является пустым множеством, то прямая PQ не пересекает данную пирамиду
(рис.15).
S
P
K
X
А
.
M
.
Y
L
C
B
Рис.15.
Q
22
Задача 2. Построить следы плоскости α’ на координатных плоскостях,
если α’ определена тремя точками, на лежащими на одной прямой (M,M3),
(N,N3), (P,P3).
Решение:
{Что будет являться следом плоскости на плоскость?- правильный
вариант ответа: прямая, т.е. нам нужно построить прямую пресечения плоскостей}
Построим изображение линии пересечения искомой плоскости с координатной плоскостью O’E1’E2’. Для этого достаточно построить изображения
двух точек, принадлежащих искомой прямой пересечения. Рассмотрим точку
S пересечения прямых PN и P3N3. Эта точка лежит в координатной плоскости
O’E1’E2’, так как ей принадлежит прямая P3N3. Она также лежит в плоскости
α’, так как находится на прямой PN. Аналогично точка T пересечения PM и
P3M3 лежит и в α’, и в плоскости O’E1’E2’. Прямая l, проходящая через S и T,
является искомой. Аналогично строятся изображения линий пересечения с
другими координатными плоскостями. Для этого следует использовать вторичные проекции данных точек на эти плоскости( рис.16).
N
M
P
.
E3
.
O
E1
.
E2
M3
N3
P3
T
l
S
Рис.16.
Задача 3. На ребре MB пирамиды MABCD заданы точка P, в грани
MAD – точка Q. В плоскости MAC внутри пирамиды задана точка R. Построить след плоскости PQR на плоскость ABC.
23
Решение. Примем плоскость ABC за основную плоскость и найдем точки
P’,Q’ и R’ – проекции соответственно точек P,Q и R на плоскость
ABC.(Естественно, центром внутреннего проецирования является в этом случае точка M). Так как точка P лежит на ребре MB, то точка P’ совпадает с
точкой B. Так как точка Q лежит в грани MAD, то точка Q’=MQ∩AD. Аналогично, точка R’=MR∩AC. Теперь секущая плоскость является заданной. Перейдем к построению искомых следов. Пересекающимися прямыми MP и
MQ определяется плоскость. В этой плоскости и лежат прямые PQ и P’Q’. В
общем случае эти прямые не параллельны. Найдем точку их пересечения
S1=PQ∩P’Q’. Так как точки P и Q лежат в плоскости PQR, то и точка S1, лежащая на прямой PQ, лежит в плоскости PQR. Аналогично, приходим к выводу, что так как точки P’ и Q’ лежат в плоскости ABC, то и точка S1, лежащая
на прямой P’Q’, лежит в плоскости ABC. Таким образом, точка S1 является
общей точкой плоскостей PQR и ABC. Это значит, что плоскости PQR и ABC
пересекаются по прямой, проходящей через точку S1. Рассуждая точно так
же, находим еще одну общую точку искомого следа, а именно точку
S2=PR∩P’R’. В итоге получаем прямую S1S2- искомый(основной) след плоскости PQR( рис.17).
M
P
Q
R
C
S4
'
B(P )
R'
A
Q'
S2
D
S3
S1
Рис.17.
24
Задача 4. На ребре BB1 призмы ABCA1B1C1 заданы точка P, в грани
ACC1A1- точка Q и вне призмы в плоскости BB1D, точка D которой лежит на
прямой AC и при этом точка C находится между точками A и D, задана точка
R. Построим след плоскости PQR на плоскость ABC.
Решение:
{В чем главное отличие данной задачи от предыдущей? - правильный
вариант ответа: здесь мы будет использовать параллельное проецирование}
Выберем плоскость ABC в качестве основной плоскости и построим
проекции точек P,Q и R на эту плоскость в направлении, параллельном прямой AA1. Так как точка P лежит на ребре BB1, то точка P’ совпадает с точкой
