Логические операции

Логические операции

Применение двоичной системы счисления дает возможность
использовать аппарат математической логики, в частности
исчисление высказываний.

В математической логике под высказыванием понимается любое
предложение, относительно которого имеет смысл говорить об его
истинности или ложности.

Предложения которые могут быть одновременно истинными и
ложными или частично истинными, в математической логике не
рассматриваются.

При оценке высказываний мы будем принимать во внимание лишь
их истинность или ложность, никак не учитывая их конкретного
содержания

Высказывания будем обозначать заглавными буквами латинского
алфавита
Если A истинно, то будем писать A=1,
если ложно
A=0

Математическая логика изучает вопросы представления и
преобразования двоичных функций от двоичных аргументов
посредством некоторых логических операций, называемыми
логическими связями

Из простых выражений посредством логических связей могут быть
составлены сложные высказывания, принимающие значения
истинно (1) или ложно (0) в зависимости от значения составляющих
простых высказываний

Так как высказывания можно рассматривать как двоичные
переменные, то логические связи между высказываниями можно
представить как операции над двоичными переменными величинами

Определим основные логические операции
1. Отрицание (унарная)
_
А - читается “не A” (обозначается ¬ A) (в С - !A)
1
0


результат
0
1
Операция отрицание называется также инверсией, логическим НЕ
Отрицание высказывания А является высказывание, которое ложно,
когда А истинно, и истинно, когда А ложно
2. Логическое умножение
А  B - читается “A и B” (обозначается A /\ B) (в С - A & B )
0 /\ 0
0 /\ 1
1 /\ 0
1 /\ 1


результат
= 0
= 0
= 0
= 1
Операция логического умножения называется конъюнкцией, или
логическим И, логическим умножением.
Конъюнкция двух высказываний представляет собой сложное
высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда
истинны оба составляющих его высказывания.
3. Логическое сложение
А  B - читается “A и B” (обозначается A \/ B) (в С - A | B )
0 \/ 0
0 \/ 1
1 \/ 0
1 \/ 1


результат
= 0
= 1
= 1
= 1
Операция логического сложения называется дизъюнкцией,
логическим ИЛИ, логическим сложением.
Дизъюнкция двух высказываний представляет собой сложное
высказывание, которое ложно, тогда и только тогда, когда оба
слагаемых ложно

В исчислении высказываний доказывается, что любое сложное
высказывание может быть построено из простых при помощи
операций отрицания, логического умножения и логического
сложения

Modus ponens — правило вывода в исчислении высказываний
4. Следование (импликация)
А  B - обозначается A → B
результат
0→0
0→1
1→0
1→1


=
=
=
=
1
1
0
1
Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка
истинна, а следствие ложно.
Операция A → B определяет логическую функцию, тождественно
совпадающую с функцией ¬ A \/ B .
5. Равнозначность (эквивалентность)
А  B - читается “A равнозначно B”
результат
00
01
10
11

=
=
=
=
1
0
0
1
Равнозначность двух высказываний представляет собой сложное
высказывание, которое истинно, когда оба его составляющих имеют
одинаковой значение истинности и ложна в противоположном
случае
6. Сложение по модулю 2
А  B - (в С - A ^ B )
результат
00
01
10
11

=
=
=
=
0
1
1
0
Операция сложения по модулю 2 выражается через операции
равнозначности и отрицания по формуле
_____
AB =AB
Приоритеты логических операций




Инверсия (отрицание)
Конъюнкция (логическое умножение)
Дизъюнкция (логическое сложение)
Импликация (следование)
Таким образом:
¬ A /\ B \/ C /\ D
То же самое
((¬ A) /\ B) \/ (C /\ D)

Для логических
ассоциативность
операций

Проверить следующие формулы (вместо звездочки произвольная
операция). Проверка осуществляется подстановкой переменных
значений 0 или 1 в различных комбинациях и применением таблиц,
определяющих эти операции
A * B = B *A
(A * B) * C = A *(B*C)
Например:
A /\ (B \/ C) = ( A /\ B ) \/ (A /\ C)
выполняется
коммутативность
Коммутативность
Ассоциативность
и

Табличный способ определения истинности сложного выражения
имеет ограниченное применение, так как при увеличении числа
логических переменных приходится перебирать слишком много
вариантов. В таких случаях используют способ приведения формул к
нормальной форме.

