4-5 класс, серия 1, лето, «Головастик

4-5 класс, серия 1, лето, «Головастик»
4-5 класс, серия 2, немного о делимости
1. 666 лжецов и рыцарей сидят за круглым столом (среди сидящих есть как рыцари, так и лжецы). На вопрос: «Сколько лжецов рядом с тобой?» все сказали:
«Один». Сколько лжецов может сидеть за столом?
8. Загадайте двузначное число, не заканчивающееся на 0. Прочитайте его в обратном порядке и вычтите из большего меньшее. Результат прочитайте в обратном
порядке (если получится 5, то в обратном порядке будет 50) и сложите это с результатом. Спорим, что получилось 99. Объясните, почему.
1,5. 666 лжецов и рыцарей сидят за круглым столом (среди сидящих есть как рыцари, так и лжецы). На вопрос: «Сколько лжецов рядом с тобой?» все сказали:
«Два». Сколько лжецов может сидеть за столом?
2. Перед Гэндальфом в ряд лежат 100 красных шариков. Одним взмахом палочки
он может уничтожить левый шар, но при этом справа от каждого красного шара
появится белый шар. Сможет ли Гэндальф уничтожить все шары?
3. 100 конфет были разложены по 10 кучкам (не обязательно поровну). Пришел Гэндальф и переложил некоторые
конфеты в другие кучки. Он говорит, что после этого в каждой кучке количество конфет либо увеличилось на 3, либо
уменьшилось на 1. Применил ли Гендальф искусство магии?
4. В клетках таблицы 10×10 записаны единицы. Перед некоторыми из них поставлены плюсы, перед остальными минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой вертикали по 5 плюсов и по 5
минусов. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.
5. Даны 10 различных натуральных чисел, пять из которых не превосходят 10, а
остальные больше 10, но не превосходят 20. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 10. Найдите сумму этих чисел
6. Некоторые жители острова лжецов и рыцарей сказали, что на острове живет четное
число рыцарей, а остальные заявили, что на
острове живет нечетное число лжецов. Может ли на острове быть 2013 жителей?
7. Разрежьте фигуру на две части, из которых можно составить клетчатую доску.
9. Сколько имеется четырехзначных чисел, кратных 45, у которых две средние
цифры – 97?
10. Из трех данных цифр составили все возможные трехзначные числа. Сумма
двух самых больших из них оказалась равна 844. Найдите эти цифры
11. На доске написано три различных шестизначных числа. Вася вычел из каждого из них число, образованное его первыми тремя цифрами, и полученные числа
записал к себе в тетрадь. Могут ли у него в тетради оказаться три одинаковых числа?
12. а) Вася режет квадрат 9×9 по линиям так,
чтобы получились квадраты 1×1. При этом резать можно только по прямой линии, но куски
можно накладывать друг на друга. За какое
наименьшее число разрезов он сможет получить отдельные квадратики? б) тот же
вопрос, но куски нельзя накладывать друг на друга.
13. Можно ли числа от а) 1 до
12; б) 1 до 13; в) 1 до 14 разбить
на три группы с равными суммами?
14. Разрежьте фигуру на рисунке на 4 части двумя разными способами.
4-5 класс++, серия 3, разнообразная
4-5 класс++, серия 4, сложная
13. Разрежьте фигуру на четыре части, из которых можно
сложить квадрат.
14. Найдите какие-нибудь три натуральные числа, разность любых двух из которых равна наибольшему общему делителю этой пары чисел.
15. Назовем четырехзначное натуральное число
«счастливым», если у него сумма первых двух цифр равна сумме последних двух цифр. Найдите десятое а) с
310
начала; б) с конца (первое с конца – наибольшее, и
150
так далее в порядке убывания) «счастливое» число.
21. Перемножили несколько натуральных чисел и получили 224, причем самое маленькое число было ровно
вдвое меньше самого большого. Сколько чисел перемножили?
22. Найдите все пары натуральных чисел (a, b), для которых НОК(a, b) + НОД(a, b) = 23.
23. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 5 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль
24. Найти последнюю цифру числа 72013.
16. Число, написанное в квадратике, равно сумме
чисел в тех квадратиках, на которых оно стоит. Заполните данную пирамиду. Найдите все решения и
докажите, что других нет.
