Электронное пособие «Замечательные задачи великих математиков» Москва, Государственное образовательное

Москва, Государственное образовательное
учреждение
Средняя общеобразовательная школа №1021
2012г.
Электронное пособие
«Замечательные задачи великих
математиков»
УЧЕБНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
Руководитель:
Антипова Елена Ивановна, учитель математики
Авторы проекта: 5 класс
Карл Фридрих Гаусс
Задача для Гаусса
«Найти сумму
натуральных чисел от 1 до
100».
Не успел учитель написать её
условие, как маленький Гаусс сказал:«А я
уже ее решил!» «Как ты сосчитал?» удивленно спросил учитель.
«Очень просто, - ответил мальчик. – Я
сложил 1 и 100; 2 и 99….; 50 и 51. Везде получается 101,
значит надо сложить 50 слагаемых по 101, т.е. 50 х 101. А
это равно 5050»
Задача 1
Вычислите:
(2 + 4 + 6 +….. + 2006) – (1 + 3 + 5 + …… + 2005)
Решение
Перепишем наше числовое выражение
(2 – 1) + (4 – 3) + (6 – 5) + …. + (2006 – 2005) = 1 ∙ 1003 = 1003
1003
Примечание: числа в скобках взяты такими, чтобы яснее
продемонстрировать метод Гаусса в вычислениях.
Задача 2
Задача давалась на олимпиаде в Польше:
«В универмаг принесли 10 чемоданов и конверт с 10
ключами от этих чемоданов. Каждый ключ открывает
один чемодан. Продавцу приказали найти к каждому
чемодану свой ключ. Он отказался, сказав: «Не буду я сто
раз подбирать ключи!». Сколько попыток необходимо,
Чтобы подобрать ко всем чемоданам ключи?
Решение
В худшем случае на первый чемодан потребуется 10 проб,
на второй – 9 проб и т.д. Можем записать:
10 + 9 + 8 + ….. + 2 + 1 = 11 * 5 = 55 проб
Продавец был не прав. Понадобится в неблагоприятной
ситуации 55 проб.
Задача 3
Задача из книги Фаркова А.В. «Математические кружки в
школе». Изд. Москва 2007 г.
Нами задача изменена, т.к. сокращение дробей ещё не
изучалось.
Вычислить:
2004 * 45 + 55 * 2004
=
2004 - 2003 + 2002 – 2001 + … + 2 – 1
в знаменателе будет 1002 пары слагаемых, каждое равное
1
= 2004 * 45 + 55 * 2004 =
1 * 1002
выносим 2004 в числителе
= 2004 (55 + 45) = 200400 = 200.
1002
1002
Задача 4
Из книги И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевакин «Задачи на смекалку 5-6» изд.
Просвещение 2007 г.
Выписали все натуральные числа от 1 до 99 без промежутков,
получилось огромное число:
1234567891011…….9596979899.
Делится ли это число на 9?
Решение
Прежде заметим: Натуральное число делится на 9, если «сумма его
цифр делится на 9».
Найдем сумму цифр нашего числа.
1 будет встречаться в нашем числе 20 раз:
от 1 до 9 – 1 раз
от 10 до 19 – 11 раз
и в остальных до 99 единица будет встречаться 8 раз. Итого: 20 раз.
Кроме 0, но он на сумму не влияет. Тогда
 = 20* (1+2+…+9) = 20*45 = 900., 900 делится на 9.
Следовательно, наше огромное число будет делится на 9.
Симеон Дени Пуассон
«В сосуде 12 пинт (старинная мера объема)
оливкового масла. Как разделить это количество
напополам, имея сосуды, вместимостью 8 и 5
пинт?»
Я решил эту задачу. Мне понадобилось 10
переливаний. Вот мое решение.
Переливание
Сосуды 0
12
пинт
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
12 4
-
8
8
3
3 11 11 6
6
8 пинт
-
8
8
-
4
4
8
-
1
1
6
5 пинт
-
-
4
4
-
5
1
1
-
5
-
Переливание
Сосуды
0
1
2
3
4
5
6
7
12 пинт 12
8 пинт 5 пинт -
4
4
9
9
1
1
6
8
3
3
-
8
6
6
-
5
-
3
3
5
0
Пуассон
решил эту
задачу за 7
переливаний.
Очень
красивое
решение!
Дирихле Петер Густав Лежен
Принцип Дирихле
Принцип Дирихле- утверждение, сформулированное немецким
математиком Дирихле.
Принцип устанавливает связь между объектами («кроликами») и
контейнерами («клетками») при выполнении определенных условий.
Принцип Дирихле гласит:
Пусть в N клетках сидит не меньше, чем N+1 кроликов. Тогда
найдется клетка, в которой сидит не меньше двух кроликов.
Это утверждение помогает в решении самых разных задач .Главное понять, что в данной задаче - клетки, а что - кролики. Применим этот
принцип в задачах.
Задача 1
В классе 15 учеников. Найдется ли месяц, в котором
отмечают свои дни рождения не меньше, чем 2 ученика
этого класса?
Решение
Всего в году 12 месяцев, а учеников – 15. Здесь «кролики» это ученики, а «клетки» - месяцы.15>12 , значит найдется
не менее двух учеников, отмечающих свой день
рождения в одном месяце, т.е. в одной «клетке» будет не
менее двух «кроликов»
Задача2
В ковре размером 4х4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из
него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащей
внутри себя дырок.
(Дырки считаются точечными)
AB=CD=BC=AD=4 м.
Пунктиром обозначены линии разрезов. Разрежем
ковер тремя вертикальными и тремя
горизонтальными разрезами на 16 одинаковых
ковриков размером 1 х 1 метр. Т.к. 16 > 15 , то
один из ковриков будет без дыр. Что
требовалось доказать. Здесь коврики – «клетки»
, а дырки – «кролики». Поэтому одна «клетка»
будет пустой – без «кролика».
Геометрические задачи
Разрезы
Задача 1
Незнайка начертил три прямых линии и отметил на них
шесть точек. Оказалось, что на каждой прямой он
отметил три точки. Покажите, как он это сделал.
Решение
I способ
II способ
Задача 2
Имеется подкова. Разделите подкову на шесть частей
двумя прямыми линиями.
3
2
1
4
5
6
Задача 3
Разрезать торт тремя простыми прямыми на семь частей
так, чтоб в каждой части была розочка.
(см.на рис.)
?
Задача 4
Разрежьте фигуру на две части, одинаковый по форме и
размеру.
Решение
Проводим ломаную AB и получаем две
одинаковые фигуры.
А
В
Задача 5
Разрежьте каждую из фигур на две одинаковые по форме.
Решение
а) проводим ломаную линию
б) проводим ломаную линию