Лекция 6. Алгебра высказываний 2008 г. Дискретная математика.

Дискретная математика.
Математическая логика
Лекция 6. Алгебра
высказываний
2008 г.
Проф., д.т.н. Гусева А.И. ,
доцент Порешин П.П.,
аспирант Цыплаков А.C.
.
Понятие высказывания
Простое
высказывание
–некоторое
повествовательное предложение, которое
может быть либо истинно, либо ложно, но
не то и другое одновременно
Обозначается
маленькими
буквами a, b, c, …
латинскими
Высказывания, получаемые из простых с
помощью грамматических связок «и»,
«или», «не», «тогда и только тогда»,
«либо…либо…»,
«если
…то…»
называются составными или формулами
алгебры высказываний
Обозначаются
большими
буквами A, B, C, …
латинскими
.
Тождественная истина и
тождественная ложь
Формула
А,
всегда
истинная,
называется тождественно истинной
формулой или тавтологией, А=1
Формула
В,
всегда
ложная,
называется тождественно ложной
формулой, В=0
Рассматривая
высказывания,
абстрагируемся от их смысла,
интересует
их
истинность
ложность
мы
нас
или
Операции над
высказываниями
•Дизъюнкция V
•Конъюнкция &
•Отрицание) a
•Импликация 
• Эквивалентность 
• Жегалкинское сложение 
Значение каждой логической
операции описывается таблицей
истинности
Дизъюнкция a V b
Запись читается «а дизъюнкция б»
Дизъюнкция
двух слагаемых
ложна тогда и
только тогда,
когда ложны
оба слагаемых
Соответствует
союзу «ИЛИ»
a
b
aVb
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Конъюнкция a&b
Запись читается «а конъюнкция б»
Конъюнкция
двух
сомножителей
ложна тогда и
только тогда,
когда ложны
хотя бы один из
них
Соответствует
союзу «И»
a
b
a&b
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Импликация a b
Запись читается «а импликация б» или
«из а следует б»
Из лжи следует
все, что угодно,
а из истины
только истина
Соответствует
«если а, то б»
a
b
ab
0
0
2
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Жегалкинское сложение
a b
Запись читается «а жегалкинское
сложение б»
Жегалкинское
сложение истинно
тогда и только
тогда, когда
значения
переменных
различны
Соответствует
союзу «ИЛИ,ИЛИ»,
«ЛИБО»
a
b
a b
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Эквивалентность a  b
Запись читается «а эквивалентно б»
Эквивалентность
истинна тогда и
только тогда,
когда значение
обеих
переменных
совпадают
Соответствует
«тогда и только
тогда»
a
b
a b
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Отрицание а_
Запись читается «не а»
Отрицание лжи
есть истина,
отрицание
истины есть
ложь
Соответствует
частице «НЕ»
a
a
0
1
1
0
Формализация логических
высказываний (1)
Союзы и
частицы
естественного
языка
Операции
алгебры
высказыва
ний
Примеры
аиб
a&b
Сегодня ветрено и идет
дождь
а или б
aVb
Сегодня ясная погода, или
сегодня идет дождь
а либо б
ab
Сегодня ветрено, либо
идет дождь
не а
либо а,
либо б
или а, или
б
а
ab
ab
Неверно, что сегодня идет
дождь
Сегодня пасмурно
Сегодня безветренно
Сегодня нет дождя
Либо сегодня идет дождь,
либо ясная погода
Или сегодня ветрено, или
дождливо
Формализация логических
высказываний (2)
а тогда и
только
тогда, когда
б
a b
а достаточное
условие для б
a b
если а, то б
a b
а
необходимое
условие б
b a
а когда б
b a
Ветрено бывает тогда и
только тогда, когда
идет дождь
Сегодняшний ветер достаточное условие для
сегодняшнего дождя
Если сегодня ветер, то
сегодня пойдет дождя
Сегодняшний ветер необходимое условие для
сегодняшнего дождя
Дождь идет когда дует
ветер
Таблицы истинности
сложных высказываний
Построить таблицу истинности для формулы
F( x1, x2, x3 ) = (x1  x2 )x3
x1 x2 x3
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x1x2
x3
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
(x1x2)x
3
1
0
1
0
1
1
1
0
Равносильности
Две формулы А и В называются
равносильными, если на одинаковых
наборах они принимают одинаковые
значения (А=В)
•основные равносильности
•равносильности, выражающие одни
операции через другие
• равносильности, выражающие
основные законы алгебры
высказываний
Основные равносильности
x&x= x
x V x=x
Законы идемпотентности
x&1=x
x&0=0
x V 1=1
x V 0= x
Законы работы с 0 и 1
x&
xV
x
x
x
=0
=1
=x
x& (x v y) =x
x v (x & y) = x
Закон противоречия
Закон исключения
третьего
Закон двойного
отрицания
Законы поглощения
Равносильности, выражающие
одни операции через другие
x y= (x y)&(y x)
x& y  x y
x y  x& y
x y =
x
Vy
x y  x& y
x& y  x y
x  y=
(x  y) V (y  x)
Равносильности, выражающие
основные законы алгебры
высказываний
x & y= y & x
коммутативность конъюнкции
xVy= yVx
коммутативность дизъюнкции
(x & y ) & z = x &
(y & z)
ассоциативность конъюнкции
(x V y) V z = x V
(y V z)
ассоциативность дизъюнкции
x &(y V z)= x&y V
x&z
дистрибутивность конъюнкции
относительно дизъюнкции
x V (y & z)=(x V y)
& (x V z)
дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции
Алгебра высказываний
Операции логическое сложение,
логическое умножение, отрицание,
импликация и эквивалентность
составляют сигнатуру алгебры
высказываний
A = < {0, 1}, +, ., ¬, ,  >