B. Так как точка Q лежит в грани ACC1A1, то точка Q’ лежит на ребре AC.
Проведя в плоскости ACC1 через точку Q прямую, параллельную прямой AA1,
получим на прямой AC точку Q’. В плоскости BB1D через точку R проведем
прямую, параллельную прямой BB1 и найдем точку пересечения проведенной
прямой с прямой BD – точку R’. Секущая плоскость считается заданной на
проекционном чертеже. Перейдем к построению искомого следа. Так как
PP’ ‫ ׀׀‬QQ’, то прямыми PP’ и QQ’ определяется плоскость. Проведем в этой
плоскости прямые PQ и P’Q’. Не вникая пока в частные случаи, буде считать,
что прямые PQ и P’Q’ не параллельны и найдем точку S1=PQ∩P’Q’. Так как
точка S1 лежит на прямой PQ, а прямая PQ лежит в плоскости PQR, то точка
S1 лежит в плоскости PQR. Аналогично заключаем, что точка S1, лежащая на
прямой P’Q’, лежит в плоскости ABC. Таким образом, точка S1 является общей точкой плоскостей PQR и ABC. Это значит, что плоскости PQR и ABC
пересекаются по прямой, проходящей через точку S1. Так как PP’ ‫ ׀׀‬QQ’, то
прямыми PP’ и RR’ определяется плоскость. Проведем в этой плоскости прямые PR и P’R’ (считая для общности, что эти прямые пересекаются) найдем
точку S2=PR∩P’R’. Как и относительно точки S1, убеждаемся, что точка S2
лежит на линии пересечения плоскостей PQR и ABC. Так как точки S1 и S2
лежат в плоскости PQR, то прямая S1S2 лежит в плоскости PQR. Точно так
же, прямая S1S2 лежит в плоскости PQR. Таким образом, прямая S1S2 – это
25
линия пересечения плоскостей PQR и ABC, то есть она является следом плоскости PQR на плоскости ABC. Плоскость ABC мы выбирали в качестве основной плоскости, поэтому прямая S1S2 - это основной след плоскости PQR
( рис.18).
B1
C1
P
A1
R
V
R'
D
S2
Q
B(P')
C
Q'
A
S3
S1
Рис.18.
3. Постановка домашнего задания.
Решить номера:
№ 64(б,в): Дана четырехугольная пирамида SABCD. Построить точку пресечения прямой MN с основанием ABCD, если точки M и N принадлежат:
б) граням ABS и BSC;
в) граням ABS и DSC.
№ 70: Дано изображение пятиугольной призмы. Прямая проходит через две
данные точки на смежных боковых гранях призмы. Построить изображения
точек пересечения этой прямой с диагональными плоскостями призмы.
Практическое занятие №3
Тема: Задачи на сечения
Цель: Сформировать у студентов умения и навыки решения позиционных задач, относящихся ко второму типу- задач на сечения- методами центрального, параллельного и аксонометрического проецирования.
26
Структура занятия
1. Организационный момент.(2 мин.)
2. Решение задач. (85 мин.)
3. Постановка домашнего задания. (3 мин.)
Оборудование: доска, линейка, цветной мел, мультимедиапроектор,
компьютер.
Ход занятия
1. Организационный момент.
Приветствие. Проверка присутствующих. Сообщение темы и цели занятия.
2. Решение задач.
Студенты делятся на 4 группы и каждая из них получает по одной задаче на построение сечения многогранника. Учащимся дается некоторое
время, затем преподаватель вызывает по очереди одного студента из каждой
группы, и все вместе разбирают решение задачи.
За процессом решения задания наблюдает преподаватель.
1 группа: Даны треугольная призма ABCA’B’C’ и точки M, N, P, расположенные соответственно на ребрах AA’, A’B’ и грани BB’C’C. Построить сечение призмы плоскостью MNP.
Решение
Пусть ABCA’B’C’- изображение данной призмы, а M, N и P – данных
точек. Присоединим к данному изображению репер {A,B,C,A’}. Тогда A –
вторичная проекция точки M на плоскость ABC. Построим изображение прямой пересечения секущей плоскостью с плоскостью основания ABC. Для этого построим вторичные проекции N3 и P3 точек N и P и найдем точки R и S
пересечения прямых MN и NP с плоскостью ABC как точки пересечения прямых MN и AN3, PN и P3N3. Прямая RS представляет собой прямую пересечения плоскостей MNP и ABC. Прямая RS пересекает ребра AC и CB в точках K
и T. Прямая TP пересекает ребро C’B’ в точке L. Пятиугольник KMNLT является искомым сечением (рис.19).
