Тема_16

Информатика, модуль 2
Направления подготовки: Государственное и муниципальное
управление, Социально-культурный сервис
Институт ИИБС, кафедра ИСПИ, ауд.1448
Винтонива Наталья Ивановна
Тема 16. Алгебра логики
Содержание
1. Логика, математическая логика
2. Высказывание, утверждение,
умозаключение
3. Алгебра логики, её возникновение
4. Логические операции
5. Порядок выполнения логических
операций
Логика
• — наука, изучающая методы
установления истинности или
ложности одних высказываний
на основе истинности или
ложности других
высказываний (утверждений).
Математическая логика
• — современная форма
логики, опирающаяся на
формальные математические
методы.
Высказывание (суждение)
• – некоторое предложение,
которое может быть истинно
(верно) или ложно.
Утверждение
• – суждение, которое требуется
доказать или опровергнуть
Рассуждение
• – цепочка высказываний или
утверждений, определенным
образом связанных друг с
другом.
Умозаключение
• – логическая операция, в
результате которой из одного или
нескольких данных суждений
получается (выводится) новое
суждение.
Алгебра логики
— это математический аппарат,
с помощью которого
записывают, вычисляют,
упрощают и преобразовывают
логические высказывания.
Алгебра логики (булева
алгебра)
• – это раздел математики, возникший в
XIX веке благодаря усилиям
английского математика Дж. Буля.
• Термин «логика» происходит от
древнегреческого "logos”,
означающего «слово, мысль, понятие,
рассуждение, закон».
Возникновение логики
• Элементы математической логики можно
найти уже в работах древнегреческих
философов. В XVII в. Г. В. Лейбниц
высказал идею о том, что рассуждения
могут быть сведены к механическому
выполнению определенных действий по
установленным правилам. Однако как
самостоятельный раздел математики
логика начала формироваться только с
середины XIX в..
Возникновение логики
• Понятие логики как науки
появилось ещё в XIX в., т.е.
задолго до появления науки
информатики и компьютеров.
Этапы развития логики
• 1-й этап связан с работами учёного и
философа Аристотеля (384-322 гг до
н.э.). Он пытался найти ответ на
вопрос, как мы рассуждаем; изучал
правила мышления. Он впервые дал
систематическое изложение логики,
подверг анализу формы
человеческого мышления: понятия,
суждения, умозаключения. Так
возникла формальная логика.
1-й этап
• Формальная логика – наука о законах
и формах мышления. Связана с
анализом наших обычных
содержательных умозаключений,
выражаемых разговорным языком.
2-й этап
• связан с работами немецкого учёного
и философа Лейбница (1646-1716 гг).
Он сделал попытку построить первые
логические исчисления. Считал, что
простые рассуждения можно
заменить действиями со знаком и
прив1л соответствующие правила. Так
возникла математическая логика.
Математическая логика
• – наука о логических связях и
отношениях, лежащих в основе
дедуктивного (логического) вывода.
Она изучает суждения для которых
можно однозначно решить, истинны
они или ложны.
3-й этап
• 3-й этап связан с работами Джорджа
Буля (1815-1864 гг). Он развил идеи
Лейбница. В его работах логика
обрела свой алфавит, орфографию и
грамматику. Буль считается
основоположником математической
логики как самостоятельной
дисциплины. Начальный раздел её
называют булевой алгеброй или
алгеброй логики.
3-й этап
• В 1847 году английский математик
Джордж Буль, преподаватель
провинциального университета в
маленьком городке Корке на юге
Англии разработал алгебру логики.
Алгебра логики
• Алгебра логики очень проста, так как
каждая переменная может принимать
только два значения: истинно или
ложно.
Трудность изучения алгебры
логики
• возникает из-за того, что для
обозначения переменных принимают
символы 0 и 1, которые по написанию
совпадают с обычными
арифметическими единицей и нулём.
Но совпадение это только внешнее,
так как смысл они имеют совсем иной.
Логическая 1
• означает, что какое-то событие
истинно, Высказывание заменилось
на логическое выражение, которое
строится из логических переменных
(А, В, Х, …) и логических операций
(связок).
• В алгебре логики знаки операций
обозначают лишь три логические
связки ИЛИ, И, НЕ.
Логический 0
• в противоположность этому означает,
что высказывание не соответствует
истине, т.е. ложно.
