Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г. Ларионов В.В. Фазовые портреты
реклама
Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г. Ларионов В.В. Фазовые портреты Как изменяется характер движения при изменении функции F(r,v) Если сила постоянная, то решение обратной задачи кинематики производят простейшим образом. Из 2-го закона Ньютона ускорение a = F/m, но a=dV/dt. Подставляя получаем, dV=(F/m)dt, m = const. Интегрируем v t F dv dt v 0 m 0 F v v0 t m В векторном виде dr F v dr v dt dr (v v0 t )dt dt m Интегрирование уравнения по dr позволяет найти изменение радиуса-вектора. Если сила пропорциональна смещению (например, сила упругости), то получаем колебательное движение. Рассмотрим частный случай одномерного движения, которое происходит под действием квазиупругой силы F= -kx, где х – изменение длины пружины (r=x). Направление движения F=-kx m x Уравнение движения имеет следующий вид: mx kx Так обозначено ускорение Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. k 2 x x x 0 x 0 0 k / m m Его решение известно из курса средней школы и имеет вид (это уравнение колебательного движения): x A cos(0t ) А- амплитуда колебаний, ω0 - циклическая частота, φ-начальная фаза. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ Итак смещение точки при колебательном движении имеет вид: x A cos(0t ) Найдем ее скорость dx v 0 A sin( 0t ) dt И импульс p mv m0 A sin( 0t ) Преобразуем уравнения в виде x cos(0t ) A p A0 sin( 0t ) Возведем в квадрат и сложим x 2 p 2 ( ) ( ) 1 A A0 Полученное уравнение – эллипс или окружность носит название - фазовый портрет колебательного движения частицы P(x) A0 x A Площадь эллипса равна равна произведению его полуосей и можно доказать, что это энергия Е колебательного движения за один период, деленная на частоту 2 / 0 S pdx E - линейная частота колебаний Фазовый портрет гармонических колебаний Фазовый портрет при наличии затухания Третий закон Ньютона Третий закон утверждает: если тело 1 действует на тело 2 с силой F1, то в свою очередь тело 1 обязательно действует на тело 2 с силой F2, равной по величине и противоположной по знаку силе F1; обе силы направлены вдоль одной прямой. Третий закон отражает тот факт, что сила есть результат взаимодействия двух различных тел. F1 1 F2 2 3-ий закон говорит о том, откуда берется сила во 2-ом законе Закон сохранения импульса Из 3-его закона Ньютона, как следствие, можно получить закон сохранения импульса. Пусть имеем замкнутую систему тел 1 и 2. F1 1 F2 2 Запишем третий закон Ньютона. F1 F2 С учетом 2-го закона, имеем: dp1 d p 2 F1 F2 dt dt Тогда: dp1 dp2 0 dt dt Или d ( p1 p2 ) 0 dt Т.е. после интегрирования, получаем: ( p1 p2 ) const В замкнутой системе двух тел их импульс есть величина постоянная. Этот результат может быть распространен на любое число N тел N i 1 pi const Закон сохранения импульса выполняется для замкнутой системы тел. Система считается замкнутой, если внешнее воздействие отсутствует или мало по сравнению с внутренними силами. Работа и энергия Работой А называют интеграл от точки 1 по криволинейной траектории до точки 2 (под интегралом – векторы) 2 Fdr А12= 2 1 1 F Кинетическая энергия Рассмотрим частицу массой m, на которую действует некоторая сила F. Вычислим работу данной силы при движении частицы (тела) по некоторой траектории от 1 до 2. 2 По определению А12= Fdr 1 Fdr = dp dt dr = m dv dt dr = mvdv но dr/dt =v. В классической механике m=const, т.е. массу можно вынести за знак интеграла. Этот интеграл равен mV22/2 – mV12/2 =ΔEk Из формулы видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия есть функция состояния ее движения. Кинетическая энергия в релятивистском случае Если масса зависит от скорости, то ее величину нельзя вынести за знак интеграла. Преобразуем данную формулу (т.е. возведем в квадрат и раскроем скобки, введем импульс) (1) c2m2-p2 = m02c2 ,т.к. p= mv Продифференцируем формулу (1) 2c2mdm – 2pdp =0. Сократим на 2. c2mdm = pdp, или c2dm = pdp/m Вычисляем работу, помня, что Fdr = mv dv=p(dv m)/m= (p dp)/m. Следовательно, А12= Получили элементарный интеграл, который равен С2(m2 – m1). Если частица стартовала с массой покоя m0 , то индекс 1 заменяем на 0, а m2 становится текущей, т.е получаем С2(m – m0). Величина С2 m0 называется энергией покоя. Кинетическая энергия равна Ek = С2m - С2 m0. Ek + m0 С2 = С2 m = E – полная энергия!!! m0 – масса покоя частицы Потенциальная энергия. Консервативные силы Есть силы, для которых выполняется условие B B B A A A F, d r F, d r F, d r Путь 1 Путь 2 Путь 3 Рис. Рис. Такие силы называют консервативными и для сил, обладающих таким свойством, интеграл называют потенциальной энергией и обозначают буквой U: U F, dr Потенциальную энергию можно представить себе как энергию, запасенную для дальнейшего использования. Во многих случаях ее можно преобразовать в другие полезные формы энергии. Закон сохранения импульса, наряду с законом сохранения энергии, составляют систему двух линейных уравнений и применяется для анализа физических систем, когда учет всех сил затруднен. Например, при соударениях частиц (шаров), при расчете движения протонов в БАК (ЦЕРН, Швейцария). Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г. Лекция № 4 Момент силы Моментом силы F относительно произвольной оси называется векторное произведение радиусавектора r на вектор силы F. Радиус-вектор r и сила F лежат в одной плоскости, перпендикулярной оси вращения частицы m. M =[r,F] = - [F,r] Вектор М направлен вдоль оси вращения по правилу векторного произведения или правилу правого буравчика. Скалярное значение момента силы равно M =r F sin α Схема векторов z M β r F α Момент импульса Понятие момента импульса вводится аналогично понятию момента силы. Моментом импульса L частицы массы m называется векторное произведение радиуса-вектора r на вектор импульса частицы p L = [r,p] = - [p,r]. Вектор направлен по оси вращения по правилу векторного произведения и правилу правого буравчика. Его скаляр равен L=rpsin α Схема векторов для определения момента импульса Рассмотрим ось, произвольно ориентированную в пространстве, вокруг которой вращается частица с импульсом Р. z Lz L β r P α Момент силы и момент импульса связаны между собой следующим образом dL/dt = M Если система замкнута, или силы действуют вдоль оси, что также означает отсутствие момента силы, то dL/dt = 0 или L = const. Мы доказали, что если на тело действует центральная сила любого происхождения, или система замкнута, то момент импульса этого тела будет сохраняться. Для твердого тела момент импульса вычисляется следующим образом L= I I - момент инерции твердого тела – аналог массы для вращательного движения I r 2 dm dm r Ось вращения Моменты инерции некоторых тел Материальной точки Диска - 1 I mR 2 2 Шара - I 2 mR 2 5 I mr 2 Три фундаментальных закона механики (закон сохранения импульса, энергии и момента импульса имеют общефизическое значение и применяются во всех других областях физики, включая атомную и ядерную) Специальная теория относительности Механика Ньютона (называемая также классической) неверна при скоростях движения тел, близких к скорости света (v с). Теория для случая v с называется релятивистской механикой или специальной теорией относительности. Классический закон сложения скоростей по Галилею: y K y’ K’ V0 x x’ V0t 0 K Частица м K′ 0’ Из простого сложения отрезков находим X= X′ + V0t, и взяв производную по времени получаем ′ x,x’ vx = v x + v0 Скорость света по формуле Галилея равна сR = сV0, т.е. может быть различной в разных системах отсчета Постулаты Эйнштейна: 1. Скорость света в вакууме постоянна во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника и наблюдателя. 2. Все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны (принцип относительности Эйнштейна). Закон сложения скоростей в теории относительности (при больших скоростях) имеет вид Vx v x V v xV 1 2 c При малых скоростях (V<<c) этот закон принимает вид классического закона Галилея Связь координат имеет вид x x vt 1 v / c 2 2 , x x vt 1 v / c 2 2 , Сокращение длины по теории Эйнштейна l l0 1 β l0 2 Замедление времени T 1 2 Тема: ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА В газах и жидкостях большое число сталкивающихся атомов и молекул обуславливает важные закономерности в поведении статистических переменных, не свойственные отдельным атомам и молекулам. Такие закономерности называются вероятностными или статистическими. Если ограничиться случаем теплового равновесия в физических системах, то мы будем иметь дело со статистической статистической механикой. физикой или Статистическая физика позволяет решить принципиальные вопросы, связанные с описания детализацией большой совокупности атомов и молекул. Это вопросы касаются распределения атомов и молекул идеального газа по скоростям и по энергиям, распределения атомов и молекул в пространстве, где на них действуют силы, и от точки к точке меняется их потенциальная энергия. Распределение молекул по скоростям. Распределение Максвелла Пусть у нас имеется N тождественных атомных частиц, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. В результате каждого акта столкновения молекул их скорости меняются случайным образом. В процессе большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным. Функция распределения Максвелла F(v) по абсолютным значениям скоростей 1 dN m F (v ) 4 N dv 2kT 3/ 2 mv 2 2 2 kT v e Позволяет определить долю молекул dN N = F(v) Δv, имеющих скорости в интервале от v до v + Δv На рис. показана зависимость F(v) при различных температурах. Рис. dN N Величина площадки под кривой – это доля молекул, обладающих скоростями от v до v + Δv Наиболее вероятная, средне квадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа 2kТ υв m Скорость, соответствующая максимуму распределения есть наиболее вероятная скорость – для одной молекулы. Средняя квадратичная скорость равна 3kТ υкв m Средняя арифметическая скорость 8kТ υср m Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г. Лекция № 5 Следствия из распределения Максвелла Из распределения Максвелла следует, что средняя кинетическая энергия молекулы массой m идеального газа равна 3kТ υкв m 1 2 3 mυ кв kT 2 2 mυ 2 кв 3kT средняя кинетическая энергия молекулы, состоящей из одного атома Если молекула состоит из 2 и более атомов, то энергия равна i kT 2 I - число степеней свободы, k-постоянная Больцмана Энергия моля (киломоля) газа Чтобы получить полную кинетическую (внутреннюю) энергию моля газа U надо умножить среднюю энергию одной молекулы на число молекул (например, число Авогадро) N 6,02 10 23 1/моль i i U N NkT RT 2 2 R - универсальная газовая постоянная Распределение Больцмана Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле, в условиях теплового равновесия n(x) = n0exp[U(x)/kT]. Это соотношение называется распределения Больцмана или распределением Больцмана. законом просто Условно это можно изобразить так: Uk U2 U1 В однородном поле тяжести, если перейти к давлению, формула преобразуется к виду P(x) = P0exp[gx/RT], где молярная масса газа, P0 давление при x = 0 (например, на поверхности Земли). Полученное соотношение носит название барометрической формулы. ИДЕАЛЬНЫЙ И РЕАЛЬНЫЙ ГАЗЫ Идеальный газ -радиус взаимодействия двух молекул много меньше среднего расстояния между ними, т.е молекулы взаимодействуют только при столкновениях (рис. 1.1). - объем всех молекул газа много меньше объема, занятого газом. - потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю Реальный газ радиус взаимодействия двух молекул сравним с средним расстоянием между ними, т.е молекулы могут взаимодействовать не только при столкновениях, но и на некотором расстоянии между ними – собственный объем молекул газа может быть сравним с объемом газа (сосуда. Уравнения состояния для газов Уравнение состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона) ( P )(V ) m RT Уравнение состояния реального газа (Вандер-Ваальса) a ( P 2 )(V b) RT V a, b – постоянные Ван-дер Ваальса, учитывающие взаимодействие и собственный объем молекул газа, соответственно. Основное отличие состоит в следующем: 1) количественное – по виду уравнений; 2) качественное – состоит в том, что реальный газ может быть сжижен, идеальный газ перевести в жидкость нельзя. ГЛАВНЫЕ СЛОВА: Термодинамика дает полное количественное описание обратимых процессов. Для необратимых указывает направление их протекания. Первое начало термодинамики Первое начало термодинамики есть закон сохранения