2-ая летняя научная школа-семинар ТЕХНОЛОГИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ И БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОБ ОБОБЩЕННОМ ОБРАЩЕНИИ МАТРИЦ Ю.Р.Акопян Ереванский государственный университет, кафедра численного анализа и математического моделирования с. Цмакаох, НКР– 2015 1 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Для любой матрицы A Rnn , det A 0 матрица A1 такая, что существует единственная AA1 A1 A I Mатрицa A1 называется обратной к матрице A A11 A 1 12 A1 det A A1n A21 A22 A2 n An1 An 2 Ann где Aij есть алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 a1n xn a2 n xn b1 b2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn Mатрично-векторная запись системы: Ax b где a11 a A 21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n , ann x1 x x 2, xn b1 b b 2 bn Если det A 0 , то система имеет единственное решение x A1b 3 СИСТЕМЫ ЛАУ ОБЩЕГО ВИДА a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 a1n xn a2 n xn b1 b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm Mатрично-векторная запись системы: Ax b где a11 a A 21 am1 m<n a12 a22 am 2 a1n a2 n , amn m=n x1 x x 2 , xn b1 b b 2 bm m>n 4 СИСТЕМЫ ЛАУ ОБЩЕГО ВИДА ЯДРО И ОБРАЗ МАТРИЦЫ A Rmn ядро матрицы: образ матрицы: A : Rn Rm ker A x R n : Ax 0 R n im A z R m : x R n , Ax z R m dim (ker A) n r dim(im A) r r rank A Система Ax b совместна тогда и только тогда, когда b im A 5 ЯДРО И ОБРАЗ МАТРИЦЫ A im A ker A R 0 Rm n im A z R ker A x R n : Ax 0 R n m : x R n , Ax z R m 6 ЗАДАЧА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Система ЛАУ размера m n : Ax b ЗНК: найти x R n такой, что || Ax b || minn || Ax b || xR 2 || Ax b ||2 aij x j bi min i 1 j 1 m n НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЗНК: || Ax b || min AT Ax AT b Нормальная система совместна Нормальная система однозначно разрешима тогда и только тогда, когда rank A n , т.е. когда столбцы матрицы A линейно независимы x ( AT A)1 AT b 7 ПСЕВДООБРАТНАЯ МАТРИЦА Ax b (1) T T ЗНК: || Ax b || min A Ax A b (2) Любое решение нормальной системы (2) называется псевдорешением системы (1) Дополнительное условие: || x || min || Ax b || min || x || min T T A Ax A b || x || min (3) Решение задачи (3) называется нормальным псевдорешением системы (1) . Оно единственно. b Rm x Rn x Ab Матрица A Rnm называется псевдообратной матрицей для A 8 ПСЕВДООБРАТНАЯ МАТРИЦА A R n A+ Rm Если A - квадратная невырожденная матрица, то A A1 T 1 T Если rank A n , то A ( A A) A и A A I Если rank A m , то A AT ( AAT )1 и AA I 9 ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ O R mn aR a1 a a 2 an O OT 0, if a 0 a 1 a , if a 0 0T , if a 0 a 1 T a || a ||2 , if a 0 0T , if a 0 a a a a ... a 1 2 1 T n a || a ||2 , if a 0 10 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ ker A ker AT ( A ) A T (A ) (A ) ( A) A T T im A im A ОТНОСИТЕЛЬНО СВОЙСТВА ( AB) B A для обычного обращения: если A и B - невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка, то ( AB)1 B1 A1 для псевдообращения это свойство, вообще говоря, не имеет места, т.е. ( AB) B A 11 НЕМНОГО ИСТОРИИ: Eliakim Hastings Moore Элиаким Мур (1862-1932) – американский математик, член Национальной Академии наук США и Американского философского общества • Окончил Йельский университет, США (1883) • В Берлинском университете слушал лекции Л. Кронекера и К.Вейерштрасса (1884) • 1892-1931 гг. возглавлял факультет математики Чикагского университета (США) • Области научных интересов - общая алгебра, теория чисел, алгебраическая геометрия, интегральные уравнения E. Moore. On the reciprocal of the general algebraic matrix.Bulletin of the American Mathematical Society, 26, 1920, 394-395. 12 УРАВНЕНИЯ ПЕНРОУЗА R. Penrose. A generalized inverse for matrices.- Proceedings of the Cembridge philosophical Society, 51, 1955, 406-413. Теорема (Р.