Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора". Группа «практики»: Щепилова Марина Алымова Виктория Чернышов Александр Гипотеза • Применяли ли древние математики терему Пифагора при решении задач? • В каких задачах древности используется теорема Пифагора? 2 Мы провели исследование • • • • Мы провели исследовательскую работу, привлекая информационные технологии, в поиске исторических задач на тему «Теорему Пифагора». Мы заметили, что теорема Пифагора лежит в основе многих общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. Мы определили, что исключительная важность теоремы для геометрии и математики в целом состоит в том, что, благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезков(гипотенузы), не измеряя ее непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство. Мы определили, что теорема Пифагора имела неоценимое значение в древности. 3 Алгоритм решения задач по теореме Пифагора 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Внимательно прочти задачу, разберись с условием. По условию сделай чертеж. Выдели на чертеже прямоугольный треугольник. Найди катеты и гипотенузу. Запиши теорему Пифагора и соотнеси данные в задаче с ней. Выполни подстановку данных. Соотнеси полученный ответ с вопросом задачи и смыслом условия. 4 Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: “Как озера вода здесь глубока?” Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ? Решение. Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 . Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2, (Х + 0,5)2 – Х2 = 22 , Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4, Х = 3,75. Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута. 3, 75 • 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м. Задача индийского математика XII в. Бхаскары На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота? Задача Бхаскары Решение. Пусть CD – высота ствола. BD = АВ По теореме Пифагора имеем АВ = 5 . CD = CB + BD, CD = 3 + 5 =8. Ответ: 8 футов. Задача арабского математика XI в На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? Решение Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 АВ2=302 +Х2 АВ2=900+Х2; в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2 АС2=202+(50 – Х)2 АС2=400+2500 – 100Х+Х2 АС2=2900 – 100Х+Х2. Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ2 =АС2 , 900+Х2 =2900 – 100Х+Х2, 100Х=2000, Х=20, АD=20. Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы. Ответ: 20 локтей. 10 Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать." Задача из китайской "Математики в девяти книгах" "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? " Рисунок - опорный сигнал Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли. На математическом языке это означает: провели в D АВС высоту CD, и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC . 13 Буклет обучающихся Алгоритм решения задач по теореме Пифагора Ржаксинская сош №2 Внимательно прочти задачу, разберись с условием. По условию сделай чертеж. Выдели на чертеже прямоугольный треугольник. Найди катеты и гипотенузу. Запиши теорему Пифагора и соотнеси данные в задаче с ней. Выполни подстановку данных. Соотнеси полученный ответ с вопросом задачи и смыслом условия. Решение старинных задач по геометрии Ржаксинская сош №2 Группа «практики» Щепилова Марина Алымова Виктория Чернышов Александр «В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.» Д. Гильберт. 14 •Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно решить множество задач. 15 Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя ,вслед. Обильно было жертвопринашенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Они не в силах свету помешать , А могут лишь закрыв глаза дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. Ресурсы • Акимова С. Занимательная математика, серия «Нескучный учебник». – Санкт-Петербург.: Тригон, 1997. Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: Аванта+, 1997. Еленьский Ш. По следам Пифагора. - М, 1961. Литцман В. Теорема Пифагора. - М.: Просвещение, 1960. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. - М .: Просвещение, 1990. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е изд., испр. и доп. - М.: Педагогика–Пресс, 1997, с. 271. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксёнова. - М.: Аванта+, 1998. • • • • • Электронные источники: Рефераты и сочинения в помощь школьнику. Дискавери – 2003. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. – 2004. Электронная энциклопедия: Star World. Internet. • • • • • • • 17