Для полноты картины ещё раз напомню постановку задачи. Рассматривается последовательность чисел, построенная по следующему принципу: каждое следующее число, начиная с третьего, образуется вычитанием предыдущего из предыдущего предыдущему. С точки зрения математики это записывается в виде соотношения, которое называется рекуррентным, а сама последовательность – возвратной или рекуррентной: 𝑎(𝑛) = 𝑎(𝑛 − 2) − 𝑎(𝑛 − 1). Для «разгона» такой последовательности необходимо задать начальные условия, то есть задать значения нескольких первых её членов. У такой последовательности есть ещё ряд характеристик. 1. Порядок последовательности – число предшествующих элементов, необходимых для определения текущего элемента. В данном случае задействовано только два элемента, поэтому эта последовательность второго порядка. Нужно отметить, что порядок определяется не просто количеством явно присутствующих предыдущих элементов, а разностью номера текущего элемента и минимальным из всех предыдущих номеров. Например, последовательность, заданная рекуррентным соотношением: 𝑎(𝑛) = 5𝑎(𝑛 − 1) + 9𝑎(𝑛 − 4) есть последовательность четвертого порядка: 𝑛 − (𝑛 − 4) = 4. Количество начальных элементов, необходимых для «разгона» последовательности, равно порядку последовательности. В нашем случае необходимо задать два первых её члена - 𝑎(1) и 𝑎(2). 2. Зависимость коэффициентов при членах последовательности от номера 𝑛. В нашем случае ни один коэффициент от номера не зависит. Это последовательность с постоянными коэффициентами. 1 3. Функциональная зависимость, представляющая члены последовательности. В данном случае все члены последовательности представлены своей первой степенью – это линейная последовательность. Последовательность 𝑎(𝑛) = 3𝑛𝑎(𝑛 − 1) − 𝑛2 [𝑎(𝑛 − 3)]4 Есть нелинейная возвратная последовательность третьего порядка с переменными коэффициентами. 4. Присутствие вместе с членами самой последовательности «посторонних» элементов. Например: 𝑎(𝑛) = 𝑎(𝑛 − 1) + 2𝑛 − 1. Такая последовательность называется неоднородной (в данном случае – линейной первого порядка с постоянными коэффициентами). 5. Наиболее общим видом линейной неоднородной последовательности второго порядка с переменными коэффициентами является последовательность вида: 𝐴(𝑛)𝑎(𝑛) + 𝐵(𝑛)𝑎(𝑛 − 1) + 𝐶(𝑛)𝑎(𝑛 − 2) = 𝐷(𝑛). Здесь все функции A, B, C и D считаются известными. В нашем конкретном случае: 𝐴(𝑛) = 1, 𝐵(𝑛) = 1, 𝐶(𝑛) = −1, 𝐷(𝑛) = 0. Теория работы с такими рекуррентными последовательностями хорошо известна – это теория линейных конечно-разностных уравнений, дискретный аналог теории линейных дифференциальных уравнений. Любое линейное конечно-разностное всегда имеет единственное решение, полностью определяемое начальными условиями. Алгоритм нахождения таких решений также хорошо известен. После этого небольшого введения вернемся к задаче в таком виде, в каком формулирует её автор. 2 Для уравнения 𝑎(𝑛) = 𝑎(𝑛 − 2) − 𝑎(𝑛 − 1) найти 𝑎 − такое второе начальное условие 𝑎(1) = 1, 𝑎(2) = 𝑎, при котором все члены последовательности будут положительными числами. Нетрудно заметить, что рассматриваемая последовательность имеет вид: 1, 𝑎, 1 − 𝑎, 2𝑎 − 1, 2 − 3𝑎, 5𝑎 − 3, 5 − 8𝑎, 13𝑎 − 8, 13 − 21𝑎, 34𝑎 − 21, …. Что дальше делает автор? Он выбирает в качестве второго члена последовательности такое число, какое является одним из корней характеристического уравнения для данной последовательности: 𝑎(2) = 𝑎 = √5 − 1⁄2 При этом последовательность, выросшая из таких начальных условий, с очевидностью превращается в геометрическую прогрессию со знаменателем √5 − 1⁄ 2 и автоматически удовлетворяет поставленным условиям положительности. На этой стадии в принципе никаких вопросов нет. Далее рассматривается вопрос единственности найденного решения. С этим согласиться не могу. Во-первых, единственность решения с заданными начальными условиями известна и доказательства не требует. Во-вторых, речь идет не о том, чтобы показать единственность решения с заданным значением второго коэффициента, в данном случае √5 − 1⁄2, а в том, чтобы показать единственность самого этого значения, при котором только и получается положительность всех членов последовательности. Приведенное доказательство этой цели не достигает. 3