А - Образовательный портал Республики Марий Эл

Государственное бюджетное образовательное учреждение
начального профессионального образования
Республики Марий Эл
"Профессиональное училище № 15"
Параллельность прямых и плоскостей
в пространстве
Рабочая тетрадь по геометрии
2012 г.
1
Автор: Корчагина Т.Г., преподаватель математики высшей квалификационной категории. Рабочая тетрадь по геометрии «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»
Рецензенты;
Устюжанина Т.Н., доцент кафедры ЕНГД Зеленодольского института машиностроения
и информационных технологий (филиал КНИТУ-КАИ), кандидат педагогических наук
Вениаминова В.Ф., заместитель директора по УВР ГБОУ НПО РМЭ "ПУ № 15"
Рабочая тетрадь по теме «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»
направлена на формирование у обучающихся базовых понятий по данной теме и совокупности умений оперировать ими. Предлагаемые в ней задания соответствуют стандарту математического образования.
Тетрадь содержит задания, проверяющие знание формулировок и понимание смысла
определений, теорем, свойств, признаков по теме «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве». Эти задания носят либо тестовый характер, либо предлагают
вставить пропущенные ключевые слова в утверждение, чтобы оно было верным, закончить формулировку определения или ответить на вопросы, уточняющие некоторые детали в содержании того или иного факта. Многие задания дополняются пожеланиями
проиллюстрировать и пояснить ответ.
Предназначена обучающимся НПО и СПО, которые изучают геометрию по учебнику А.В.Погорелова и др. «Геометрия 10 – 11». Может быть использована для аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы.
© ГБОУ НПО РМЭ "ПУ № 15"
© Корчагина Т.Г
2
Содержание
1. Тема 1. Стереометрия. Аксиомы стереометрии………………………4
2. Тема 2. Следствия из аксиом стереометрии…………………………..9
3. Тема 3. Параллельность прямых в пространстве…………………….15
4. Тема 4. Параллельность прямой и плоскости в пространстве………22
5. Тема 5. Параллельность плоскостей в пространстве………………. 27
6. Тема 6. Свойства параллельности плоскостей………………………30
7. Тема 7. Изображение пространственных фигур на плоскости……..34
3
Тема 1. Стереометрия. Аксиомы стереометрии.
1. Заполните пропуски, используя теоретический материал.
Геометрия - это наука, которая изучает
...........................................................................
...........................................................................
Планиметрия = геометрия на
плоскости - изучает ..................
.....................................................
Стереометрия = геометрия в
.......................................... - изучает
..........................................................
Основными фигурами
планиметрии являются:
............................................................
............................................................
Основными фигурами
стереометрии являются:
.............................................................
.............................................................
2. Определите и запишите в таблицу 1, какие из перечисленных ниже
фигур являются плоскими, а какие неплоскими:
окружность; квадрат; куб; шар; параллелограмм; прямоугольный параллелепипед; ломанная; угол; объединение трех лучей, имеющих общее
начало; пирамида; трапеция.
Таблица 1 – Виды геометрических фигур
Плоские фигуры
Неплоские фигуры
4
3. В таблице 2 в заданных ячейках сделайте схематические чертежи
названных геометрических фигур и их математическую запись с помощью
символов.
Таблица 2
Геометрическая фигура
Изображение фигуры
(рисунок)
Математическая запись
Точка
Прямая
Плоскость
4. Используя математические символы, запишите следующие предложения:
а) Точки А и В лежат в плоскости α, а точка С вне её.
Ответ: ________________________________
б) Плоскости α и β пересекаются по прямой а.
Ответ: ________________________________
в) Прямая АВ пересекает плоскость 𝜸 в точке М.
Ответ: ________________________________
5. Расшифруйте математические записи сделанные с помощью символов:
а) А, В ∈ α;
б) А, В ∉ α;
в) т ⋂ α = К
г) β ⋂ 𝜸 = п.
Ответ: а)____________________________________________________
б) ____________________________________________________
в) ____________________________________________________
г) ____________________________________________________
5
6. Используя данные рисунка 1, ответьте на
вопросы и запишите ответы с помощью математической символики:
а) Какие точки принадлежат плоскости γ?