27
А
'
В'
N
L
M
R
С
'
А
N3
P
K
P
С
T
В
S
3
Рис.19.
2 группа: Дано изображение треугольной пирамиды ABCDS и точек M,
N, P, принадлежащих соответственно ребру AS и граням ABS и BCS. Построить сечение пирамиды плоскостью MNP.
Решение:
Прямая MN лежит в плоскости грани ABS и пересекает прямую BS в
точке Х, поэтому плоскость MNP пересекает грань ABS по отрезку
MX1(рис.20). Прямая ХР лежит в плоскости грани BCS и пересекает ребра BC
и CS в точках Y и Z. Построив отрезки X1Y и ZM , которые лежат соответственно в гранях ABC и ACS, получаем искомое сечение- четырехугольник
MX1YZ.
S
M
А N
.
P
X1
Y
В
X
Рис.20.
.
С
28
3 группа: Дано изображение параллелепипеда ABCDA0B0C0D0 и точек
P, Q, R, лежащих соответственно на трех попарно скрещивающихся ребрах
параллелепипеда: CD, AA0, B0C0(рис.22). Построить сечение параллелепипеда
плоскостью PQR.
Решение:
Искомое сечение легко построить методом следов. Прямая XP– след
секущей плоскости, где X=PQ∩P0Q0. Пусть Y=A0B0∩XR. Тогда нижняя грань
пересекается по отрезку YR, грань BAA0B0- по отрезку QY, грань ABCD-по
PK, PK║RY, грань DCC0D0-по отрезку PL, PL║QY, и т.д. На рисунке 21 многоугольник PKQYRL- искомое сечение.
D
K
P
A
Q
C
B
D0 P0
C0
R=R0
X
A0
Y
B0
Z
Рис.21.
4 группа: Дано изображение четырехугольной пирамиды SABCD и точек M, N, K, лежащих соответственно на гранях ABS, BCS и CDS. Построить
сечение этой пирамиды плоскостью MNK.
Решение
Построим сначала след плоскости MNK на плоскости основания пирамиды, не пользуясь вторичными проекциями этих прямых. Для этого предварительно построим следы прямых MN и NK . На рис.? X0 – след прямой MN, а
Y0 – след прямой NK. Таким образом, прямая X0Y0- след плоскости MNK.
29
Пусть l – прямая по которой пересекаются плоскости MNK и ABS. Ее вторичной проекцией является, очевидно, прямая AB. Поэтому следом этой прямой
является точка Z0=AB∩X0Y0. Отсюда следует, что прямая l проходит через
тоски Z0 и M, то есть совпадает с прямой MZ0. Она пересекает ребра SA и SB
соответственно в точках A1 и B1. Таким образом, плоскость MNK пересекает
грань ABS по отрезку A1B1. Затем, используя точки N и K, строим последовательно отрезки B1C1, C1D1, D1A1. Искомое сечение- четырехугольник
A1B1C1D1 (рис.22).
Замечание: При решении этой задачи для построения сечения пирамиды мы воспользовались следом секущей плоскости на плоскости основания
пирамиды. Этот метод часто применяется при построении сечений многогранников.
S
D1
K
A1
M
C1
D
N
A
K0
B1
M
0
B
Y0
C
N0
X0
Z0
Рис.22.
3. Постановка домашнего задания.
Решить номера:
30
№ 80(д,е,ж): Дано изображение четырехугольной пирамиды ABCDS. Построить сечение плоскостью, заданной тремя точками, изображения которых
принадлежат:
д) ребру AS и граням BCS и ASB;
е) ребру AS и граням BSC и CSD;
ж) основанию ABCD и граням BSC и ASB.
№ 78(а,г): Дана четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. Построить сечение
призмы плоскостью, определяемой точками, принадлежащими:
а) ребрам AA1, BB1 и CC1;
г) основанию ABCD, ребру AA1 и грани AA1B1B.
Практическое занятие №4
Тема: Полные и неполные изображения. Позиционные задачи
Цель: Проверить знания, умения и навыки по теме «Полные и неполные изображения. Позиционные задачи».
Тип занятия: контроль знаний
Структура занятия
1. Организационный момент.
2. Контрольная работа.
3. Итог занятия.
1. Организационный момент.
