Урок 5 Выборка с возвращением и без возвращения. Упорядоченные выборки Все множество изучаемых объектов называется генеральной совокупностью(г.с.). Число элементов г.с. n - объем выборки. Любое множество объектов, случайно выбранных из г.с. – случайная выборка. Число элементов m выборки – объем выборки. Определение. Пусть {a1,a2,…,an} – множество из n элементов или г.с. Упорядоченной выборкой объема m из данной г.с. называется любое упорядоченное подмножество из m его элементов. Пусть элементы выборки выбираются один за другим. Возможны два варианта. 1) Выборка с возвращением. Такие выборки – упорядоченные множества, в которых допускаются повторения. 2) Выборка без возвращения. Здесь элемент, выбранный однажды, исключается из г.с. Такие выборки – упорядоченные множества без повторений. (m ≤ n). 1. Схема выбора без возвращения. А) Пусть опыт состоит в выборе m элементов без возвращения и без упорядочивания. Тогда различными исходами следует считать m элементные подмножества исходного множества, имеющие различный состав. Общее число элементарных исходов при этом равно n! C m !(n m)! m n Б) Пусть опыт состоит в выборе m элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора. Тогда различными исходами будут упорядоченные m - элементные подмножества исходного множества, отличающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования. Общее число элементарных исходов при этом равно Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1) 2. Схема выбора с возвращением. А) Пусть опыт состоит в выборе m элементов с возвращением, но без упорядочивания. Тогда различными исходами следует считать m элементные подмножества исходного множества, отличающиеся составом. Но при этом различные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Общее число элементарных исходов при этом равно Cnm m 1 Б) Пусть опыт состоит в выборе m элементов с возвращением и с упорядочиванием их в последовательную цепочку. Тогда различными исходами будут упорядоченные m элементные подмножества ( с повторениями) исходного множества, отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования. Общее число элементарных исходов при этом равно nm Пример. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартные. Решение. Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь m деталей из N деталей, то есть C Nm - числу сочетаний из N элементов по m. Найдем число благоприятных исходов. Нам надо выбрать k стандартных деталей из n стандартных Cnk способами, при этом остальные m-k деталей должны быть нестандартными. Выбрать же m-k нестандартных деталей из N- m деталей можно C Nmnk способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно Тогда Cnk CNmnk p( A) Cnk CNmnk / CNm Правило сложения вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Пример 1. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна 0,3 , а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков? Решение. Событие А «выбить не менее 9 очков» является объединением событий В – «выбить 10 очков» и С – «выбить 9 очков». При этом события В и С несовместны ,так как нельзя одним выстрелом выбить и 9 и 10 очков. Поэтому по теореме 1 имеем: P( A) P( B) P(C ) 0,3 0,6 0,9. Пример 2. В цехе работают несколько станков. Вероятность того, что за смену потребует наладки ровно один станок , равна 0.2. Вероятность того, что за смену потребуют наладки ровно два станка, равна 0,13. Вероятность того, что за смену потребуют наладки больше двух станков , равна 0.07. Какова вероятность того, что за смену придется проводить наладку станков? Решение. В этом примере опыт состоит в том, что прошла смена и отмечено, сколько станков за эту смену потребовало наладки. В этом опыте события : А-«за смену потребовал наладки ровно один станок», В- «за смену потребовали наладки ровно два станка», и С- « за смену потребовали наладки более двух станков» несовместимы. Нас же интересует вероятность события A B C P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) 0, 2 0,13 0, 07 0, 4. Вероятность противоположного события. P( A ) 1 P( A). Пример. Берется наудачу трехзначное натуральное число от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают? Решение. Опыт здесь состоит в том, что наудачу выбирается число от 100 дл 999 и смотрят , есть ли у него совпадающие цифры. События «взяли наудачу число N» (N =100, 101, …, 999) равновероятны (в этом смысл слова «наудачу») и образуют множество исходов этого опыта. Число исходов n=900. Нас интересует событие А – « у выбранного числа совпадают хотя бы две цифры». Проще , однако , подсчитать вероятность противоположного события Ā - « у выбранного числа все цифры различны». Каждое такое число есть размещение без повторений из 10 цифр по 3, не имеющих первым элементом нуль. Следовательно, m A A 10 9 8 9 8 9 8 3 10 2 9 2 ( из числа всех трехэлементных размещений без повторений надо вычесть число тех, у которых на первом месте стоит нуль) и 92 8 P( A ) 0,72. 900 Тогда P( A) 1 P( A ) 0,28.