Ответ: _______________________________
б) Какие точки не принадлежат плоскости γ?
Ответ: _______________________________
в) Какие прямые пересекают плоскость γ и в
Рисунок 1
каких точках?
Ответ: _______________________________
7. Постройте прямую т и плоскость α, проходящую через эту прямую,
запишите с помощью математической символики.
Рисунок
Запись
8. Закончите формулировки аксиом стереометрии. Для каждой из аксиом подберите рисунок и математическую запись из предложенных ниже
вариантов таблицы 3 и 4 и внесите их в ячейки под аксиомами.
Аксиома 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, _______
______________________________________________________________
Рисунок
Запись
6
Аксиома 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Рисунок
Запись
Аксиома 3. Если две различные прямые имеют общую точку, то
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Рисунок
Запись
Таблица 3 - Геометрическая интерпретация аксиом стереометрии
Таблица 4 - Математическая интерпретация аксиом стереометрии
∃ А ∉ α;
∃ В ∈ α.
Если О ∈ а;
О ∈ в, то
а ∩ в = О.
7
Если В ∈ α;
В ∈ β, то
α ∩ β = т, где В∈ т
9. По рисунку 2 ответьте на вопросы:
а) Каким плоскостям принадлежит точка А?
Ответ:____________________________
б) В каких плоскостях не лежит точка К?
Ответ:____________________________
в) По какой прямой пересекаются плоскости
ABD и BDC?
Ответ:____________________________
Рисунок 2
г) Какую плоскость задают прямые AD и
DC?
Ответ:_______________________________
д) точку пересечения прямой ВК с плоскостью DD1C.
Ответ:_______________________________
е) плоскости, которым не принадлежит прямая ВС.
Ответ:_______________________________
10. Выберите верный ответ из числа предложенных
1) Плоскости α и β имеют общую точку А. Сколько еще общих точек
имеют плоскости α и β?
а) одну;
б) две;
в) три;
г) бесконечное множество.
Ответ:_______________________________
2) На рисунке 3 дано изображение куба
ABCDA1B1C1D1. Сколько общих точек
имеют плоскости BCD1 и B1C1D1?
а) одну;
б) две;
в) три;
г) бесконечное множество.
Ответ:_____________________________
Рисунок 3
8
Тема 2. Следствия из аксиом стереометрии
11. Закончите формулировки следствий из аксиом стереометрии. Для
каждой из теорем подберите рисунок и математическую запись из предложенных ниже вариантов таблицы 5 и 6 и внесите их в ячейки под теоремами.
Следствие: Через прямую и не лежащую на ней точку можно ________
________________________________________________________________
Рисунок
Запись
Следствие: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то _____
________________________________________________________________
Рисунок
Запись
Следствие: Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно ___
________________________________________________________________
Рисунок
Запись
9
Таблица 5 - Геометрическая интерпретация следствий из аксиом стереометрии
Таблица 6 - Математическая интерпретация следствий из аксиом стереометрии
М ∉ а ⇒ ∃ 𝜸, где
Если А, В ∈ т;
А, В, С ∉ одной
1) М, а ∈ 𝜸;
А, В ∈ α,
прямой ⇒
2) 𝜸 - единственная
то т ∈ α.
1) ∃, где А, В, С∈ β;
2) β - единственная
12. На рисунке 4 изображен тетраэдр
(треугольная пирамида) ABCD и точка М,
принадлежащая ребру АВ. Сколько плоскостей и каких можно провести:
а) через ребро CD и точку М?
Ответ:___________________________
б) через ребро АВ и точку М?
Ответ:___________________________
Рисунок 4
13. Выберите правильный ответ из числа предложенных:
1) Сколько плоскостей можно провести через две точки?
а) одну;
б) две;
в) три;
г) бесконечное множество.
Ответ: __________________________________________________
2) Сколько можно провести плоскостей через четыре точки, три из которых лежат на одной прямой?
а) одну;
б) две;
в) три;
г) бесконечное множество.