Проверка присутствующих. Сообщение темы и цели занятия. Распределение вариантов контрольной работы.
2. Контрольная работа.
ВАРИАНТ 1
1.
Постройте сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей че-
рез прямую DQ, точка Q которой лежит на ребре CC1, и точку P, заданную в
грани AA1B1B.
2.
На ребрах AB и AC пирамиды MABC заданы соответственно точки P и D,
а на отрезке MD- точка Q. Постройте прямую, параллельную прямой PQ и
проходящую через точку L, лежащую в грани MAB.
31
3.
На ребрах AB и CC1 призмы ABCA1B1C1 заданы соответственно точки P
и Q. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной прямой B1P и
прямой A1Q и проходящей через точку K, взятую на ребре AA1.
ВАРИАНТ 2
1.
Постройте сечение пирамиды MABCD плоскостью, проходящей через
точки P, Q, R, если точка P лежит на ребре MB, Q- на ребре AD, R- в грани
MCD.
2.
На ребрах BB1 и DD1 призмы ABCDEA1B1C1D1E1 заданы соответственно
точки P и Q. Постройте прямую, параллельную прямой PQ и проходящей через точку R, лежащую на ребре AA1.
3.
На ребрах MA и MD пирамиды MABCD заданы соответственно точки P и
Q. Постройте сечение пирамиды плоскостью, параллельной прямым BP и AQ
и проходящей через точку K, взятой на ребре MB.
{Решение контрольной работы прилагается (Приложение 1)}.
3. Итог занятия. Преподаватель останавливается на заданиях, вызвавших трудности у студентов.
5. Задачи для самостоятельного решения
а)Инциденция точек, прямых и плоскостей
1.
Построить следы прямой на координатных плоскостях, если прямая за-
дана точками:
a) (M, M3) и (N, N3);
2.
Определить, лежат ли точка (М, М3) на прямой, определенной точками:
а) (P, P3) и (Q, Q3);
3.
б) (М, М3) и (N, N1).
б) (P, P1) и (Q, Q2).
Даны следы прямой l на двух координатных плоскостях. Найти след
прямой l на третьей координатной плоскости.
4.
Плоскость α задана двумя пересекающимися прямыми (l, l3), (m, m3). По-
строить следы плоскости α на координатных плоскостях.
5.
Дана точка (М, М3). Выяснить, принадлежит ли она плоскости, опреде-
ляемой тремя точками:
32
а) (P, P3), (Q, Q3), (R, R3);
б) (P, P1), (Q, Q2), (R, R3);
в) (P, P1), (Q, Q1), (R, R1).
6.
Даны прямая (n ,n3) и плоскость α. Плоскость α задана двумя пересека-
ющимися прямыми (l, l3), (m, m3). Найти точку пересечения прямой (n, n3) и
плоскости α.
7.
Даны плоскость α, определенная точкой (М, М3) и следом l на плоскости
OE1E2 и прямая m, заданная точками (P, P3), (Q, Q3). Построить точку пересечения прямой m и плоскости α.
8.
Даны плоскость α и прямая, определенная точками (P, P3), (Q, Q3). По-
строить их точку пересечения, если α задана точками:
а) (Z,Z3), (M, M3), (N, N3);
9.
б) (Z, Z1), (M, M2), (N, N3).
Две плоскости заданы своими следами, найти прямую пересечения этих
плоскостей.
10. Даны плоскости α и β. Найти их линию пересечения, если α определена
пересекающимися прямыми (a, a3) и (b, b3) , а плоскость β – прямыми (c, c3) и
(d, d3).
11. Даны плоскость α и точка (P, P3). Построить такие точки (Q,Q3), (R,R3),
чтобы плоскость, определяема точками P,Q и R, была параллельна плоскости
α, если α задана тремя точками:
a) (L, L3), (M, M3), (N, N3);
б) (L, L1), (M,M2), (N, N3)[3].
12. Даны изображения четырехугольной пирамиды ABCDS и двух точек M,
N , расположенных внутри нее. Изобразить точку пересечения прямой MN с
поверхностью пирамиды.
13. Даны четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. Построить точку пересечения прямой MN с основанием ABCD, если точки M, N принадлежат ребру
AA1 и грани BB1C1C.
14. Дано изображение четырехугольной призмы, в основании которой трапеция. Построить линию пересечения двух ее противоположных боковых
граней.
33
15. На боковых ребрах AA1 и CC1 четырехугольной усеченной пирамиды
взяты соответственно точки M и N, делящие ребра в отношении 1:2 и 2:3 соответственно. Построить изображение этой пирамиды и точки пересечения
прямой MN с плоскостью верхнего основания.
16. Дано изображение пятиугольной призмы. Прямая проходит через две
данные точки на смежных боковых гранях призмы. Построить изображения
точек пересечения этой прямой с диагональными плоскостями призмы.
17. Даны изображения пятиугольной пирамиды и двух точек, внутренней и
внешней по отношению к этой пирамиде. Построить изображения точек пересечения прямой, определенной данными точками, с плоскостями всех граней пирамиды.
18. Дано изображение шестиугольной призмы. Построить изображения линий пересечения диагональной плоскости, проходящей через меньшую диагональ основания, с плоскостями остальных диагональных сечений и боковых граней.
19. Даны изображения пятиугольной пирамиды SABCDE и точки P на ребре
AS. Изобразить прямые, проходящие через точку P, соответственно параллельные остальным боковым ребрам, и точки пересечения этих прямых с поверхностью пирамиды.
20. Дано изображение куба. Пусть a, b, c – три прямые, содержащие попарно
скрещивающиеся ребра. Изобразить отрезок, концы которого лежат на прямых a и b и который пересекает ребро c.
б)Задачи на сечения
1.
Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Построить сечение призмы плос-
костью, определяемой точками, принадлежащими основанию ABC, грани
AA1B1B и ребру AA1.
2.
Дана четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. Построить сечение приз-
мы плоскостью, определяемой точками, принадлежащими ребрам AA1, AB и
грани CC1D1D.
34
3.
Дана треугольная пирамида ABCS. Построить сечение плоскостью, за-
данной точками, принадлежащими ребру AS, основанию ABC и грани SBC.
4.
Дано изображение пятиугольной усеченной пирамиды. Построить изоб-
ражение сечения этой усеченной пирамид плоскостью, проходящей через три
точки, из которых две- на несмежных боковых гранях, одна- на боковом ребре, не принадлежащем ни одной из этих граней.
5.
Дано изображение пятиугольной призмы. Построить изображение сече-
ния этой призмы плоскостью, проходящей через три точки, из которых однана боковом ребре, одна- на боковой грани, не содержащей это ребро, одна на
плоскости (нижнего) основания внутри него.
6.
Дано изображение четырехугольной пирамиды ABCDS. Построить сече-
ние плоскостью, заданной тремя точками, изображения которых принадлежат ребрам AS и BS и грани SDC.
7.
Дано изображение пятиугольной пирамиды. Построить изображение
этой пирамиды плоскостью, проходящей через три точки, из которых однавнутри многогранника, две- вне его, причем одна из них- на плоскости боковой грани.
8.
Дано изображение четырехугольной призмы. Построить изображение
сечения этой призмы плоскостью, проходящей через три точки, лежащие
внутри призмы.
9.
Дано изображение треугольной пирамиды ABCD и точек M, N, P, при-
надлежащих граням ACD и CBD и основанию
ABC. Построить сечение пи-
рамиды плоскостью MNP.
10. Построить сечение шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью, проходящей через внутреннюю точку M призмы параллельно боковой грани CC1D1D .
в)Инциденция прямых и поверхностей
1.
В параллельной проекции дано изображение цилиндра F’ и плоскости П’,
заданной тремя точками на образующих цилиндра. Построить изображение
сечения цилиндра F’ плоскостью П’
35
2.
В параллельной проекции дано изображение конуса F’ и плоскости П’,
заданной следом на плоскости основания конуса и точкой на его боковой поверхности. Построить изображение сечения конуса F’ плоскостью П’.
3.
В параллельной проекции дано изображение конуса с вершиной S’, се-
кущей плоскости П’, определяемой следом α’ на плоскости основания конуса,
и точкой M’ на его боковой поверхности, и прямой b’, проходящей через
центр O’ основания конуса и точку N’ на его боковой поверхности. Построить
изображение точки X’=b’∩ П’.
4.