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки
эквивалентности, импликации и двойного отрицания, а все знаки
отрицания относятся только к переменным, а не к выражениям.
Следующие формулы преобразований дополняют сформулированные
выше законы булевой алгебры и позволяют приводить формулы к
нормальной форме.
¬(¬ A) = A
¬(A & B) = ¬ A | ¬ B
¬(A | B) = ¬ A & ¬ B
¬(A→B) = A & ¬ B
A→B
=¬A|B
AB
= (A & B) | (¬A & ¬B) =(¬A | B) & (A | ¬B)

Знание законов математической логики позволяет решать так называемые
логические задачи, возникающие в различных жизненных ситуациях.
Воспользуемся исчислением высказываний для решения следующих двух
задач.
Задача 1.

Следователь допрашивал четырех гангстеров по
делу о похищении автомобиля.
Джек сказал: "Если Том не угонял автомобиля, то
его угнал Боб".
Боб сказал: "Если Джек не угонял автомобиля, то его угнал Том".
Фред сказал: "Если Том не угонял автомобиля, то его угнал Джек".
Том сказал: "Если Боб не угонял автомобиля, то его угнал я".
Удалось выяснить, что Боб солгал, а Том сказал правду.
Правдивы ли показания Джека и Фреда? Кто угнал машину?
Решение:
Определим следующие простые высказывания:
А - "машину угнал Боб";
В - "машину угнал Том";
С - "машину угнал Джек";
D - "машину угнал Фред".
Запишем (и сразу упростим) сложные высказывания, выражающие приведенные факты:
(1) !B -> A = !( !B) | A = B | A (истинность неизвестна);
(2) !C -> B = !( !C) | B = C | B = F (высказывание ложно);
(3) !B -> C = !( !B) | C = B | C = C | B (истинность неизвестна);
(4) !A -> B = !( !A) | B = A | B = T (высказывание истинно).
Заметим, что после упрощения высказывание (3) совпало с высказыванием (2), которое ложно. Таким
образом, высказывание (3), произнесенное Фредом, также ложно.
Из ложности высказывания (2) следует ложность каждого дизъюнкта, входящего в него, т. е. C = F и
B = F.
Подставив найденное значение B в высказывание (4) получаем A || B = A || F = T, что возможно лишь
если A = T, т. е. машину угнал Боб.
Рассмотрим высказывание Джека (1): B | A = F | T = T - оно истинно.
Итак, Джек сказал правду, а Фред соврал. Машину угнал Боб.

Пример
Кто из людей A, B, C и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:
а) если А или В играет, то С не играет;
б) если В не играет, то играют С и D;
в) С играет.

Решение
Определим следующие простые высказывания:
А - "А играет в шахматы";
В - "В играет в шахматы";
С - "С играет в шахматы";
D - "D играет в шахматы".

Запишем сложные высказывания, выражающие известные факты:
a) (A & B) -> !C;
б) !B -> C & D;
в) C

Запишем произведение (конъюнкцию) указанных сложных высказываний. Так как все
они истинны, то и произведение тоже истинно:
((A | B) -> !C) & ( !B -> C & D) & C = T.
Упростив эту формулу, получим
!A & !B & C & D = T.