Алгебра логики
• – это раздел математики,
предназначенный для описания
действий над переменными
величинами, которые принято
обозначать строчными буквами
латинского алфавита – а, b, x, y и т.д.
Действия над переменными
величинами записываются в виде
математических выражений.
Логические связки
• Употребляемые в обычной речи слова
и словосочетания "не”, “и”, “или”,
“если... , то”, “тогда и только тогда” и
другие позволяют из уже заданных
высказываний строить новые
высказывания. Такие слова и
словосочетания называются
логическими связками.
Логические связки
• Логические связки "не”, “и”, “или”,
“если... , то”, “тогда и только тогда” и
другие позволяют из уже заданных
высказываний строить новые
высказывания.
Логическое высказывание
• — это любое повествовательное
предложение, в отношении которого
можно однозначно сказать, истинно
оно или ложно.
Составные высказывания
• Высказывания, образованные из
других высказываний с помощью
логических связок, называются
составными.
Элементарные высказывания
• Высказывания, не являющиеся
составными, называются
элементарными.
Элементарные высказывания
• Так, например, из элементарных
высказываний “Петров — врач”,
“Петров — шахматист” при помощи
связки “и” можно получить составное
высказывание “Петров — врач и
шахматист”, понимаемое как “Петров
— врач, хорошо играющий в
шахматы”.
Составное высказывание
• При помощи связки “или” из этих же
высказываний можно получить
составное высказывание “Петров —
врач или шахматист”, понимаемое в
алгебре логики как “Петров или врач,
или шахматист, или и врач и
шахматист одновременно”.
Составное высказывание
• Истинность или ложность получаемых
таким образом составных
высказываний зависит от истинности
или ложности элементарных
высказываний.
Логические операции
• Каждая логическая связка
рассматривается как операция над
логическими высказываниями и имеет
свое название и обозначение:
Операция Отрицание
1.Отрицание (инверсия, операция,
выражаемая словом “не”). Инверсия
высказывания истина, когда само
высказывание ложно, и ложно, когда
высказывание истинно. Высказывание
истинно, когда A ложно, и ложно, когда A
истинно. Пример. “Луна — спутник
Земли” (А); “Луна — не спутник Земли”.
Логическое отрицание :
инверсия
• - если исходное выражение истинно,
то результат отрицания будет ложным,
и наоборот, если исходное выражение
ложно, то результат отрицания будет
истинным/ Данная операция означает,
что к исходному логическому
выражению добавляется частица НЕ
или слова НЕВЕРНО, ЧТО.
Таблица истинности
• это табличное представление
логической схемы (операции), в
котором перечислены все возможные
сочетания значений истинности
входных сигналов (операндов) вместе
со значением истинности выходного
сигнала (результата операции) для
каждого из этих сочетаний.
Инверсия (таблица
истинности)
A
неА
1
1
1
0
Операция Дизъюнкция
2.Дизъюнкция (логическое сложение,
операция, выражаемая связкой “или”)
двух или более высказываний ложно
тогда и только тогда, когда все простые
высказывания, входящие в неё, ложны.
Логическое сложение –
ДИЗЪЮНКЦИЯ
• - это новое сложное выражение будет
истинным тогда и только тогда, когда
истинно хотя бы одно из исходных
(простых) выражений. Дизъюнкция
определяет соединение двух
логических выражений с помощью
союза ИЛИ.
F = A + B (таблица
истинности)
A
B
F
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Операция Конъюнкция
3.Конъюнкция (логическое умножение,
операция, выражаемая связкой “и”)
двух или более высказываний истинно
тогда и только тогда, когда все простые
высказывания, входящие в неё, истины.
Логическое умножение
КОНЪЮНКЦИЯ
• - это новое сложное выражение будет
истинным только тогда, когда истинны
оба исходных простых выражения.
Конъюнкция определяет соединение
двух логических выражений с
помощью союза И.
F = A & B(таблица
истинности)
A
B
F
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Другие логические операции
• Операция, выражаемая связками
“если ..., то”, “из ... следует”, “... влечет
...”, называется импликацией.
• Операция, выражаемая связками
“тогда и только тогда”, "необходимо и
достаточно”, “... равносильно ...”,
называется эквиваленцией или
двойной импликацией.
Другие логические операции
• Импликацию можно выразить через
дизъюнкцию и отрицание.