Провести произвольную плоскость P’, пересекающую поверхность
наклонного цилиндра по образующим, и наитии эти образующие.
5.
Построить следы плоскости, касательной к поверхности цилиндра и
проходящей через току, лежащую на его поверхности.
6.
Построить следы плоскости, касательной к поверхности конуса и прохо-
дящей через точку, лежащую на его поверхности.
7.
Построить следы плоскости, касательной к поверхности шара, если дана
вертикальная проекция K’ точки касания.
6. Методические рекомендации к организации самостоятельной
работы студентов
Самостоятельная работа наряду с аудиторной представляет одну из
форм учебного процесса и является существенной ее частью. Для ее успешного выполнения необходимы планирование и контроль со стороны преподавателей, а также планирование объема самостоятельной работы. Планирование самостоятельной работы студентов по курсу «Геометрия» следует проводить с учетом уровня подготовки студентов[19].
Соотношение времени, отводимого на аудиторную и самостоятельную
работу при изучении темы «Решение позиционных задач», составляет 1: 2.
Самостоятельные работы способствуют: углублению и расширению знаний;
формированию интереса к познавательной деятельности; овладению приемами процесса познания; развитию познавательных способностей.
36
Основной частью самостоятельной работы студента является его систематическая подготовка к практическим занятиям.
При подготовке к практическим занятиям студенты должны повторить
вначале теоретический материал по предыдущей теме занятия. Затем просмотреть объяснения решения примеров, сделанные преподавателем на
предыдущем практическом занятии, разобраться с примерами, приведенными лектором по этой же теме. Решить заданные примеры. После этого нужно
подготовить теоретический материал к предстоящему занятию, с тем, чтобы
применить эти знания к решению задач. Если некоторые задания или теоретические вопросы вызвали затруднения, нужно обратиться за помощью к
преподавателю на очередной консультации[19].
При самостоятельной проработке вопросов студент должен изучить
предложенную литературу по данным вопросам и письменно изложить основное содержание материала. Качество усвоения самостоятельно рассмотренных вопросов проверяется преподавателем на практических занятиях,
контрольных работах.
Для лучшего усвоения изученного материала студентам предлагаются
задания для самостоятельного решения(5п)., которые позволяют лучше разобраться с данной темой и закрепить полученные знания[18].
К данному методическому пособию прилагается электронное пособие
по данной теме и обучающе- контролирующая программа. Это пособие состоит из теоретического и практического материала по теме «Решение позиционных задач» и основным вопросам раздела «Методы изображений», а
также теста для проверки полученных знаний по данной теме.
Студентам предлагается с помощью данной программы проверить правильность выполнения самостоятельной работы во внеаудиторное время.
Пользователь должен выбрать на интересующем его многограннике три точки, принадлежащие секущей плоскости. Автоматически строиться сама секущая плоскость, а затем сечение многогранника. Для лучшего восприятия
полученного сечения можно вращать многогранник.
37
Такой вид контроля своих знаний позволяет не только проверить свои
способности, но и показывает возможность использования компьютера при
обучении математики.
7. Методические рекомендации к использованию информационных
технологий и описание обучающее- контролирующей программы «Построение сечения многогранника плоскостью, заданной тремя точками»
Осуществление компьютерного обучения на базе новых информационных технологий является одним из важнейших направлений профессиональной подготовки будущих педагогов[20].
Изучение теоретического материала с помощью компьютера предполагает использование преимущественно программных средств, обеспечивающих эффективную самостоятельную работу обучаемых[20]. Поэтому предлагается использование обучающее-контролирующей программы предназначенной для самостоятельного изучения теоретического и практического материала студентами.
Эта программа состоит из теоретического и практического материала,
а также теста для проверки полученных знаний по данной теме. Учебный материал предоставляется в web-browser’е, который базируется на стандартном
Windows приложении - Internet Explorer и реализует возможность перемещения по гипертекстовым документам, содержащим различную текстовую и
графическую информацию.
Первый файл называется «содержание» и включает в себя следующие
пункты:
 лекционный материал;
 практический материал:
- практическое занятие №1;
- практическое занятие №2;
- практическое занятие №3;
- контрольная работа;
38
- решение контрольной работы;
 задания для самостоятельного решения;
 программа(Построение сечения многогранника плоскостью,
заданной тремя точками);
 презентация лекции;
 тест;
 литература;
С помощью данной обучающее- контролирующей программы студент
может самостоятельно освоить весь необходимый теоретический материал
по данной теме и получить практические навыки и умения решения позиционных задач. Электронное пособие очень просто в применении: с помощью
гиперссылок студент может перемещаться по всем пунктам содержания в
любом порядке.