Ответ: __________________________________________________
10
3) Отметьте точку А, не принадлежащую плос-
Рисунок
кости α, и точку В, принадлежащую плоскости
α. Как расположена прямая АВ по отношению к
плоскости α?
а) АВ ∈ α;
б) АВ ∉ α;
в) АВ ⋂ α;
г) АВ∉ и ⋂ α.
Ответ: __________________________________________________
4) Отметьте точки А и В принадлежащие
Рисунок
плоскости α. Проведите прямую АВ. Как расположена прямая АВ по отношению к плоскости
α?
а) АВ ∈ α;
б) АВ ∉ α;
в) АВ ⋂ α;
г) АВ∉ и ⋂ α.
Ответ: __________________________________________________
5) Могут ли прямая и плоскость иметь только
Рисунок
одну общую точку? (Если возможно, сделайте рисунок)
а) да;
б) нет.
Ответ: ________________________________
6) Могут ли прямая и плоскость иметь только две общие точки? (Если
возможно, сделайте рисунок. Ответ обоснуйте)
а) да;
б) нет.
Ответ и обоснование: ___________________
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
11
Рисунок
14. Три попарно пересекающиеся прямые пересекают плоскость как
изображено на рисунке 5. Определите, есть ли ошибка на этом рисунке.
Если есть, то исправьте эту ошибку, сделав новый рисунок.
а) да, есть ошибка;
б) нет ошибки.
Рисунок 5
Рисунок
Ответ:___________________________________________________
15. Ученик нарисовал сечения двух кубов плоскостью (смотрите рисунок 6). Определите, на каком из них ошибка:
а) ошибка на рисунке а;
в) ошибки на обоих рисунках;
б) ошибка на рисунке б;
г) рисунки выполнены без ошибок.
Ответ:___________________________________________
а)
б)
Рисунок 6
12
16. На рисунке 7 дано изображение четырехугольной пирамиды SABCD. На этом же рисунке постройте линию пересечения основания
ABCD с плоскостью, проходящей через ребра
SA и SC.
Рисунок 7
17. Через середины сторон треугольника проведена плоскость. Совпадает ли она с плоскостью треугольника? (Да
Рисунок
или нет. Завершите начатый рисунок и дайте обоснование.)
Ответ и обоснование: _________________
_______________________________________
•
•
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
________________________________________________________________
18. Определите, верны ли следующие утверждения? (К каждому утверждению сделайте рисунок и дайте обоснование.)
Рисунок
1) Если прямая пересекает две смежные (соседние) стороны квадрата, то она лежит в
плоскости этого квадрата.
а) утверждение верно; б) утверждение неверно.
Ответ и обоснование:__________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
13
2) Если две точки окружности лежат в одной
плоскости, то и вся окружность лежит в этой
Рисунок
плоскости.
а) утверждение верно; б) утверждение неверно.
Ответ и обоснование: ___________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
3) Если две прямые пересекаются в точке А, то
Рисунок
все прямые, не проходящие через точку А и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.
а) утверждение верно; б) утверждение неверно.
Ответ и обоснование: _______________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
19. Даны две прямые, пересекающиеся в точке С(смотрите рисунок 8).
Лежит ли с ними в одной плоскости любая третья прямая, имеющая с каждой из данных прямых общую точку? (Заполните пропуски в решении задачи.)
Дано: а∩в=С; с∩а=А; с∩в=В;
а
В
Доказать, что ………. 𝜖 одной плоскости.
Доказательство:
С
в
А
с
1) Т.к а∩в=С, то ∃ …., где а,в,С………
2) По условию с∩а=…..., с∩…..=В,
то А𝜖 а,с; В𝜖 в,с
Рисунок 8
3) Т.к а,в 𝜖 𝛼 ⇒ А,…𝜖𝛼 , но А;В𝜖 с, то с𝜖𝛼.
Следовательно …………….. 𝜖 𝛼, т.е одной плоскости . ч.т.д.
14
Тема 3. Параллельность прямых в пространстве
20. В таблице 7 внимательно изучите взаимное расположение прямых в
пространстве. Из предложенных вариантов действий подберите к каждому
рисунку соответствующие и впишите в свободные ячейки.