42
35
25. Найдите все такие простые числа p, q, что pq = 7(p+q)
20
12
4
17. Дима, Петя и Саша играли в настольный теннис
по системе –«проиграл-отдыхай» очень-очень долго. За ужином Дима сказал: « Я
выиграл 6 партий, причем все подряд». Петя сказал: « А я выиграл еще больше
партий, и тоже все подряд». Саша же сказал: « а я ни разу не выигрывал больше
трех партий подряд, но в итоге именно я выиграл больше всех». Сколько партий
выиграл Петя?
18. Путешественник посетил остров, каждый из жителей острова либо всегда говорит правду (назовем его рыцарем), либо всегда лжет (назовем его лжецом). Все
жители острова выстроились в линейку, и каждый сказал: « Произведение номеров каких-то двух лжецов, стоящих раньше меня – простое число». Сколько лжецов может быть на острове?
19. Делится ли число 2012! на 2013? (2012!=123…2012)
20. Доказать, что среди любых 9 последовательных двузначных чисел найдется
число, делящееся на свою сумму цифр.
26. Докажите, что среди 10 любых целых чисел найдутся два, разность которых
делится на 5.
27. На конгрессе были три секции: лекари, колдуны и знахари. По кругу выстроились 112 участников, среди которых знахарей и лекарей поровну. На вопрос “Верно ли, что оба твоих соседа из одной секции?” каждый ответил “Да”. Лекарь всегда говорит правду, колдун всегда лжет, а знахарь лжет, если стоит рядом с колдуном (а иначе говорит правду). Могло ли в этом круге быть 66 колдунов?
28. За одно нажатие можно число на экране калькулятора увеличить на его дробную часть (например, из 3/7 получить 6/7, а из 3,8 получить
3,8 + 0,8 = 4,6). Начав с положительного числа, меньшего
1, за 3 нажатия получили число 3. С какого числа начали?
29. В дремучем лесу вот уже более 1000 лет живет Волшебная елка. Известно, что каждое утро на ней вырастают
100 иголок, и каждая иголка живет ровно 4 года, а затем
отмирает. Сколько же сегодня иголок на Волшебной елке?
30. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на 9 равных частей.
4-5 класс++, серия 5, мороженое лето
4-5 класс++, серия 6, мячи, лимонад и преступления
31. Катя, Лена, Маша и Настя перепробовали все мороженое, продававшееся в киоске. Каждый сорт мороженого попробовали 3 девочки. Катя съела больше всех различных
сортов – 8, а Настя меньше всех – 5. Сколько сортов мороженого продается в киоске?
39. На складе лежит 100 мячей, причем известно, что там хотя бы один синий и
хотя бы один красный, а кроме того, из любых четырех наугад взятых мячей можно выбрать 2 синих. Сколько мячей каждого цвета может быть на складе?
32. Можно ли так расположить фишки в клетках доски 88
(в каждой клетке – не более одной фишки), чтобы в любых
двух вертикалях фишек было поровну, а в любых двух горизонталях – не поровну?
33. Карлсон выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних
чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди
найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки.
Докажите, что Карлсон не умеет считать.
34. К числам от 1 до 2013 применили следующую операцию: все нечетные умножили на 2, а все четные - разделили на 2. Сколько пар одинаковых чисел при этом образовалось?
35. Натуральное число назовем горбатым, если в его записи
цифры сначала возрастают, а затем с какого-то момента убывают. Сколько а) 19-значных; б)18-значных горбатых чисел?
36. Можно ли разрезать фигуру, показанную на рисунке, на две
равные части?
37. В школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 3/5 части всех
мальчиков сосед по парте – тоже мальчик, а у 1/5 части девочек сосед по парте –
тоже девочка. Какую часть от учащихся этой школы составляют девочки?
38. а) Найдите наименьшее натуральное число с суммой цифр, равной 2013. б)
Найдите натуральное число с суммой цифр, равной 2013, для которого существует
ровно одно натуральное число, меньшее его, с суммой цифр 2013. в) найдите третье число в этом списке.
40. Три человека подозреваются в совершении преступления. Известно, что один
из них всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий может говорить и
правду, и ложь. Преступник – только один из них. На допросе
каждый из них на вопрос "Вы преступник?" ответил "Нет". Затем в
том же порядке каждого из них спросили "Верен ли Ваш предыдущий ответ?" и все ответили "Да". Наконец, в том же порядк е
каждого спросили "Верен ли ответ предыдущего человека?" и все
ответили "Нет". Можете ли вы определить преступника?
41. В столовой четырем школьникам выдали коробку, в которой находились бутылки лимонада трех сортов. При каком наименьшем количестве бутылок в
коробке каждый школьник гарантировано может выбрать себе 2 бутылки одного сорта?