При изучении темы «Методы изображений», а в частности задач на сечения, которые являются частным случаем позиционных задач, рекомендуется использовать обучающе-контролирующую программу «Построение сечения многогранника плоскостью, заданной тремя точками»(данная программа
включена в электронное пособие), а также мультимедиапроектор.
Студентам предлагается с помощью этой программы проверить правильность выполнения самостоятельной работы во внеаудиторное время.
При запуске программы на форме появляется модель программы.
Пользователь может выбрать интересующий его многогранник из списка
имеющихся фигур (первый список в правом верхнем углу)(в данном списке представлены основные многогранники: 3х,4х,5ти-угольная пирамиды и
призмы соответственно) или построить его в редакторе объектов в меню
«настройки», также в данном меню он может задать цвет формы, цвет линий, точек и надписей объекта, цвет линий и точек сечения, сохранить
выбранную цветовую гамму. Чтобы построить сечение выбранного многогранника, пользователю необходимо выбрать на поверхности многогранника три точки; точки можно выбирать только в активной плоскости.
39
Активность плоскости отображается во втором списке в правом верхнем
углу(после выбора активной плоскости, многогранник поворачивается,
так чтобы активная плоскость была на переднем плане(активная плоскость выделяется цветом), далее выбираем метку «задать точку» и ставим
точку). Точки можно выбирать как в плоскости многогранника, так и вне
ее. После выбора соответствующих точек, автоматически строится сечение многогранника: выбранные три точки задают секущую плоскость
(данная секущая плоскость показана прямоугольником), затем определяются точки пересечения многогранника с секущей плоскостью (координаты каждой точки многогранника подставляется в уравнение секущей
плоскости: если она ей принадлежит, то она принадлежит искомому сечению). Для наглядной демонстрации и лучшего восприятия в пространственной форме полученного сечения пользователь может поворачивать
многогранник, водя мышью по экрану. В меню «файл» можно сохранить
полученное сечение в виде рисунка и применять его в других документах,
в том числе в Microsoft Word, а также загрузить на форму уже имеющиеся
рисунки или обновить список фигур. Для того, чтобы построить новое сечение, необходимо очистить форму с помощью кнопки «сброс». Выйти из
программы можно с помощью кнопки «выход».
Данная программа позволяет наглядно продемонстрировать возможные сечения многогранника, зависящие от выбора точек, принадлежащих искомому сечению.
Организация лекционных и практических занятий в сочетании с применением информационных технологий(в частности с использованием данной программы) позволяет строить учебный процесс в соответствии с современными тенденциями развития образования, такими как усиление роли самостоятельной работы студентов, смещение акцента с преподавания на учение, чем обеспечивается направленность на развитие самообразовательной
деятельности будущих специалистов[14].
40
Наличие такой программы обеспечивает значительную экономию
учебного времени как преподавателя, так и студентов. Это позволяет развить
навыки самостоятельной деятельности студентов.
41
Литература
1. Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение.- М.:
Учпедгиз.,1950.
2. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. Пособие для
студентов физ.- мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение,
1986. – 336 с.
3. Атанасян Л.С. Сборник задач по геометрии- Ч.2- М.: Просвещение, 1975.250с
4. Базылев В. Т., Дуничев К. И. Геометрия. Учебное пособие для студентов
физ.- мат. фак. пед. ин-тов. В 2ч.Ч.2.- М.: Просвещение, 1975.-367с.:ил.
5. Борисенко И. М. Методы изображений. Позиционные задачи. Курсовая
работа по высшей математике. Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт.- Славянск-на Кубани, 2005.- 65с.
6. Бусыгин А. Г., Бусыгина Т. А. Постановка вузовской лекции и оценка ее
качества. Научно- методическое пособие для преподавателей вузов и заведующих кафедрами/ под ред. д.п.н., профессора Бусыгиной А. Л. Самара: ГП
«Перспектива»; изд-во СГПУ. 2005.- 32с.