Таблица 7 Взаимное расположение прямых в пространстве
а)
а)
а)
б)
б)
б)
в)
в)
в)
а) прямые совпадают; прямые не пересекаются; прямые пересекаются;
б) прямые лежат в одной плоскости; прямые не лежат в одной плоскости;
в) прямые имеют две общие точки; прямые имеют одну общую точку;
не имеют общих точек; прямые имеют бесконечное множество точек.
21. Заполните пропуски в определении параллельных прямых в пространстве, выбрав верный вариант из числа предложенных ниже.
Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными,
если ____________________________________________________________
а) они не пересекаются;
б) они лежат в одной плоскости;
в) они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
15
22. Закончите определение скрещиваю-
Рисунок
щихся прямых и сделайте рисунок.
Определение: Скрещивающимися в пространстве называются прямые, которые
________________________________________
________________________________________
________________________________________
23. Попарно параллельные прямые а, в, с
Рисунок 9
пересекают плоскость α в точках А, В, и С,
как показано на рисунке 9. Лежат ли данные прямые в одной плоскости? Почему?
Ответ и обоснование: _______________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
24. Прямые ВВ1 и СС1, изображенные на
рисунке 10, пересекают прямую А1В в точках
В и С, а плоскость α – в точках В1 и С1. Параллельны ли прямые ВВ1 и СС1? Почему?
Ответ и обоснование:
____________________________________
Рисунок 10
____________________________________
_____________________________________________________________
25. В пространстве даны прямая и точка не принадлежащая этой прямой. Сколько можно провести через эту точку прямых параллельных данной прямой. (Выберите верный ответ.)
а) 1;
б) 2;
в) ∞;
г) 2 или ∞;
д) 1 или ∞.
Ответ: _______________________________
16
26. Выберите верный ответ и сделайте рисунок.
Если прямые а и в лежат в одной плоскости, то они могут:
а) пересекаться и быть скрещивающимися;
б) быть параллельными;
в) быть скрещивающимися и параллельными;
г) быть параллельными и пересекаться.
Рисунок
Рисунок
Ответ:_______________________________________________________
(При выполнении задания 27 для моделирования ситуации используйте
подручный материал: карандаши, ручки. Сделайте соответствующие рисунки.)
27. Прямые т и п пересекаются. Как
расположена прямая т относительно прямой d, если:
а) d ‖ п;
Ответ:____________________________
(Варианты ответов: т и d – пересекаются,
скрещиваются, или являются параллельными).
17
Рисунок
б) прямые d и п пересекаются?
Рисунок
Ответ:_______________________________
(Варианты ответов: т и d – пересекаются,
скрещиваются, или являются параллельными).
28. На рисунке 11 дан куб ABCDA1B1C1D1.
1) Перечислите все ребра, которые:
а) пересекают ребро DD1.
Ответ:_______________________________
б) параллельные ребру AD.
Ответ:_______________________________
в) являются скрещивающимися с ребром
DC.
Ответ:_______________________________
Рисунок 11
2) Определите, как расположены ребра куба
на рисунке 11, выберите правильный ответ из
числа предложенных ниже вариантов:
а) AD1. и D1C1.
Ответ:________________________
б) BC и DC.
Ответ:________________________
в) AA1 и BB1.
Ответ:________________________
(Варианты ответов: пересекаются, скрещиваются, или являются параллельными).
29. Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве,
заполнив пропуски по смыслу. Сделайте рисунок и запись с помощью математической символики.
18
Признак: Две прямые………………………… третьей прямой …………
………………………………………………………………………………………..
Рисунок
Запись
30. Прямые а и в лежат соответственно в плоскостях α и β, которые
пересекаются по прямой с. Прямые а и с, в и с – параллельны. Что можно
сказать о взаимном расположении прямых а и в? Сделайте рисунок и запись с помощью математической символики.
(Варианты ответов: прямые а и в – пересекаются, скрещиваются или
являются параллельными).