42. Можно ли разрезать фигуру из 16 клеток, изображенную
на рисунке, на две части, из которых можно сложить квадрат?
43. Найти все трехзначные, которые при любой перестановке цифр делятся на 6. Ответ можно записать с точностью до
перестановки цифр.
44. Натуральное число назовем горбатым, если в его записи цифры сначала возрастают, а затем с какого-то момента убывают. Сколько а) 18-значных; б)17значных; в)16-значных горбатых чисел?
45. Расставьте по кругу 6 различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось
произведению двух соседних.
4-5 класс++, серия 7, готовь лыжи летом
46. Десять лыжников ушли со старта с интервалом в 1 минуту (в порядке возрастания номеров) и шли по дистанции с постоянными скоростями. Известно, что каждый лыжник в какой-то момент времени лидировал в гонке. В каком порядке
лыжники пришли к финишу?
47. Вроде бы такая задача уже была. Играют Петя и Витя. На
столе лежат 134 конфеты 67 разных сортов. Петя берет одну
из них, потом Витя берет одну, потом снова делает ход Петя и так до того момента,
пока не останется две конфеты. Петя выигрывает, если две оставшиеся конфеты
разного сорта, а Витя – если они одного сорта. Кто выиграет
при правильной игре?
48. Фигуру, изображенную на рисунке, разрезали на несколько одинаковых частей. На сколько именно? (Найдите все ответы и докажите, что других нет).
49. Можно ли в вершинах куба расставить числа от 1 до 8 так, чтобы суммы чисел на всех гранях были равными?
50. Семь лыжников с номерами 1, 2, 3…, 7 ушли со старта
по очереди и прошли прямолинейную дистанцию – каждый
со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый
лыжник ровно дважды участвовал в обгонах (в каждом обгоне участвуют ровно два лыжник – тот, который обгоняет,
и тот, которого обгоняют). По окончании забега должен
был быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться
не более двух различных протоколов.
51. Имена трех одноклассников — Андрей, Борис и Виктор. Наташа знает это, но
не знает, кого из мальчиков как зовут. Она может задавать им вопросы, на которые можно отвечать только "да" и "нет". Каждый вопрос задается одному из
мальчиков, и отвечает на него только он. Наташе известно, что Андрей на все вопросы будет отвечать правдиво, Борис солжет в ответ на первый заданный ему
вопрос, Виктор солжет в ответ на первый и второй вопросы, а дальше и они будут
отвечать правдиво. Как ей за три вопроса узнать имена мальчиков?
4-5 класс+, серия 8, зловредные торговцы
51. Петя загадал число натуральное от 1 до 30. Вам разрешается задавать ему вопросы, на которые он сможет ответить либо «да», лиюо «нет». За какое наименьшее число вопросов можно угадать загаданное число?
52. Визит к Зловредному Торговцу. В лавке
Зловредного Торговца на полке стоит 64
одинаковых коробки. И в одной из них вкуснющий Торт! А вот остальные - пустые.
Торговец согласен продать Вам любую из
коробок за 100 рублей. Но шанс отхватить
пустую коробку за 100 рублей Вам не улыбается. После некоторого препирательства Торговец объявляет свои окончательные условия: он согласен всего за 10 руб. ответить на любой Ваш вопрос о Коробках и торте, лишь бы на него можно было ответить ``Да" или ``Нет", и обещает
говорить правду (если выяснится, что он соврал, то Торт достается Вам бесплатно
в качестве компенсации за моральный ущерб). Во сколько Вам обойдется Торт?
53. Второй визит к Зловредному Торговцу. Теперь у Торговца имеется 1000 коробок, в одной из них - Торт. Но характер у Торговца испортился, он может соврать один раз, отвечая на вопросы. Найти Торт за 21 вопрос
54. В этой задаче Петя может отвечать на вопросы «да», «нет»
или «не знаю». Он загадал число – 1, 2 или 3. Придумайте вопрос, ответ на который позволит Вите угадать это число.
55. В ящике лежат 70 шаров: 20 красных, 20 синих, 20 желтых,
остальные черные и белые. Какое наименьшее число шаров надо взять, не видя
их, чтобы среди них было не меньше 10 шаров ОДНОГО (любого) цвета?
56. Маленькие детки кушали конфетки. Каждый съел на 7 конфет меньше, чем
все остальные вместе, но все же больше одной. Сколько всего конфет было съедено?
57. . Как раскрасить клетчатый квадрат 77 по клеткам в красный и синий цвета,
чтобы в каждом содержащемся в нем квадрате 33 синих клеток было на одну
больше, чем красных?