7. Вернер А. Л., Кантор Б. Е., Франгулов С. А. Геометрия- Ч.1. Учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов.СПб.: Специальная литература, 1997.-352с
8. Гусак А. А. Пособие к решению задач по высшей математике. Изд. 3-е,
стереотипн. Мн., Изд. БГУ, 2002. – 532 с., с ил.
9. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.:
Академия, 2003. – 432 с.
10.Гордон В. О., Иванов Ю. Б., Солнцева Т.Е. Сборник задач по курсу начертательной геометрии. –М.: Высшая школа, 1998.
11. Жафяров А. Ж. Геометрия. Учебное пособие- Ч.2-2-е изд., адаптированное под стандарт 2-го поколения.- Новосибирск: Сиб.универ.изд., 2003.-267с
42
12. Загвязинский В. И. Теория обучения: Современная интерпритация: Учебное пособие для студ.высш.пед.учеб.заведений. – 2-е изд., испр.- М.:
Изд.центр «Академия», 2004.-192с.
13. Коверга В. К., Белоус О. В. Возрастная психология. Учебное методическое пособие для студ. пед. ин-тов, уч-ся пед. училищ и колледжей, учителей
школ. - М.: Армавир, 1999. – 247 с.
14. Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание. – М.:
Наука. Главная редакция физико-математической литературы,
1990. -142 с.
15. Луканкин Г. Л. Проблемы подготовки учителей в условиях многоуровневой структуры высшего педагогического образования // Образование: Традиции и инновации в условиях социальных перемен.- М.: ИОСО РАО, 1997.
– 211 с.
16. Методика обучения геометрии: Учебное пособие для студ. высш. пед.
учеб. заведений / В. А. Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчищина и др.; Под ред.
В. А. Гусева. – М.: Академия, 2003. – 368 с.
17. Мордкович А. Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте. – М.:
Наука, 1986. – 356 с.
18. Немов. Р. С. Психология. учеб. для студ. высш. учеб. заведений. В 3 кн. –
3-е изд. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2000. – 608 с.
19. Потоцкий М. В. Преподавание высшей математики в педагогическом
институте. (Из опыта работы). – М: Просвещение, 1995. – 208 с.
20. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное
пособие.- М.: Народное образование, 1998.-256 с.
21. Смирнов С. Д. Педагогика и психология высшего образования: от деятельности к личности: Учебное пособие для студ. высш. пед учеб. заведений.
– М.: Академия, 2003. – 304 с.
22. Тарасов С. А. Многогранники: Методические указания.- Л.: ЛИИЖТ,
1987.-38с
43
23. Тарасов Б.Ф., Дудкина Л. А., Немолотов С.О. Т19 Начертательная геометрия. 2-е изд., стереометрия- СПб.: Издательство Лань, 2002.-256с:- (Учебник для вузов. Специальная литература).-Библиография: с.231
24. Чернилевский Д. В. Дидактические технологии в высшей школе: Учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 437с.
25. Яковлева У. А. Методы изображений: Учебно-методическое пособие по
геометрии для студентов специальности «032100-Математика»/ Славянскийна-Кубани государственный педагогический институт.- Славянск-на Кубани:
ООО Берегиня, 2003.- 66с.
26. Яковлева У. А. Проектирование целевого и содержательного компонентов
методической
системы
обучения
Дис…канд.пед.наук .- М., 2004.- 222с.
геометрии
в
педвузе:
44
Содержание
Введение……………………………………………………………………... 3
1.Роль и место раздела «Методы изображений» в математике…………. 3
2.«Методы изображений» как учебная дисциплина в педвузе………….. 4
3.План-конспект лекционного занятия………………………...…………. 5
4.Планы-конспекты практических занятий……………………………….
Практическое занятие №1………………………………………………..
Практическое занятие №2………………………………………………..
Практическое занятие №3………………………………………………..
Практическое занятие №4(Контрольная работа)……………………….
5.Задания для самостоятельного решения………………………………...
14
14
20
25
30
31
6.Методические рекомендации к организации самостоятельной работы
студентов…………………………………………………………………….. 35
7.Методические рекомендации по использованию информационных
технологий………………………………………………………………….. 37
Литература ………………………………………………………………….. 41