Лекция 8 «Теория пластин

Теория пластин
Изгиб пластины в ортогональных криволинейных
координатах:
 геометрические соотношения
энергия упругого деформирования пластины
 внутренние силовые факторы
уравнение прогиба пластины
Геометрические соотношения
Рассмотрим пластину (рис.1), отнесенную к криволинейной системе координат
α, β, z; Hα, Hβ , Hz =1 - параметры Ламе.
Рис.1. Пластина в ортогональных криволинейных координатах
Для построения основных соотношений изгиба пластины примем гипотезы
Кирхгофа.
Пусть и - перемещение точки вдоль α,
v - вдоль р,
w - вдоль z (прогиб).
Геометрические соотношения
Геометрические соотношения теории упругости в криволинейных координатах
имеют вид:
(1)
(2)
Принимаем гипотезу о недеформируемости нормали: εz = 0, учитывая, что
Hz = 1 и
тогда
(3)
Принимаем гипотезу об ортогональности нормали к серединной плоскости
при деформировании (γαz = γβz = 0)
(4)
Геометрические соотношения
Интегрируя уравнение по z,
(5)
Пусть срединная плоскость выбрана так, что
zc = 0,
принимая
предположение о недеформируемости срединной плоскости (u|z=0=0),
получим φ(α,β) = 0, тогда окончательно
(6)
Оставшиеся геометрические соотношения используем, учитывая
(7)
Геометрические соотношения
Для определения деформации в произвольной точке пластины:
(8)
Аналогично
(9)
Энергия упругого деформирования пластины
Рассмотрим уравнение
(10)
здесь
(11)
Таким образом
(12)
Внутренние силовые факторы
В пластине возникают изгибающие Мα, Мβ и крутящий Маβ моменты:
(13)
аналогично можно получить соотношения для Мβ и Мαβ
Уравнение прогиба пластины
Проекция сил на ось z (Рис.2) :
Рис.2. Усилия и моменты, действующие на элемент пластины
(14)
Уравнение прогиба пластины
Уравнение моментов относительно оси β:
(15)
аналогично можно получить уравнение моментов относительно оси α:
(16)
Подставляя полученные уравнения (15) и (16) в (14), получим
(17)
Подставляя выражения для моментов найдем дифференциальное уравнения
прогиба анизотропной пластины в криволинейных координатах.