4-5 класс++, серия 9, про женитьбу студентов - это вам
видеть еще рано!
58. У Вани было некоторое количество печенья; он сколько-то съел, а потом к
нему в гости пришла Таня, и оставшееся печенье они разделили поровну. Оказалось, что Ваня съел в пять раз больше печений, чем Таня. Какую долю от всего печенья Ваня съел к моменту Таниного прихода?
59. Поездная бригада состоит из машиниста, радиста, кочегара и проводника. Имена
этих людей – Артур, Иван, Петр и Макар. Известно, что: 1) Иван старше Артура; 2) Машинист не имеет родственников среди других членов бригады; 3) Радист и кочегар –
братья; 4) Петр – дядя Ивана; 5) Кочегар – не дядя проводника; 6) Проводник – не дядя
радиста. Как зовут машиниста? (Учтите, что племянник может быть старше дяди)
60. В доме двое механических часов: одни отстают на 15 минут в сутки, а другие на
10 минут в сутки спешат. Сегодня в полдень и те, и другие часы показывали правильное время. Когда в следующий раз они вместе покажут правильное время?
61. В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про свое золото,
а в остальных случаях говорят правду. Эльфы лгут, говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду. Однажды два лесогорца сказали: А: «Все мое золото я
украл у Дракона». Б: «Ты лжешь». Определите, эльфом или гномом является каждый из них.
62. «А это вам видеть пока рано»,–– сказала Баба-Яга
своим 33 ученикам и скомандовала: «Закройте глаза!» Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все девочки и треть мальчиков. Сколько учеников всё-таки увидели то, что
видеть пока рано?
63 Студенты. Дина, Соня, Коля, Рома и Миша учатся в институте. Их фамилии - Бойченко, Карпенко, Лысенко, Савченко и Шевченко. Мать Ромы умерла. Родители Дины
никогда не встречались с родителями Коли. Студенты Шевченко и Бойченко играют в
одной баскетбольной команде. Услышав, что родители Карпенко собираются поехать
за город, мать Шевченко пришла к матери Карпенко и попросила, чтобы та отпустила
своего сына к ним на вечер, но оказалось, что отец Коли уже договорился с родителями Карпенко и пригласил их сына к Коле. Отец и мать Лысенко - хорошие друзья родителей Бойченко. Все четверо очень довольны, что их дети собираются пожениться.
Установите имя и фамилию каждого из молодых людей и девушек.
4-5 класс++, серия 10, про Васю и Петю
64. На острове рыцарей и лжецов живут 2013 человек. Во время социологического
опроса каждый заявил: "Среди остальных островитян более половины – лжецы".
Сколько лжецов живет на острове?
65. Какое наибольшее число ненулевых цифр можно выбрать так, чтобы разность
любых двух выбранных была не выбрана?
66. «Во время игры в шахматы у меня осталось фигур в три раза меньше, чем у соперника, и в шесть раз меньше, чем свободных клеток на доске, но я все равно
выиграл эту партию!» - сказал Вася Пете. «А у меня в одной из партий фигур осталось в пять раз меньше, чем у соперника, и в десять раз меньше, чем свободных
клеток на доске, и все-таки я сумел победить!» - в свою очередь рассказал Петя.
Чьему рассказу можно верить, чьему нельзя, и почему?
67. Среди 300 человек есть 100 Петь, 100 Коль и 100 Вась. После того, как каждому задали вопрос, как его зовут, получилось 100 ответов «Петя», 100 ответов «Коля» и 100 ответов «Вася». Известно, что ровно 80 Петь и ровно половина Коль всегда лгут, а остальные Пети и Коли всегда говорят правду. Какое наибольшее число
Вась могут быть кристально честными?
68. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду и лжецы, которые
всегда лгут. В комнате находится 10 островитян, все разного роста. Каждый находящийся в комнате сказал: "в этой комнате ровно двое лжецов выше меня".
Сколько рыцарей находится в комнате?
69. На рынке менял у каждого торговца есть хотя бы одна из трех валют: тугрики,
шмугрики или слямбзики. Оказалось, что если у торговца есть тугрики и шмугрики,
то есть и слямбзики. Если есть шмугрики, то есть тугрики или слямбзики. Наконец,
если есть тугрики, но нет слямбзиков, то найдутся шмугрики. Докажите, что есть
валюта, имеющаяся у всех торговцев.