• Эквиваленцию можно выразить через
отрицание, дизъюнкцию и
конъюнкцию.
Логическое следование:
ИМПЛИКАЦИЯ
• - связывает два простых
логических выражения, из
которых первое является
условием (А), а второе (В)–
следствием из этого условия.
Логическое следование:
Импликация
• Результатом ИМПЛИКАЦИИ является
ЛОЖЬ только тогда, когда условие А
истинно, а следствие В ложно.
Обозначается символом
"следовательно" и выражается
словами ЕСЛИ … , ТО …
Импликация
• Импликация истинна всегда, за
исключением случая, когда А истинно,
а В ложно.
Импликация (таблица
истинности)
A
B
F
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Логическая равнозначность:
эквивалентность
• - определяет результат
сравнения двух простых
логических выражений А и В.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
• Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
является новое логическое
выражение, которое будет истинным
тогда и только тогда, когда оба
исходных выражения одновременно
истинны или ложны. Обозначается
символом "эквивалентности"
Эквивалентность(таблица
истинности)
A
B
F
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Порядок выполнения логических
операций в сложном логическом
выражении:
1. инверсия
2. конъюнкция
3. дизъюнкция
4. импликация
5. Эквивалентность
Для изменения указанного порядка
выполнения операций используются
скобки.
Логическая формула
• Любое высказывание можно
формализовать, то есть заменить
логической формулой.
Тождественно истинные
формулы
• Формулы, принимающие значение
“истина” при любых значениях
истинности входящих в них
переменных называются
тождественно истинными формулами
или тавтологиями.
Тождественно ложные
формулы
• Формулы, принимающие значение
“ложно” при любых значениях
истинности входящих в них
переменных , называются
тождественно ложными формулами
или противоречиями.
Равносильные формулы
• Две формулы при одинаковых
наборах значений входящих в них
переменных, принимающие
одинаковые значения, называются
равносильными.
Схема И
Схема И реализует
конъюнкцию двух или более
логических значений.
Единица на выходе
схемы И будет тогда
и только тогда, когда
на всех входах будут
единицы. Когда хотя
бы на одном входе
будет ноль, на
выходе также будет
ноль.
С х е м а ИЛИ
Когда хотя бы на одном входе схемы
ИЛИ будет единица, на её выходе
также будет единица.
Схема ИЛИ реализует
дизъюнкцию двух или более
логических значений.
С х е м а НЕ
Если на входе схемы 0, то
на выходе 1. Когда на
входе 1, на выходе 0.
Схема НЕ (инвертор) реализует
операцию отрицания.
Преобразование выражений,
состоящих из булевых функций
• от перестановки мест аргументов
результат не изменяется
A&B=B&A
• существует следующий закон
A & (B & C) = (A & B) & C
• Также существуют некоторые
тождества, опирающиеся на особые
свойства функции, например:
1) A & (~A) = ЛОЖЬ
2) (~A) & (~B) = ~ (A v B)
Сложение и логическое
«ИЛИ»:
• от перестановки мест аргументов
результат не изменяется
AvB= BvA
• существует следующий закон
(A v B) v С = A v (B v C)
• можно выносить общий множитель за
скобки
(A & B) v (С & B) = B & (A v C)
Сложение и логическое
«ИЛИ»:
• И также некоторые собственные
законы:
1) A v (~A) = ИСТИНА
2) (~A) v (~B) = ~ (A & B)
Таблицы истинности простейших
логических функций
A
B
¬A
A^B
AVB
A>B
A-B
A XOR B
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
Законы алгебры логики:
1. Законы рефлексивности
a∨a=a
a∧a=a
2. Законы коммутативности
a∨b=b∨a
a∧b=b∧a
Законы алгебры логики:
3. Законы ассоциативности
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
4. Законы дистрибутивности
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
5. Закон отрицания отрицания
¬ (¬ a) = a
Законы алгебры логики:
6.Законы де Моргана
¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b
¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b
7.Законы поглощения
a ∨ (a ∧ b) = a
a ∧ (a ∨ b) = a
Самостоятельная работа №8
1. Что входит в состав системного
программного обеспечения?
2. Из каких основных объектов состоит
база данных?
3. Что такое таблица истинности?
Использование материалов презентации
Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ
об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления.
Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для
личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с
любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование
любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также
использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается
только после получения письменного согласия авторов.
68