Рисунок
Запись
Ответ:________________________________________________
31. Как расположены прямые а и в, если через прямую в можно провести две плоскости, параллельные прямой а?
(Варианты ответов: прямые а и в – пересекаются, скрещиваются или
являются параллельными).
Ответ:________________________________________________
19
32. Две параллельные прямые а и в соответственно параллельны прямым с и d. Как расположены прямые а и d.
(Варианты ответов: прямые а и d – пересекаются, скрещиваются или
являются параллельными).
Ответ:________________________________
33. Треугольник АВС и трапеция АВКР
(АВ – основание трапеции) не лежат в одной
плоскости (рисунок 12). Как расположены
прямые РК и MN, где MN – средняя линия
треугольника АВС? (Ответ обоснуйте).
Ответ и обоснование:__________________
Рисунок 12
_____________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
34. Ромб АВСД и трапеция ВСМК (ВС- основание трапеции) не лежат в
одной плоскости (смотрите рисунок 13). Как расположены прямые МК и
АД? (Заполните пропуски в решении задачи.)
Решение:
1) Т.к АВСД- ромб ⇒ АВСД М
К
С
параллелограмм⇒ АД…ВС
2) Т.к ВСМК – трапеция; ВС –основание
В
Д
⇒ КМ…ВС
А
3) Т.к АД…ВС, КМ…ВС ⇒АД…КМ.
Ответ: АД…КМ.
Рисунок 13
20
35. На рисунке 14 отрезок АВ имеет с
плоскостью 𝛼 единственную общую точку
А. Через его середину С и точку В проведены параллельные прямые, пересекающие
плоскость 𝛼 соответственно в точках С1 и
В1. Длина отрезка АС1= 8 см. Найти длину
отрезка АВ1.
Рисунок14
Дано: АВ ∩𝛼 =А, С𝜖 АВ, АС= ВС,
СС1 ∩𝛼 =С1, ВВ1 ∩𝛼 =В1,
СС1 || ВВ1, АС1= 8 см.
Найти: АВ1.
Решение:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Ответ: ______________________________
36. Сделайте рисунок, запишите условие задачи математической
символикой и выполните решение этой задачи.
Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС. Точки К,Р,Е, Fсередины отрезков МА, АВ,МС,ВС. Как расположены прямые КЕ и РF?
Рисунок
Дано: _________________________________
______________________________________
Определить взаимное расположение ______
Решение: ______________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
Ответ: _______________________________
21
Тема 4. Параллельность прямой и плоскости в пространстве
37. По рисункам таблицы 8 внимательно изучите взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Из предложенных ниже вариантов
действий подберите к каждому рисунку соответствующие и впишите в
свободные ячейки.
Таблица 8 – Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
а)
а)
а)
б)
б)
б)
а) прямая лежит в плоскости; прямая пересекает плоскость; прямая
не пересекает плоскость.
б) имеют две общие точки; имеют одну общую точку; не имеют общих точек; имеют бесконечное множество точек.
38. Заполните пропуски в определении параллельности прямой и плоскости в пространстве, выбрав верный вариант из числа предложенных ниже. Сделайте рисунок и запись с помощью математической символики.
Определение: Прямая и …………………….. называются параллельными,
если ____________________________________________________________
Рисунок
Запись
22
39. Вставьте пропущенные слова из предложенных ниже вариантов так,
чтобы высказывание было верным:
Если прямая параллельна плоскости, то эта прямая………………………
………………………………….с любой прямой, лежащей в этой плоскости.
а) параллельна или совпадает;
б) скрещивается;
в) параллельна или скрещивается;
г) параллельна.
40. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости в
пространстве, заполнив пропуски по смыслу. Сделайте рисунок и запись с
помощью математической символики.
Признак: Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна ……
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
Рисунок
Запись
41. Верны или нет следующие утверждения?
(Варианты ответов: а) верно; б) не верно. К каждому утверждению
сделайте рисунки.)
Рисунок
1) Если прямая а параллельна плоскости α, а
прямая в параллельна прямой а, то прямая в параллельна плоскости α.
Ответ:___________________
23
Рисунок
2) Если прямые а и в параллельны плоскости
α, то прямая в параллельна прямой а.
