Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (6.1)
в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными
коэффициентами, т.е. систему вида
 dy1
 dx  a11 y1  a12 y 2    a1n y n ,


 dy
 n  a n1 y1  a n 2 y 2    a nn y n .
 dx
Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y1 , y 2 , y3 :
 dy1
 dx  a11 y1  a12 y 2  a13 y 3 ,

 dy 2
(6.6)
 a 21 y1  a 22 y 2  a 23 y 3 ,

 dx
 dy 3
 dx  a31 y1  a32 y 2  a33 y 3 ,

где коэффициенты a ij (i, j 1, 2, 3) - постоянные.
Будем искать частное решение системы (6.6) в виде
(6.7)
y1    e kx , y 2    e kx , y 3    e kx ,
где  ,  ,  , k – постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции
(6.7) удовлетворяли системе (6.6).
Подставив эти функции в систему (6.6) и сократив на множитель e kx  0, получим:
k  a11  a12   a13

k  a 21  a 22   a 23
k  a   a   a 
31
32
33

или
(a11  k )  a12   a13  0,

(6.8)
a 21  (a 22  k )   a 23  0,
a   a   (a  k )  0.
32
33
 31
Систему (6.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических
уравнений с тремя неизвестными  ,  ,  . Чтобы эта система имела ненулевое решение,
необходимо и достаточно, чтобы определители системы был равнее нулю:
a11  k
a12
a13
a 21
a 22  k
a 23  0.
(6.9)
a31
a32
a33  k
Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением системы (6.6). Раскрыв определитель, получаем уравнение третье степени относительно k. Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны:
k1 , k 2 , k 3 . Для каждого корня k i (i  1, 2, 3) напишем систему (6.8) и определим коэффициенты  i ,  i ,  i (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким, образом получаем:

для корня k1 частное решение системы (6.6): y1(1)  1e k1x , y2(1)  1ek1 x , y3(1)   1e k1 x ;
для корня k 2 – y1( 2)   2 e k2 x , y 2( 2)   2 e k2 x , y3( 2 )   2 e k2 x ;
для корня k3 – y1(3)   3 e k3 x , y 2(3)   3 e k3 x , y3( 3)   3 e k3 x .
Можно опказать, что эти функции образуют фундаментальную ситсему, общее решение системы (6.6) записывается в виде
y1  c11e k1x  c2 2 e k2 x  c3 3 e k3 x ,
(6.10)
y  c  e k1x  c  e k2 x  c  e k3 x ,
2
1
1
2

2
3
3
y3  c1 1e  c2 2 e  c3 3 e k3 x .
Пример 6.3. Решить систему уравнений:
 dy1
 dx  y1  y 2

 dy 2  4 y  y
1
2
 dx
Решение: Характеристическое уравнение (6.9) данной системы имеет вид
1  k 1
0,
 4 1 k
k1 x
k2 x
или 1  2k  k 2  4  0; k 2  2k  3  0, k1  1, k 2  3. Частные решения данной системы ищем в виде y1(1)  1e k1x , y2(1)  1ek1 x и y1( 2)   2 e k2 x , y 2( 2)   2 e k2 x . Найдем  i и  i
(i = 1, 2).
При k1  1 система (6.8) имеет вид
(1  (1))1  1  0,

 41  (1  (1)) 1  0.
т.е.
21  1  0

 41  21  0
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим 1  1, тогда
1  2 . Получаем частные решения
y1(1)  e  x и y 2(1)  2e  x .
При k 2  3 система имеет вид
 2 2   2  0,

 4 2  2 2  0
Положим  2  1, тогда  2  2 . Значит, корню k 2  3 соответствуют частные решения:
y1( 2)  e 3 x и y2( 2)  2e 3 x .
Общее решение исходной системы, согласно формуле (6.10), запишется в виде:
y1  c1e  x  c2 e 3 x , y2  2c1e  x  2c2 e 3 x .


Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть
комплексные: k1  a  ib, k 2  a  ib, k3 . Вид частных решений этой ситуации определяют
так же, как и в случае 1.
Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 4.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действи-
тельных решения, содержащих функции вида e ax  cos bx, e ax  sin bx . Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень k 2  a  ib не даст новых
линейно независимых действительных решений.
Пример 6.4. Найти частное решение системы
 dy1
 dx  y1  y 2

 dy 2
  y1  y 2  y 3

 dx
 dy3
 dx  3 y 2  y 2

удовлетворяющее начальным условиям: y1 (0)  7, y2 (0)  2, y3 (0)  1.
 Решение: Составляем характеристическое уравнение:
1 k
1
0
1
0
(1  k ) 
1  k  1  0,
3 1 k
1  k 1
1 1
 1
 0,
3 1 k
0 1 k
(1  k )( k 2  2k  4)  (k  1)  0, (1  k )( k 2  2k  5)  0,
k1  1, k 2  1  2i, k3  1  2i.
Для k1  1получаем:
0  1  1  0   1  0

 1  0  1   1  0
0    3  0    0
1
1
1

(см. (6.8)). Отсюда находим: 1  0, 1  1 (положили),  1  1. Частное решение
системы: y1(1)  e x , y 2(1)  0, y 3(1)  e x .
Для k 2  1  2i получаем (см. (6.8)):
 2i 2   2  0

  2  2i 2   2  0
3  2i  0
2
 3
Отсюда находим:  2  1 (положили),  2  2i,  2  3 . Частное комплексное решение системы: y1( 2)  e (12i ) x , y2( 2)  2ie (12i ) x , y3( 2 )  3e (1 2i ) x .
В найденных решениях выделим действительную ( Re ) и мнимую ( Im ) части:
y1( 2)  e (12i ) x  e x (cos 2 x  i sin 2 x)
Re y1( 2)  e x cos 2 x, Im y1( 2)  e x sin 2 x;
y2( 2)  2ie (12i ) x  e x (2i cos 2 x  2 sin 2 x),
Re y2( 2)  2e x sin 2 x, Im y 2( 2)  2e x sin 2 x;
y3( 2)  3ie (1 2i ) x  e x (3 cos 2 x  i3 sin 2 x),
Re y3( 2)  3e x cos 2 x, Im y3( 2)  3e x sin 2 x;
Как уже отмечено, корень k 3  1  2i приведет к этим же самым решениям.
Таким образом, общее решение системы имеет вид
y1  c1e x  c2 e x cos 2 x  c3 e x sin 2 x
y 2  c1  0  2c2 e x sin 2 x  2c3 e x cos 2 x
y1  c1e x  3c2 e x cos 2 x  3c3 e x sin 2 x
Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем
систему уравнений для определения постоянных c1 , c2 , c3 :
7  c1  c2  0

2  0  0  2c3  c1  5, c2  2, c3  1.
1  c  3c  0
1
2

Следовательно, искомое частное решение имеет вид
y1  5e x  2e x cos 2 x  e x sin 2 x
y2  4e x sin 2 x  2e x cos 2 x
y3  5e x  6e x cos 2 x  3e x sin 2 x
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратности m (т=2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:
А) если m  2, то y1  ( A  Bx )e kx , y2  (C  Dx )e kx , y3  ( E  Fx)e kx ;
m  3,
Б)
если
то
y1  ( A  Bx  Cx 2 )e kx ,
y2  ( D  Ex  Fx 2 )e kx ,
y3  (G  Hx  Nx 2 )e kx ;
Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные A, B, C ,, N
определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равным нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (6.6).
Пример 6.5. Решить систему уравнений:
 dy1
 dx  y1  y 2  y3

 dy 2
 y1  y 2  y3

 dx
 dy3
 dx   y 2  2 y3

 Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение
1  k 1
1

1
0
1 k
1
1  0
2k
(1  k )(2  2k  k  k 2  1)  1(2  k  1)  0, k1  2 , k 2  k3  1. Корню k1  2 соответствует система (см. (6.8)):
 1  1   1  0
1  0

1  1   1  0  
1   1  0
   0
 1
Полагая  1  1 , находим 1  1. Получаем одно частное решение исходной системы: y  e 2 x , y 2(1)  0, y3(1)  e 2 x .
Двукратному корню k  k 2  k3  1 (m  2) соответствует решение вида
(1)
1
y1( 2,3)  ( A  Bx )e x , y2( 2,3)  (C  Dx )e x , y3( 2,3)  ( E  Fx)e x .
Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:
B  e x  ( A  Bx )e x  ( A  Bx )e x  (C  Dx )e x  ( E  Fx)e x

x
x
x
x
x
D  e  (C  Dx )e  ( A  Bx )e  (C  Dx )e  ( E  Fx)e
F  e x  ( E  Fx)e x  (C  Dx )e x  2( E  Fx)e x

или, после сокращения на e x  0 и группировки,
( D  F ) x  B  C  E  0

( B  F ) x  A  D  E  0
( D  F ) x  C  F  E  0

Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда
D  F  0
B  F  0

B  C  E  0
A  D  E  0

C  F  E  0
Выразим все коэффициенты через два из них (m=2), например через А и В. Из второго уравнения имеем F  B . Из четвертого уравнения находим E  A  D, т.е. E  A  B.
Из третьего уравнения: C  E  B, т.е. C  A  B  B , или C  A  2B . Коэффициенты A и
B – произвольные.
Полагая A  1 , B  0, находим: C  1, D  0, E  1, F  0.
Полагая A  0 , B  1, находим: C  2, D  1, E  1, F  1.
Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню k  1 :
y1( 2)  e x , y 2( 2)  e x , y3( 2 )  e x и
y1(3)  xex , y2(3)  (2  x)e x , y3(3)  (1  x)e x .
Записываем общее решение исходной системы:
y1  c1e 2 x  c2 e x  c3 xex ,
y 2  c2 e x  c3 ( x  2)e x ,
y3  c1e 2 x  c2 e x  c3 ( x  1)e x .