Простые и сложные проценты и банковские расчеты.
реклама
Простые и сложные проценты. Банковские расчеты. Работу над проектом выполнила ученица 9 класса Сизова И.Р. Понятие о банке. Cредства, помещенные на хранение в банк, через определенный период времени приносят некоторый доход, равный сумме начисленных за этот период процентов. C одной стороны банки принимают вклады и платят по этим вкладам проценты вкладчику, а с другой стороны- дают кредиты заемщикам и получают от них проценты за пользование этими деньгами. Разность между той суммой, которую получает банк от заемщиков за предоставленные кредиты, и той, которую он платит по вкладам, и составляет прибыль банка. Таким образом, банк является финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками. Эта связь наглядно показана на схеме 1. Вклад Вкладчик Банк Плата за пользование вкладом Заемщики Плата за пользование кредитом За хранение сбережений вкладчика и разрешение распоряжаться этими деньгами банк выплачивает вкладчику проценты к хранящейся сумме денег. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные . Сложные проценты если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р % уже на новую увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад, S0, но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления « процентов на проценты» в математике называют сложными процентами , а операцию присоединения начисленных процентов к основному вкладу называют капитализацией процентов. Простые проценты. Увеличение вклада S0 схеме простых процентов характеризируется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исхода только из первоначальной суммы вклада S0 независимо от срока хранения и количества периодов начисления процентов. Капитализация процентов. Пусть вклад S0 руб. находиться на счете банка t1 лет , и на него начисляют простые проценты по ставке р1% годовых. По прошествии t1 лет величина вклада окажется равной S1= S0(1+p1t1/100). Далее вкладчик может снять все эти деньги и внести их в другой банк, который в течение t2 лет будет начислять на сумму S1 простые проценты по ставке р2% годовых. При прошествии t1+t2лет величина вклада будет равна S2= S1(1+p2t2/100)= S0(1+p1t1/100) (1+p2t2/100). Такая операция называется капитализацией процентов: сумма S1, наращенная за время t1, вновь вкладывается на срок t2, под новый простой процент р2. Пример. На сумму 150000 руб. начисляются простые проценты в течение 5 месяцев по ставке 45% годовых. Через 5 месяцев баек увеличил годовую ставку на 5% . При условии, что проценты по прошествии 5 месяцев капитализируется, определить величину вклада по прошествии 1 года и 3 месяцев Решение. Вклад S0=150000 руб. за время t1=5 месяцев по ставке р%= 45% в год достигнет величины S1= S0(1+p1t1/100)=150000 (1+5/12*45/100)=178125 Поскольку проценты капитализируются , то впредь они будут начисляться на сумму S1, и поэтому за время t2= 10 месяцев по ставке р2% = 50% годовых вклад достигнет величины S2= S1(1+p2t2/100)=178125( 1+10/12*50/100)=25234375/ Если проценты не капитализируются, то величина вклада будет равна: S = S0(1+p1t1/100) (1+p2t2/100)=150000(1+5/12*45/100+10/12*50/100)=240625 руб. Мы убеждаемся, что капитализация процентов приводит к увеличению вклада на 11 718, 75. Пусть имеются три промежутка времени продолжительностью t1,t2,…tn лет, на каждом из которых начисляются простые годовые проценты р1%, р2%...рn% с капитализацией процентов в конце каждого промежутка . величина вклада за t1,t2,…tn лет будет равна. Многократное начисление сложных процентов в течение нескольких лет. 1.Если банк на вклад S0 начисляет сложные проценты по ставке р% годовых, то через n лет на счете вкладчика окажется Sn=S0(1+p/100)n . (1) 2. Если банк на вклад S0 начисляет по ставке р% годовых, а начисление процентов происходит k раз в год по ставке р /k%,то через один год на счете вкладчика будет находиться S(k)=S0(1+p/100k) руб. Пример. Пусть сумма S0= 20000 руб. внесена в банк под сложные проценты по ставке р%годовых. Пусть она внесена в банк на два года при условии начисления процентов три раза в год по ставке р%/3. Выясним, какая сумма будет находиться на счете в конце второго года. За два года произойдет 2*3=6 начислений процентов по ставке р/3%, и поэтому S=S0 (1+р/3*100)6. Так, при S0 = 20000 руб. и р= 30% величина вклада через два года достигнет значение S=20000(1+30/3*100)6= 20000*(1,1)6=35431,22. Теперь рассмотрим общий случай. Если вклад S0 находиться на счете в банке n лет и каждый год проценты начисляются m раз по р/m%, то после первого начисления процентов на счете будет лежать сумма S1=S0 (1+p/m*100). . Всего же таких начислений будет произведено n*m раз. Поэтому искомая сумма на счете вкладчика будет равна S=S0 (1+p/m*100)mn. . Начисление процентов при нецелом промежутке времени. Формула Sn= S0(1+p/100)n, n=1, 2, 3,... Выбор банком годовой процентной ставки. если в банк внесена сумма S0 руб. и банк выплачивает р% в год, то через год на счете вкладчика окажется сумма S1= S0(1+p/100)n. Если банк разрешает вкладчику n раз в год переоформлять вклад и при этом банк согласен за каждый промежуток времени 1/n года начислять сложные проценты по ставке р/n%, то по прошествии года на счете вкладчика окажется сумма S2=S0(1+p/n100)n. Некоторые литературные и исторические сюжеты. В романе М.Е. Салтыкова- Щедрина « Господа Головлены » есть такой эпизод: сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 руб. и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он говорил: « Я бы хороший процент дал . Пять процентов в месяц.» Подсчитаем, сколько денег готов был вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия. Если вести расчет по сложным процентам , то Петя вернул бы бабушке S1= 3 000∙( 1+ 0,05)12= 5 400 руб. Если же вести счет по простым процентам , то он вернул бы S2= 3 000 ∙( 1+ 0,05∙12)= 4 800 руб. Однако, не веря внуку, бабушка денег не дала!