Ответ: ________________________
3) Если прямая а параллельна плоскости α, то
Рисунок
в плоскости α существует прямая в, параллельная прямой а.
Ответ: ________________________
42. Как расположены прямые а и в, если че-
Рисунок
рез прямую в можно провести две плоскости,
параллельные прямой а? Сделайте рисунок.
Ответ:________________________________
43. На рисунке 15 дан куб ABCDA1B1C1D1.
Перечислите все ребра, которые:
а) параллельны плоскости DD1С.
Ответ: _______________________________
б) пересекают плоскость DD1С.
Ответ: _______________________________
Рисунок 15
44. Выберите верный ответ.
1) Даны плоскость α и точка М не принадлежащая этой плоскости.
Сколько существует прямых, проходящих через точку М и параллельных
плоскости α?
а) 0;
б) 1;
в) ∞;
г) 0 или ∞;
д) 1 или ∞.
Ответ: _______________________________
24
2) В пространстве дана прямая а и точка М, не принадлежащая прямой
а. Сколько существует плоскостей, проходящих через точку М и параллельных прямой а.
а) 0;
б) 1;
в) ∞;
г) 0 или ∞;
д) 1 или ∞.
Ответ: _______________________________
3) Прямая а пересекает плоскость α. Сколько можно провести прямых,
пересекающих прямую а и параллельных плоскости α?
а) 0;
б) 1;
в) ∞;
г) 0 или ∞;
д) 1 или ∞.
Ответ: _______________________________
Рисунок
4) Прямая а параллельна плоскости α.
Плоскость β проходит через прямую а и пересекает плоскость α. Как расположены между собой прямая а и линия пересечения плоскостей? (Сделайте рисунок)
Ответ: _______________________________
45. Через серединами боковых сторон трапеции АВСD проведена плоскость α. Определите как расположены основания трапеции АD и ВС, относительно плоскости α. (Ответ обоснуйте. Сделайте рисунок по условию
задачи и математическую запись)
Рисунок
Запись (обоснование)
25
46. Через середины К и М сторон треугольника АВС (К- лежит на АВ,
М- на ВС) проведена плоскость (смотрите рисунок 16). Какое положение
занимает проведённая плоскость относительно стороны АС? (Заполните
пропуски в решении задачи.)
Дано: ∆АВС; К 𝜖 ….; АК…. ВК;
М 𝜖 ….; ВМ ….. СМ; КМ𝜖𝛼
Определить взаимное расположение 𝛼 и АС.
Решение:
1)Т.к К и М - середины сторон ……. и ……..
Рисунок16
∆АВС, то КМ - ………………. линия ∆АВС.
Следовательно, КМ……. АС
2) Но КМ …….𝛼 и КМ ‖ АС, следовательно 𝛼……….АС.
Ответ:𝛼…………АС.
47. На рисунке 17 постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через середины ребер АВ и АD и параллельной СС1. Найдите
периметр сечения, если АВ = 2.
Дано: __________________________
_______________________________
_______________________________
Найти:________________________
Рисунок 17
Решение:
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Ответ: _______________________________
26
Тема 5. Параллельность плоскостей в пространстве
48. Сколько может быть вариантов взаимного расположения плоскостей в пространстве и каких?
Ответ: ____________________________________________________
___________________________________________________________
49. Дайте определение параллельных плоскостей.
Определение: Плоскости называются параллельными, если _______
____________________________________________________________
____________________________________________________________
50. Пользуясь моделью куба на рисунке 18,
перечислите пары параллельных плоскостей,
содержащих грани этого куба.
Ответ: ______________________________
_____________________________________
_____________________________________
Рисунок 18
51. Приведите примеры параллельных плоскостей из окружающей вас
обстановки.
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
52. Сформулируйте признак параллельности плоскостей в пространстве, заполнив пропуски.
Признак: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно …………………………………………………… ……… ………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………...
27
53. Закончите начатый рисунок определяющий признак параллельности плоскостей и сделайте математическую запись.
Рисунок
Запись
54. Выберите верный ответ.