Отсюда по свойствам конъюнкции получаем,
A = F,
B = F,
C = T,
D = T.
Значит, в шахматы играют C и D, а A и B - не играют.
Во многих задачах, связанных с обработкой данных, приходится упрощать логические
выражения.
Приведем пример, демонстрирующий технику упрощения логических формул.
Упростим логическую формулу !( (A || B) -> !( B || C)).
Решение
!( (A | B) -> !( B | C)) =
!( !(A | B) | !( B | C)) =
!( !(A | B)) & !( !( B | C)) =
(A | B) & (B | C) = { дистрибутивность операции ИЛИ }
(A | B) & B | ( A | B) & C =
A&B|B|A&C|B&C=
B & (A | T) | C & (A & B) =
B|A&C|B&C=
B & (T | C) | A & C =
B | A & C.
6. Стрелка Пирса

Стрелка Пирса (символ Лукашевича) — двуместная логическая операция,
введена в рассмотрение Ч. Пирсом (Сh. Peirce). Стрелка Пирса, обычно
обозначаемая ↓, задаётся следующей таблицей истинности:
результат
0↓0
0↓1
1↓0
1↓1

=
=
=
=
1
0
0
0
Таким образом, высказывание A ↓ B означает «ни A, ни B».

Стрелка Пирса обладает тем свойством, что через неё одну
выражаются все другие логические операции.
Например, высказывание



¬A (отрицание A) эквивалентно высказыванию A↓A,
конъюнкция A /\ B выражается так: (A ↓ A) ↓(B ↓ B) ,
дизъюнкция A \/ B эквивалентна
(A ↓ B) ↓(A ↓ B) .
Логические операторы в C
2. операции отношения

==
!=
<
>
<=
>=
Отношения имеют приоритет ниже арифметических.
i < lim-1; Вычисляется как i < (lim-1);

Пример: год будет високосным, если он делится на 4, но не делится
на 100, однако годы делящиеся на 400 тоже високосные
if (year % 4 == 0 && year % 100 != 0 || year %
400 == 0) год високосный;
else год невисокосный ;

Результатом всякой операции отношения является числовое
значение типа int, равное единице, если сравнение истинно, и
нулю в противном случае

Таким образом, операции отношения во внутреннем машинном
представлении приводят к арифметическому результату



Замечание. Строго говоря, логическое значение "истина" должно отвечать
любому числовому значению, отличному от нуля. В дальнейшем мы
увидим, что именно такое соглашение принято в языке Си.
Это дает возможность объединить понятия арифметического, условного и
логического выражений в едином понятии "выражение", что очень важно с
точки зрения гибкости и "симметричности" языка
Выражения, сконструированные при помощи операций отношения,
принято называть условными выражениями
3. логические связки


!
||
&&
Приоритет ниже, чем у операций отношения
Выражения с && и || вычисляются слева направо и вычисления
заканчиваются, когда определяется истинность или ложность
результата
for (i=0; i<lim-1; &&(c=getch())!= ’\n’ && c != EOF; ++i)
s[i]=c;


Скобки (c=getch()) нужны, поскольку приоритет присваивания
ниже
Унарная операция ! преобразует ненулевой операнд в ноль, и
наоборот
if (!inword) то же, что и if(inword==0)

4. побитовые операции ~

Операции для работы с разрядами. Их нельзя применять к float и
double

& - поразрядное И.
c = m & 0177; - Устанавливает в 0 все разряды, кроме младших
семи

| - поразрядное ИЛИ
x =x | MASK;
- Устанавливает в 1 те разряды x, которым
соответствует 1 в MASK

^ - исключающее ИЛИ. Результат содержит 1 в тех разрядах в
которых разные значения, 0 в остальных.
<<
>>
&
|
^

<<
>> - сдвиг влево, сдвиг вправо.
x=x<<2; // сдвигает x влево на два разряда.
x=x>>2; // сдвигает x вправо на два разряда.
На некоторых машинах приводит к размножению знакового разряда

~ - унарная операция дополнение до 1. 1 где 0 и 0 где 1.
x =x & ~077; // - Устанавливает в 0 6 разрядов x.