энергии для макроскопических явлений, в которых одним из существенных параметров, определяющих состояние тел, является температура. Закон сохранения энергии для систем, в которых существенную роль играют тепловые процессы, или первое начало термодинамики записывается в виде Q = dU + A или Q = dU + PdV. dU=CvdT; dQ=CpdT; dA = PdV В формулах приняты следующие обозначения: dU-изменение внутренней энергии газа; Cv-теплоемкость газа при постоянном объеме V, Cp – теплоемкость газа при постоянном давлении P. Теплоемкость- это количество теплоты, необходимое для нагревания одного моля газа на 1 градус. dQ С dT Циклы или круговые процессы Цикл Карно (обратимый). Никола Леонард Сади КАРНО –французский офицер инженерных войск в 1824 г. показал, что работу можно получить в случае, когда тепло переходит от нагретого тела к более холодному (второе начало термодинамики). Ввел понятие кругового и обратимого процессов, идеального цикла тепловых машин, заложил тем самым основы их теории. Первое начало термодинамики не может указать направление развития процесса. Этот закон позволяет указать, как изменяются термодинамические величины в процессе. Направление развития процессов описывается вторым началом термодинамики . Цикл Карно Идеальный цикл Карно состоит из 2-х изотерм и 2-х адиабат. Газ получает тепло Q1 при изотермическом расширении (T1) и отдает Q2 при изотермическом сжатии (но при более низкой температуре T2). Рис. Для обратимого цикла Карно ηобр Т1 Т 2 Т2 1 . Т1 Т1 Для необратимого цикла Т 2 ΔТ Т2 ηнеобр 1 1 . Т 1 ΔТ Т1 Т.е всегда ηобр > ηнеобр – этот вывод справедлив независимо от причин необратимости цикла Карно. η – это коэффициент полезного действия Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса Q2 A Q1 Q2 η 1 . Q1 Q1 Q1 Все термодинамические процессы, в том числе и круговые, делят на две группы: обратимые и необратимые. Процесс называют обратимым, если он протекает таким образом, что после окончания процесса он может быть проведен в обратном направлении через все те же промежуточные состояния, что и прямой процесс. После проведения кругового обратимого процесса никаких изменений в среде, окружающей систему, не произойдет. Процесс называется необратимым, если он протекает так, что после его окончания систему нельзя вернуть в начальное состояние через прежние промежуточные состояния. Нельзя осуществить необратимый круговой процесс, чтобы нигде в окружающей среде не осталось никаких изменений. Например, обратимым можно считать процесс адиабатического расширения или сжатия газа. При адиабатическом процессе условие теплоизолированности системы исключает непосредственный теплообмен между системой и Функция состояния, дифференциал которой dQ , T называется – энтропией. dQ – элементарное тепло, полученное (отданное) газом при температуре газа Т Энтропия обозначается S – это отношение полученной или отданной теплоты к температуре при которой произошла эта отдача. С ее помощью определяют направление процесса dQ dS T Задание на дом Найти изменение энтропии при переходе газа из состояния T1V 1 в T2V2 (все величины известны) dQ dS T Q P T1 dQ T2 RT dQ dU PdV CV dT PdV P V S2 V1 V2 V dS S S1 2 S1 Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г. Лекция № 6 Тема: Заряд и его свойства, закон Кулона КУЛОН Шарль Огюстен (14.6.1736 – 23.8.1806) – (Couloumb) французский физик и военный инженер. Сформулировал законы трения, качения и скольжения. Установил законы упругого кручения. В 1725 г., построил прибор для измерения силы – крутильные весы. В 1725 году Кулон открыл закон, названный в последствии его именем. Раньше ожидали, этот закон должен быть похож на закон всемирного тяготения. Так оно и оказалось, только величина сил разная: если передать 1% электронов от одного человека к другому, то сила взаимодействия между ними на расстоянии вытянутой руки будет больше веса земного шара. (Ранее крутильные весы изобрел Кавендиш и на 10 лет раньше Кулона он Макроскопические носители зарядов. Кварки. Заряженные частицы и ионы, q=1,6021892*10-19Кл. mе = 9,1*10-31кг. 4πr2ρ 4πr2ρ Нейтрон. Протон. 0 0,5 r 1 Рис. 1. 1,5 r+dr r,10-15м 0 0,5 1 1,5 r,10-15м Рис. 2. 7