70. Тракторист Вася купил в магазине «Все для людей» 10
бутылок кефира и рессору для своего трактора. Бизнесмен
Борис Михайлович купил в этом магазине пробку для бензобака своего «Лексуса», потратив денег вдвое больше Васи. Известно, что пробка стоит втрое дороже рессоры. Во
сколько
раз рессора дороже бутылки кефира?
4-5 класс++, серия 11, два мудреца в одном тазу
4-5 класс++, серия 12, торты и дни рождения
71. Даны два правильных треугольника с периметрами 6 см и 9
см соответственно. Найдите периметр ограниченного ими шестиугольника, если известно, что стороны треугольников параллельны.
79. Есть три комнаты и три мальчика: Петя, Вася и Коля. Каждый из мальчиков
находится в какой-то из комнат. На двери одной из комнат написано: «Петя тут»,
на двери другой: «Вася тут», на двери третьей: «Коля тут». Известно, что одна из
этих надписей неверна, а две другие верны. Докажите, что в одной из комнат
находятся ровно два мальчика
72. На каждой из а) двух; б)*трех параллельных прямых отметили по пять точек. Сколько существует треугольников с
вершинами в отмеченных точках?
80. Когда Маша ушла с Дня Рождения, то девочек на празднике
осталось 1/5 от всех присутствующих детей. Но когда Маша вернулась, то девочки стали составлять уже четверть всех присутствующих. Сколько мальчиков было на празднике?
73. Можно ли на прямой отметить точки A, B, C, D, E так,
чтобы расстояния между ними в сантиметрах оказались
равны: AB = 6, BC = 7, CD = 10, DE = 9, AE = 12? Если да —
приведите пример, если нет — объясните, почему нельзя.
74. Cоставьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 три трехзначных числа так, чтобы сумма
двух чисел равнялась третьему и при этом у одного из этих чисел цифра десятков
была равна 8. (Каждую цифру нужно использовать один раз.)
75. Один мальчик 27 июня 2013 года сказал: “Разность между числами прожитых
мной месяцев и прожитых (полных) лет сегодня
впервые стала равна 111”. Когда он родился?
76. Два мудреца написали на карточках числа от 5 до
11 и перемешали их . первый взял себе три карточки, второй – две, а еще две мудрецы спрятали в мешок. Первый сказал: “Я точно зн аю, что сумма чисел
на твоих карточках четна”. Какие числа были на карточках первого и почему?
77. Чтобы перевезти уголь, заводу нужно 10 трехтонных машин на 10 дней, если каждая машина будет делать по 15 выездов в
день. Какой грузоподъемности надо взять машины, чтобы 15 машинами перевезти
уголь за 5 дней, делая в день по 10 выездов?
78. Утром в понедельник на озеро приехали несколько рыболовов. Позже к ним присоединился еще
один. Каждый день каждый из рыболовов вылавливал по 10 рыб. Всего с понедельника до пятницы
включительно они поймали 370 рыб. В какой день
недели
приехал
на
озеро
опоздавший
рыболов?
81. На острове есть два племени: лжецов, которые всегда лгут, и рыцарей, которые
всегда говорят правду. Каждый житель острова дружит со всеми соплеменниками
и с некоторыми другими аборигенами. Каждый житель острова сказал, что среди
его друзей сопл еменники составляют большую
часть. Докажите, что племя рыцарей больше.
82. В прямоугольном торте 8 м  4 м вырезали
средний кусок так, как показано на рисунке, и отдали его десяти девочкам, а остальное съели
шесть мальчиков. Оказалось, что все дети съели
поровну.
Найдите
длину
отрезка
AB.
83. Натуральные числа расставлены в бесконечной
таблице по спирали так, как указано на рисунке. В какой
клетке (считая от числа 1) будет находиться число 2013?
(например, число 10 находится на одну строчку выше и
на два столбца правее).
A
B
7
8
9
10
6
1
2
11
5
4
3
12
…
…
14
13
84. На шести коробках приклеили надписи «Б Б», «Б К»,
«Б С», «К З», «З З», «С З» («Б» — белый, «К» — красный, «С» — синий, «З» — зеленый). Сколькими способами можно разложить в эти коробки мотки шерсти так,
чтобы выполнялись одновременно такие условия: 1) в каждой коробке лежит два
мотка шерсти; 2) наклейка на каждой коробке соответствует содержанию какой-то
другой коробки; 3) для каждой коробки одна буква на ее наклейке соответствует
цвету одного из мотков шерсти, лежащего внутри нее, а другая буква не соответствует цвету другого лежащего в этой коробке мотка?