Формула полной вероятности. Формула Бейеса 1 Терминология Допустим, что об условиях опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез): H1,H2,…,Hn, где Hi Hj = Ø, i ≠ j n H i 1 i Hi – несовместные, образующие полную группу события. 2 Формула полной вероятности Заданы условные вероятности события А, при каждой из гипотез P(A׀H1),…,P(A׀Hn). Событие А может появиться только вместе с одной из гипотез. Найдем вероятность события А. A= H1A +H2A + …+ HnA , HiA – несовместные n события, значит P( A) P( H i A) , i 1 P(HiA) = P(Hi)∙P(A׀Hi) n Отсюда P( A) P( H i )P( A | H i ) i 1 полной вероятности – формула 3 Формула полной вероятности Применяется, когда опыт со случайными исходами распадается на два случая: розыгрыш условий опыта розыгрыш результата 4 Пример1 Имеются два одинаковых ящика с карандашами. В 1-ом ящике – 2 зеленых и 1 синий карандаш, во 2-ом – 1 зеленый и 3 синих. Наудачу выбирают один из ящиков и вынимают из него карандаш. Какова вероятность вынуть зеленый карандаш? 5 Решение Hi – выбор i ящика P(H1) = P(H2)=1/2 P(A׀H1) =2/3 P(A׀H2) = ¼ 1 2 1 1 1 8 3 11 P(A) = 2 3 2 4 2 12 24 6 Пример 2 Предположим, что 0,5% всех мужчин и 0,025% всех женщин дальтоники. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Фразу из песни считать верной: «На 10 девчонок по статистике 9 ребят». 7 Решение H1 – выбрана женщина H2 – выбран мужчина P(H1) = 10/19; P(H2) = 9/19; P(A׀H1) = 0.00025 P(A׀H2) = 0.005 10 9 1 9 1 9 2 19 1 0 , 00025 0 , 005 P(A) = 19 19 19 400 19 200 19 400 19 400 400 8 Формула Бейеса До опыта о его условиях можно было сделать ряд гипотез H1, H2,…,Hn; ∑Hi = Ω; HiHj = Ø Вероятности гипотез до опыта «априорные вероятности» заданы: n P(H1),….,P(Hn); P( H i ) 1 i 1 Пусть опыт проведен, в результате его появилось событие А. Найдем вероятность гипотез, при условии, что А произошло (найти «апостериорные» вероятности гипотез, при условии, что опыт дал результат А). 9 Формула Бейеса P(H1׀A); P(H2׀A)…. P(Hn׀A) P(HiA) = P(Hi)∙ P(A׀Hi) =P(A)∙ P(Hi׀A) P( H i ) P( A / H i ) P(Hi|A) = n P( H i )P( A / H i ) = P( H i ) P( A / H i ) P ( A) i 1 10 Пример 1 1. Три барабана с лотереями: в 1-ом 50 билетов, из которых два выигрышных; во 2-ом 100 билетов – 4 выигрышных; в 3-ем 300 билетов – 5 выигрышных. Изымают 1 билет – выигрышный. Из какого барабана менее вероятно этот билет? 11 Решение P(Hi) = 1/3; P(A׀H1) = 2/50=1/25; P(A׀H2) = 4/100=1/25; P(A׀H3) = 5/300=1/60; 1 1 1 1 1 29 29 P(A) = 3 25 25 60 3 300 900 1 / 25 1 / 3 1 900 12 P(H1׀A) = 29 / 900 75 29 29 P(H2׀A) = 12/29 P(H3׀A)= 5/29 12 Пример 2 2. Два студента на практике в налоговой полиции проверяют правильность заполнения налоговых деклараций членами правительства РФ. 1 студент обрабатывает 60% деклараций, 2-ой – 40%. Вероятность того, что 1-ый допустит ошибку при обработке 0.01, 2-ой – 0.03 . Руководитель практики для контроля проверил одну декларацию и выявил ошибку проверки. Определить вероятность того, что ошибся 1-ый студент. 13 Решение H1 – проверил 1-ый студент Н2 – проверил 2-ой студент А – «студент ошибся» P(H1׀A) = 0,6 0,6 1 100 1 3 0,4 100 100 0,006 0,006 6 1 0,006 0,012 0,018 18 3 14