Лекция 4 «Теория пластин

Теория пластин
Уточненная теория изгиба анизотропных
пластин (теория Амбарцумяна)
 Расчет пластин с ребрами жесткости
 Пластина на упругом основании
 Уравнение движения пластины

Уточненная теория изгиба анизотропных пластин
(теория Амбарцумяна)
и  yz
В теории СП. Тимошенко
имеет вид (рис.1,а)
есть противоречия: эпюра напряжений
 xz
Рис.1 Распределения касательных напряжений поперечных сдвигов по теории
Тимошенко (а) и теории Амбарцумяна (б)
Согласно модели Тимошенко на свободной поверхности (z=±h/2)
возникают отличные от нуля напряжения, что не соответствует
действительности. Предположим, что напряжения изменяются по толщине
вдоль оси z по сложному закону, но так, что
 xz| z  h / 2   yz| z   h / 2  0
(1)
Уточненная теория изгиба анизотропных пластин
(теория Амбарцумяна)
В этом случае функции τхz (x,y,z) и τyz(x,y,z) можно представить в
виде
τхz =f(z)φ(x,y)
τyz =f(z)ψ(x,y)
(2)
при этом функция f(z) выбирается так, чтобы удовлетворить условиям в
напряжениях на поверхности пластинки, а функции φ и ψ считаются
неизвестными, подлежащими определению.
Выберем функцию f(z) в форме параболы (рис.1,6)
f ( z) 
1 2 1 2
z  h 
2
4 
тогда, используя закон Гука, получим
1
1
 xz 
 xz 
f ( z ) ( x, y )
C55
C55
 yz 
1
1
 yz 
f ( z ) ( x, y )
C 44
C 44
(3)
(4)
Уточненная теория изгиба анизотропных пластин
(теория Амбарцумяна)
Используя гипотезу о неизменной длине нормали
z 
w
0
z
(5)
получим w=w(x,y) прогиб есть функция двух аргументов х и у. Используем
геометрические соотношения для γxz и γyz:
u
 w
 f ( z)

z
C55 x
v

w
 f ( z)

z
C 44 y
(6)
Интегрируем уравнения с учетом того, что U/z=0=0 = 0, v/z=0=0
z

u
 w 

dz

f
(
z
)
0 z
0  C55  x dz
 z
w
u ( z )  u (0) 
f
(
z
)
dz

( z  0)
C55 0
x
z
u  z
w 

I 0 ( z)
x C55
(7)
Уточненная теория изгиба анизотропных пластин
(теория Амбарцумяна)
где
z
I 0 ( z )   f ( z )dz 
0
аналогично
1 3 1 2
z  zh
6
8
w 
v  z

I 0 ( z)
y C 55
(8)
(9)
Таким образом, для определения поля перемещений пластинки необходимо
определить функцию прогиба w(x,y) и функции φ(х,у) и ψ(x,y). Подставляя
функции и и v в геометрические соотношения, получим
u
 2 w I 0 ( z ) 
 x   z 2 
x
C 55 x
x
v
 2 w I 0 ( z ) 
y 
 z 2 
y
C 44 y
y
 xy
 1 
2w
1  

 2 z
 I 0 ( z )

xy
 C55 y C 44 x 
(10)
Уточненная теория изгиба анизотропных пластин
(теория Амбарцумяна)
Для определения напряжений σх, σу, τху используем соотношения закона Гука

2w
2w 
 x   z  C11 2  C12 2  
x
y 

 C11  C12  

 I 0 ( z )

 C 55 x C 44 y 

2w
2w 
 y   z  C12 2  C 22 2  
x
y 

 C12  C 22  

 I 0 ( z )

 C 55 x C 44 y 
 xy
 C  C66  
2w

 2 zC 66
 I 0 ( z ) 66

xy
 C55 y C 44 x 
(11)
Уточненная теория изгиба анизотропных пластин
(теория Амбарцумяна)
Определим изгибающие и крутящий моменты и перерезывающие усилия в
h/2
пластине:

2w
2w 
Mx 

h / 2
 x zdz   11

x
2
 12
 
y 
2
 C  C12  
 I1 (h)
  11

 C55 x C 44 y 
h/2
Qx 

xz
dz  I 2 (h)
(12)
Q y  I 2 ( h)
(13)
h / 2
h5
1 4 1 2 2
I1 (h)   I 0 ( z ) zdz    z  h z dz  
6
8
120

h / 2
h / 2 
h/2
h/2
h/2
I 2 ( h) 

h / 2
h3
f ( z )dz  
12
Подставляя выражения для моментов и усилий в уравнения равновесия,
получим систему трех дифференциальных уравнений в частных производных
относительно w, φ, ψ.
(14)
(15)
Расчет пластин с ребрами жесткости
Рассмотрим пластину (рис.2), усиленную ребрами жесткости в
направлениях х, у. Расчет такой пластины можно выполнить как расчет
Рис.2. Пластина с ребрами жесткости
пластины с эффективными жесткостями Δх, Δу, Δ*.
Пусть ребра, параллельные оси х, имеют жесткость на изгиб EJ1и
кручение GJp1 расстояние между ребрами b1 .
Ребра, параллельные оси у, имеют жесткости EJ2 и GJp2, расстояние a1.
Если изгибающие и крутящие моменты, возникающие в стержнях,
условно распределить равномерно по длине шага, то эффективные жесткости
пластины будут иметь вид
Расчет пластин с ребрами жесткости
EJ
~
x  x  1
b1
EJ
~
y  y  2
a1
1  GJ p1 GJ p 2 
~

      

2  b1
a1 
(16)
Если Δх= Δу= Δ*=0, то уравнение
~ 4w
~ 4w
~ 4w
 x 4  2   2 2   y 4  q ( x, y )
x
x y
y
опишет поведение сетчатой панели.
(17)
Пластина на упругом основании
Введем обозначения: q(x,y) - внешняя нагрузка, r(х,у)- реакция упругого
основания (рис.3).
Рис.3 Пластина на упругом основании
Дифференциальное уравнение примет вид:
~ 4w
~ 4w
~ 4w
 x 4  2  2 2   y 4  q  r
x
x y
y
(18)
Пластина на упругом основании
Реакцию упругого основания часто определяют по модели Винклера в
предположении пропорциональности реакции прогибу пластины
r ( x, y )  kw( x, y )
(19)
где к - коэффициент жесткости упругого основания или
коэффициент постели, к пропорционален отношению
1 v2
E
(20)
(1  v)(1  2v)
где E,v - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала основания.
Аналогичные уравнения могут быть получены для описания
деформирования балки на упругом основании. Для этого в дифференциальном
уравнении обычной упругой балки
(21)
EJy IV  q
полную нагрузку q надо положить равной
q  q0  p  q0  kby
(22)
Пластина на упругом основании
p  kby
(23)
где q0 - внешняя нагрузка, реакция основания,
к - коэффициент постели,
b - ширина балки.
Таким образом, балка оказывается нагруженной кроме внешних сил
также реакцией со стороны основания, причем эта реакция пропорциональна
прогибу балки. В результате получим дифференциальное уравнение балки на
упругом основании
(24)
EJy IV  kby  q
0
В случае балки постоянного сечения интегрирование этого
уравнения не представляет особых затруднений
y  e  x C1 sin x  C 2 cos x   e x C3 sin x C 4 cos x 
(25)
Уравнение движения пластины
Дифференциальное уравнение имеет вид
2w
4w
4w
4w
h 2   x 4  2  2 2   y 4  q
t
x
x y
y
(26)
для установившихся колебаний q=q(x,y)sinwt, где w - частота вынуждающей
нагрузки (рис.4). Если искать решение уравнения в виде w = w(x,y)sinwt, то
получим уравнение
4w
4w
4w
2
 h w   x 4  2  2 2   y 4  q
x
x y
y
(27)
Уравнение при к > 0 имеет единственное решение Если к < 0, то решение
может быть единственным или не существует, при определенных значениях.
Соответствующие частоты w, при которых нарушается единственность
решения, называются собственными частотами или резонансными.