Квадратичная функция, ее график и свойства. «Трудное можно сделать легким, легкое привычным, привычное приятным!» Творческое название проекта: «Портрет» функции. Основополагающий вопрос: «В чем загадка «портрета» квадратичной функции?» Проблемный вопрос: «Как меняется «портрет» квадратичной функции в зависимости от формулы , задающей функцию?» Где в жизни применяется квадратичная функция? Задачи проекта: 1.Обобщение знаний по теме «Квадратичная функция». 2.Применение свойств функции при решении неравенств второй степени. 3.Выяснение роли квадратичной функции в окружающей нас жизни. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax²+bx+c, где х - независимая переменная, a, b и с некоторые числа (причём а≠0). • Например: у = 5х²+6х+3, • у = -7х²+8х-2, • у = 0,8х²+5, • у = 0,75х²-8х, • у = -12х² квадратичные функции Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх(если а>0) или вниз (если а<0). • У =2х²+4х-1 – графиком является парабола, ветви которой направлены • вверх (т.к. а=2, а>0). у 0 х у 0 х • У = -7х²-х+3 – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а=-7, а<0). Алгоритм построения графика 1.Определить координату вершины параболы по формулам: 2. Отметить эту точку на координатной плоскости. 3.Через вершину параболы начертить ось симметрии параболы 4.Найти нули функции и 0тметить их на числовой прямой 5.Найти координаты двух дополнительных точек и симметричных им 6.Провести кривую параболы , учитывая направление ветвей параболы. y Х -3 -2 -1 0 y 9 4 1 0 9 1 2 3 1 4 9 4 1 x -6 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 -4 -9 Х -3 -2 -1 0 1 2 3 y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 Координаты вершины параболы, записанной в виде У=а(х-n)² +m равны (-n ; m ) У=2(х-4)² +5 (4;5) У=-6(х-1)² (1;0) У = -х²+12 (0;12) У= х²+4 У= (х+7)² - 9 У=6 х² (0;4) (-7;-9) (0;0) График функции у=2х²+4х-6, и его свойства График функции у=2х²+4х-6 1. a=2 ветви вверх 2. Вершина (-1;-8) У 10 3.Ось симметрии графика Х = -1 4.Пересечение с осью ОХ 2х2+4х-6=0 х1=1; х2=-3 5.Дополнительные точки: Х -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 10 0 -6 -8 -6 0 10 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -2 -6 -8 Х Свойства функции у=2х²+4х-6 У 1. D(y)= R 10 2. у=0, 2х²+4х-6=0 если х= -1; -8 1;+ у<0, если х 3;1 3. у>0, если х ;3 4. у↓, если х у↑, если х ( ;1] [ 1;+ ) 1 5. унаим= -8, если х= -1 унаиб – не существует. -4 -3 -2 -1 1 2 3 -2 6. Е(y) = [ 8;+ ) -6 -8 Х Преобразование графика квадратичной функции 1.Построение графика функции у=х2+m перемещением у=х2 в одной системе координат 2.Построение графика функции у=(х+n)2 перемещением у=х2 в одной системе координат. у=х2+m, m>0 например m=5 У у=х2+5 m=5 m у=х2 1 0 1 Х 2 у=х +m, У например m= - 5 у=х2 1 0 Х 1 m m=-5 m<0 у=х2-5 2.Построение графика функции у=(х+n)2 перемещением у=х2 в одной системе координат. 2 у=(х+n) , n>0 У у=х2 1 у=(х+6)2, n=6>0 -6 n 0 1 Х 2 у=(х-n) , n<0 У у=(х-6)2, n= -6<0 1 0 1 n 6 Х Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции Определение: Неравенство, левая часть которого есть многочлен второй степени, а правая- нуль, называется неравенством второй степени. • Все квадратные неравенства могут быть приведены к одному из следующих видов: • 1) ах2+bx+c>0; 2) ах2+bx+c<0; • 3) ах2+bx+c≥0; 4) ах2+bx+c≤0. Примеры неравенств второй степени: • 1) 6х 2-13х>0; • 3) (5+x)(x-4)>7; 2) x 2-3x-14>0; 4) 8x2 >0; • 5) (x-5)2 -25>0; Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной 1. Приведите неравенство к виду ax2+bx+c>0 (ax2+bx+c<0) 2. Рассмотрите функцию y=ax2+bx+c 3. Определите направление ветвей 4. Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс (для них y=0; х1и х2 найдите, решая уравнение ax2+bx+c=0) 5. Схематически постройте график функции y=ax2+bx+c 6. Выделите часть параболы, для которой y<0 (y>0) 7. На оси абсцисс выделите те значения х, для которых y<0 (y>0) 8. Запишите ответ в виде промежутков Пример решения неравенства 1.5х2+9х-2<0 2.Рассмотрим функцию y=5х2+9х-2 3. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 4. 5х2+9х-2=0 х1=-2; х2= 1 5 5,6,7 -2 1 8. хЄ(-2; ) 5 1 5 Решу неравенство 1, и неравенство 2: 1. 2 x − 3x− 4≥ 0 x 3x 10 < 0. 2 2. В таблице 1 находится верное решение неравенства 1, в таблице 2 – верное решение неравенства 2: Таблица 2 Таблица 1 а x 1;4 с x 1;4 в x ( ;1] [ 4;+ ) d x ;1 4;+ а x 2;5 с x 2;5 в x ;2 5;+ d x ( ;2 ] [ 5;+ ) В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в таблице 2- решение неравенства 2: 1. 2 x − 3x− 4≥ 0 Таблица 1 а x∈ − 1;4 с в x∈ − ∞;− 1]∪[4; ∞ d x∈ [− 1;4 ] x∈ − ∞ ;− 1 ∪ 4; ∞ 2 x − 3x− 10 0 . 2. Таблица 2 а x∈ − 2;5 с x∈ [− 2;5 ] в x∈ − ∞ ;− 2 ∪ 5; ∞ d x∈ − ∞;− 2]∪[ 5; ∞ 1. В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в таблице 2- решение неравенства 2: 2 2 x − 3x− 4≥ 0 Таблица 1 а x∈ − 1;4 с в x∈ − ∞;− 1]∪[4; ∞ d x∈ [− 1;4 ] x∈ − ∞ ;− 1 ∪ 4; ∞ x − 3x− 10 0 . 2. Таблица 2 а x∈ − 2;5 с x∈ [− 2;5 ] в x∈ − ∞ ;− 2 ∪ 5; ∞ d x∈ − ∞;− 2]∪[ 5; ∞ 1. 2 x − 3x− 4≥ 0 2 x − 3x− 10 0 . 2. В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1, в таблице 2 - решение неравенства 2: x ( ;1] [ 4;+ ) Таблица 1 а x∈ − 1;4 с в x∈ − ∞;− 1]∪[4; ∞ d x∈ [− 1;4 ] x∈ − ∞ ;− 1 ∪ 4; ∞ x 2;5 Таблица 2 а x∈ − 2;5 с x∈ [− 2;5 ] в x∈ − ∞ ;− 2 ∪ 5; ∞ d x∈ − ∞;− 2]∪[ 5; ∞ примерhttp://files.schoolcollection.edu.ru/dlrstore/2e7210fb-017a4d37-b413-5895ed1baec2/a01.swf Где в жизни применяется квадратичная функция? При работе над проектом мне удалось систематизировать знания о свойствах и графиках квадратичной функции и применении квадратичной функции в жизни . Математика- это содержательное, увлекательное и доступное поле деятельности, дающее богатую пищу для ума. Свойства квадратичной функции лежат в основе решения квадратных неравенств. Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростью V0 V, находится в момент времени t на расстоянии s(t)=-q/2*t2+ V0 t от земной поверхности (здесь q- ускорение силы тяжести); Знания свойств квадратичной функции позволяют рассчитать дальность полета тела, брошенного вертикально вверх или под некоторым углом. Этим пользуются в оборонной промышленности. V0 Рефлексия Работая над проектом я 1.Обобщила знания по теме «Квадратичная функция, ее свойства и график». 2.Рассмотрела применение свойств функции при решении неравенств второй степени. 3.Выясненила роль квадратичной функции в окружающей нас жизни. 4.Для создания презентации использовала интернет ресурсы. 5.Опыт работы с единой коллекцией цифровых образовательных ресурсов помог мне в решении всех учебных вопросов по теме «Квадратичная функция, ее свойства и график».