Пенроуз, 1955). Для произвольной матрицы A Rmn существует лишь одна матрица X Rnm , удовлетворяющая следующим четырем матричным уравнениям: AXA A , XAX X , ( AX )T AX , ( XA)T XA Оказалось, что этой единственной матрицей является матрица A ! Таким образом псевдообратная матрица A единственным образом определяется следующими четырмя условиями: AA A A , A AA A , ( AA )T AA , ( A A)T A A A - обобщенная обратная матрица Мура-Пенроуза 13 НЕМНОГО ИСТОРИИ: Roger Penrose Сэр Роджер Пенроуз (род. 1931) – английский ученый, работающий в различных областях математики, общей теории относительности и квантовой теории, член Лондонского Королевского общества. - обладатель премии Вольфа (1988, совместно со Стивеном Хокингом) - обладатель премии А.Эйнштейна (1990) • Окончил Кембриджский университет (1956) • В 1955, будучи студентом, переизобрел псевдообращение, известное сейчас как обращение Мура-Пенроуза • В 1958 защитил в Кембриджском университете ученую степень доктора философии • 1973-1988 возглавлял кафедру математики Оксфордского университета • В 1994, за выдающиеся заслуги в развитии науки, королевой Елизаветой II ему был присвоен рыцарский титул (сэр Роджер Пенроуз) 14 ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ: МОЗАИКА ПЕНРОУЗА В 1974г. Р.Пенроуз изобрел мозаику, позволяющую с помощью двух плиток простой формы (два ромба) замостить бесконечную плоскость никогда не повторяющимся узором В 1984г. подобные структуры были обнаружены в расположении атомов квазикристаллов Религия и математика: квазикристаллы Аллаха Мечеть Дарб-и-Имам, находящаяся на территории современного Ирана в провинции Исфаган и построенная в 1453 году, украшена узором, сильно напоминающим по своей структуре мозаику Пенроуза. 15 СИНГУЛЯРНЫЕ ЧИСЛА МАТРИЦЫ A Rmn , sp ( AT A): 1 2 AT A 0 r 0, r 1 n 0 r rank A i i ( A) i , 1 2 i 1, 2,..., r r 0 Свойства: • Сингулярные числа матриц A и AT совпадают • Если A AT, то i ( A) | i ( A) |, • Если A AT 0 , то i ( A) i ( A) , i 1, 2,..., r i 1, 2,..., r 16 СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ SVD - Singular Value Decomposition Теорема. Для любой матрицы A Rmn существуют ортогональные матрицы U R mm и V R nn такие, что 1 2 A U V , где 0 и 1 2 U 1 U T , r 0 R m n 0 r 0 - сингулярные числа матрицы A V 1 V T 17 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПСЕВДООБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ЧЕРЕЗ СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ Пусть A U V , где 1 2 0 r 0 R m n 0 есть сингулярное разложение матрицы A . Тогда A V T U T , где 11 1 2 0 r1 0 R n m 0 18 ДВА ПОЛЕЗНЫХ РАВЕНСТВА A lim ( AT A I ) 1 AT A lim AT ( AAT I )1 0 0 19 ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Ax b (1) T T ЗНК: || Ax b || min A Ax A b (2) Любое решение нормальной системы (2) называется псевдорешением системы (1) || Ax b || min || x || min T T A Ax A b || x || min (3) x A b Общее решение нормальной системы (2) записывается следующим образом: x Ab ( I A A)c , c Rn 20 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ Пусть A Rmn , QR РАЗЛОЖЕНИЯ rank A n Матрица A допускает представление A QR , где Q - матрица размера m n с ортонормированными столбцами R - верхняя треугольная матрица размера n n с положительными диагональными элементами Тогда A R1QT 21 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СКЕЛЕТНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ Пусть A Rmn , rank A r Скелетное разложение матрицы A : A BC , где B Rmr , C Rrn Тогда A C B , где B ( BT B)1 BT C CT (CCT )1 22 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ МЕТОД ГРЕВИЛЯ Пусть A Rmn , rank A r Идея метода заключается в последовательном псевдообращении матриц A1 , A2 ,..., An A где Aj ( j 1, 2,..., n) есть матрица, составленная из первых столбцов исходной матрицы A . A1 , A2 ,..., An A Замечание. В процессе численной реализации как метода, основанного на скелетном разложении матрицы, так и метода Гревиля возникает задача определения ранга матрицы. Однако с учетом неизбежного накопления вычислительных погрешностей ранг не всегда может быть указан точно. И это может привести к существенному искажению результата. 