1) Даны плоскость α и точка М не принадлежащая этой плоскости.
Сколько существует плоскостей, проходящих через точку М и параллельных плоскости α?
а) 0;
б) 1;
в) ∞;
г) 0 или ∞;
д) 1 или ∞.
Ответ: _______________________________
55. Верны или нет следующие утверждения? Варианты ответов: верно,
не верно.
(К каждому утверждению сделайте рисунки.)
а) Плоскости α и β параллельны. Если прямая т лежит в плоскости α, то она параллельна плоскости β?
Ответ: ______________________________
28
Рисунок
Рисунок
б) Если прямая а параллельна одной из
двух параллельных плоскостей, то с другой
плоскостью прямая а имеет только одну общую точку?
Ответ: ______________________________
Рисунок
в) Если прямая, лежащая в одной плоскости параллельна другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
Ответ: ______________________________
г) Если две стороны треугольника парал-
Рисунок
лельны плоскости α, то и третья сторона параллельна плоскости α.
Ответ: ______________________________
56. Дана треугольная пирамида SABC. На боковых ребрах отмечены
точки M, N, K – которые являются серединами этих ребер. Как расположены плоскость основания пирамиды и плоскость, проходящая через точки
M, N, K? (Завершите начатый рисунок и дайте объяснение в колонке «Запись».)
Рисунок
Запись
S
M
∙
∙K
∙N
A
C
B
29
Тема 6. Свойства параллельности плоскостей
57. Плоскости α и β параллельны
𝜸
(смотрите рисунок 19). Плоскость 𝜸 пересекает плоскость α по прямой т, а плоскость β – по прямой п. Какое взаимное
т
𝜶
расположение линий пересечения плоскостей т и п?
Ответ: т и п -______________________
п
𝜷
Рисунок19
58. Опираясь на предыдущее задание,
закончите формулировку свойства параллельных плоскостей, пересеченных третьей.
Свойство: Если две …………………………… плоскости пересекаются
третьей, то …… …………………………… …………………………… ………
… ……………………………………………………………………………………...
59.
На рисунке 20 изображены отрезки АВ и СD, лежащие соответ-
ственно в плоскостях α и β. Прямые АD и ВС пересекаются. Определите,
каково взаимное расположение плоскостей α и β. (Ответ обоснуйте.)
Ответ и обоснование:__________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
30
Рисунок 20
60. На рисунке 21 изображены отрезки АВ и СD,
лежащие соответственно в плоскостях α и β. Прямые АС и ВD параллельны. Определите, каково взаимное расположение плоскостей α и β. (Ответ
обоснуйте.)
Рисунок 21
Ответ и обоснование:__________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
61. Каково взаимное расположение двух плоскостей, если третья плоскость пересекает их по прямым:
а) имеющим общую точку;
б) не имеющим общих точек?
(Сделайте рисунки к каждому варианту, и дайте правильный ответ)
Рисунок
Рисунок
а)
б)
Ответ: а) ______________________________________________________
________________________________________________________________
б) ______________________________________________________
________________________________________________________________
31
62. (Заполните пропуски в решении задачи.)
На рисунке 22 плоскость α параллельна плоскости β. Из точки М, не
лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках
А1; А2; В1 и В2. Известно, что МА1=4см; В1В2=9с; А1А2 = МВ1. Найти
МА2 и МВ2.
Дано:α…..β; М∉ α;β,
а……α и β= А1; А2;
в……α и β=В1;В2;
а……в =М,
МА1=4см; В1В2=……;
А1А2…….МВ1
Рисунок 22
Найти: МА2; МВ2
Решение:
1) Т.к А1А2=МВ1 = х см, то МА2 = (х+4)см; МВ2=(………)см
2) ∆МА2В2 ∾ ∆МА1В1 ( 𝖫 М –общий; А1В1‖ А2В2)
MA2 MB2 x  4 ........

;

;
MA1 MB1
...
x
х(…….) = 4(……);
х2 +………. = 4х+……….;
х2 =36;
х = ± 6; А1А2 = МВ1 = 6см >0;
3)МА2=6 +…….= …….. см; МВ2=6+……..= …….см.
Ответ: МА2=…….см;
МВ2=…… см.
63. Две параллельные плоскости α и β пересечены двумя параллельными прямыми а и в соответственно в точках А, А′ и В, В′ , как показано на рисунке 23. Что можно сказать о размерах отрезков
А, А′ и В, В′ ?
Ответ: А, А′ и В, В′ ________________________
32
Рисунок 23
64. Опираясь на предыдущее задание, сформулируйте свойство параллельных плоскостей, пересеченных двумя параллельными прямыми.
Свойство: Отрезки ………………………...прямых, заключенных между
………………………………………….
плоскостями, ………………………….
.
65. На рисунке 24 изображены параллельные плоскости α и β. Точки А и В принадлежат
плоскости α, а точка С лежит в плоскости β.
Изобразите на этом рисунке точку D, принадлежащую плоскости β, так, чтобы прямые АС и
ВD оказались параллельными.
Рисунок 24
66. На рисунке 25 прямая а пересекает параллельные плоскости α и β в
точках А и D. Прямая в, параллельная прямой а, пересекает плоскости в
точках B и С. Найдите периметр четырехугольника АВСD, если АВ = 3 см,
ВС = 4 см.
Дано: __________________________
_______________________________
_______________________________
______________________________
Найти:________________________
Рисунок 25
Решение:
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Ответ: _______________________________
33
Тема 7. Изображение пространственных фигур на плоскости
67. Закончите формулировки свойств параллельного проектирования и
изображения фигур.
Свойство 1: При ……………………….. проектировании прямолинейные
отрезки фигуры ……………………………………. на плоскости чертежа
………………………………………..
Свойство 2: Параллельные отрезки фигуры при …………………………..
…………………………………………изображаются на плоскости чертежа
…………………………………………. отрезками.
Свойство 3: При параллельном …………………………………. отношение
отрезков одной прямой или …………………………………………… прямых
……………………………………….
68. Внимательно изучите изображения рисунков 26, 27, 28 и под каждым из них подпишите, какому свойству параллельного проектирования
они соответствуют.
Рисунок 26
Рисунок 27
Рисунок28
С
В
С1
В1
А
А1
________________________ _______________________
34
_______________________
69. Ответьте на вопросы:
1) Проекция фигуры – точка. Какая это фигура?
Ответ: ____________________________________________________
2) Могут ли быть параллельные прямые проекциями непараллельных
прямых?
Ответ: ____________________________________________________
3) Отрезок а – проекция отрезка в. Всегда ли отрезок а короче отрезка в?
Ответ: ____________________________________________________
4) Может ли ромб быть проекцией квадрата?
Ответ: ____________________________________________________
5) Существует ли неплоская фигура, проекция которой отрезок?
Ответ: ____________________________________________________
6) Проекция фигуры на плоскость – угол. Какая это фигура?
Ответ: ____________________________________________________
7) Будет ли средняя линия проекции трапеции являться средней линии
оригинала?
Ответ: ____________________________________________________
8) Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция?
Ответ: ____________________________________________________
35
70. Каково взаимное расположение прямых
АВ и СD (они параллельны; они пересекаются;
они скрещивающиеся), изображенные на рисунке 29, если А1В1 и С1D1 – их проекции на
плоскость α?
Ответ: _______________________________
________________________________________
Рисунок 29
71. (Заполните пропуски в решении задачи.)
Докажите, что если ∆ А1В1С1 – проекция треугольника АВС и плоскости этих треугольников параллельны, то ∆ А1В1С1 = ∆ АВС (смотрите рисунок 30).
Решение.
Так как плоскости треугольников А1В1С1 и АВС
параллельны, то заключенные между ними параллельные отрезки …… …, … ……..., ……….
……………………….. ( по свойству параллельных
плоскостей). Значит четырехугольники ……….....
, ............... , …………… – параллелограммы и
Рисунок 30
………. = ……… , ………. = ……….. , …………. =
………….. Следовательно ∆ А1В1С1 = ∆ АВС (по трем сторонам).
36