23 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ A V T U T A U V 1 2 0 r 0 R m n 0 11 1 2 0 r1 0 R n m 0 Замечание. Возникает проблема: какие из вычисленных малых сингулярных чисел в действительности являются нулями ? Пример : 0 1 A 6 0 10 1 B 0 0 0 A 1 0 1 6 0 10 1 B 0 0 0 24 ЛИТЕРАТУРА • Ben-Israel A. and T. Greville. Generalized Inverses: Theory and Applications, 2nd ed.- Springer, New York, 2003. • Rao C.R. and S.K. Mitra. Generalized Inverses of Matrices and its Applications.- Wiley, New York, 1971. • Golub G.H. and Ch. van Loan. Matrix Computations, 3rd ed.- The Johns Hopkins University Press, 1996. • Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание.- М., Наука, 1977. • Лоусон Ч., Р.Хенсон. Численное решение задач метода наименьших квадратов.- М., Наука, 1986. 25 И В ЗАКЛЮЧЕНИЕ… НЕМНОГО МАГИИ 26 МАГИЧЕСКИЕ И ПОЛУМАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ Магический квадрат – это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обоих диагоналях одинакова. 16 3 2 13 5 10 11 8 Магический квадрат на гравюре А.Дюрера “Меланхолия”, 1514 г. 9 6 7 12 4 15 14 1 Полумагический квадрат – квадратная таблица, в которой сумма чисел в каждой строке и каждом столбце одинакова. 3 8 9 12 14 7 2 3 11 10 1 6 4 1 16 5 27 ПОЛУМАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ОБРАЩЕНИЕ И ПСЕВДООБРАЩЕНИЕ N.A. Khan. Characteristic roots of semi-magic square matrices.American Mathematical Monthly, v.64, 1957, 261-263. Если матрица A есть невырожденный полумагический квадрат с магической суммой s , то A1 - также полумагический квардат с магической суммой s 1 . K. Schmidt and G. Trenkler. The Moore-Penrose inverse of a semi-magic square is semi-magic.- International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, v.32, No. 4, 2007, 624-629. Если матрица A - полумагический квадрат с магической суммой s , то A также полумагический квардат с магической суммой s . 28 МАГИЧЕСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ Yu.R. Hakopian, A.N. Eloyan and D.E. Khachatryan. About magic rectangles.- International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, v.37, No. 4, 2006, 475-503. Рассматривается матрица размера m n : a11 a A 21 am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n , amn ! Соотношение: mr nc n aij r , i 1, 2,..., m j 1 m aij c , j 1, 2,..., n i 1 1 0 5 A , r 6, c 4 3 4 1 Множество магических прямоугольников: MR (m, n ; r , c) Теорема. Если A MR (m, n ; r , c), то A MR (n, m; r , c ) 29 БЛОЧНО-МАГИЧЕСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ Рассматриваются матрицы размера m n , представленные в блочном виде A11 A 21 A Ap1 Aij MR (mi , n j ; rij , cij ) i 1, 2,..., p ; j 1, 2,..., q A1q A2 q , Apq A12 A22 Ap 2 p mi m, i 1 q nj n j 1 Множество блочно-магических прямоугольников: BMR ( M , N ; R, C ), где m1 M r11 r 21 R rp1 m2 0 r12 r22 rp 2 0 , m p n1 N r1q r2 q , rpq c11 c 21 C c p1 n2 0 c12 c22 cp2 0 nq c1q c2 q c pq 30 БЛОЧНО-МАГИЧЕСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ ОБРАЩЕНИЕ МУРА-ПЕНРОУЗА Yu.R. Hakopian and A.N. Eloyan. The Moore-Penrose inverse of block magic rectangles.- International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, v.38, No. 8, 2007, 1093-1123. Теорема. Если где A BMR (M , N ; R, C ), то A BMR ( N , M ; R, C), R N 1/2 (M 1/2 RN 1/2 ) M 1/2 , C N1/2 (M 1/2CN1/2 ) M 1/2 Следствие. B B B B A B B B B B B 1 B A pq B B B B B B B 31 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !