МАТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ

МАТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ
ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ
С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ
д.ф.м.н., проф., Маликов А.И.,
malikov@au.kstu-kai.ru
Институт механики и машиностроения
КазНЦ РАН,
КГТУ им.А.Н.Туполева
Г.Казань
Секция 1 научного совета по теории
управляемых процессов и автоматизации
Переславль-Залесский, 02-04 октября 2008 г.
План доклада

















1. Оценивание состояния линейной системы
2. Матричные системы дифференциальных уравнений с условием
квазимонотонности
3. Матричные системы сравнения
4. Построение матричных систем сравнения
5. Связь с квадратичной функцией Ляпунова
6. Линейная система с ограниченными возмущениями
7. Ограниченность и сходимость эллипсоидальных оценок
8. Оценивание состояния регулируемых систем с нелинейностями из сектора
5. Оценивание состояния систем со структурными изменениями
6. Оценивание состояния дискретных систем
7. Оценивание состояния систем с учетом результатов измерений
8. Приложения к электромеханическим системам (функциональное
диагностирование)
9. Синтез управления
10.Заключение
11. Направления дальнейших исследований
12. Публикации
13. Юбилеи
Оценивание состояния линейной
системы
dx/dt=A(t)x+b(t),
(1.1)
x  R , t  T A(t) - (n  n) -непрерывная матрица, b(t)-n-вектор, все элементы
которых суммируемы на каждом отрезке из T.
T
1
При t=t0 x(t0)= x0  E (a0 , Q0 )  {x : ( x  a0 ) Q0 ( x  a0 )  1} ,
Q0>0 - (n  n) -матрица, a0 - n-вектор. Квадратичная форма
v(t,x)=[x–a(t)]TQ-1(t)[x–a(t)] ,
dv(t)/dt=d{(x–a(t))TQ–1(t)(x–a(t)}/dt=
=[A(t)x(t)–da(t)/dt]TQ–1(t)[x(t)–a(t)]+
+[x(t)–a(t)]TQ–1(t)[A(t)x(t)+da(t)/dt]+
+xT(t)dQ–1(t)/dtx(t)+bT(t)Q–1(t)x(t)+
+xT(t)Q(t)b(t).
С учетом уравнения для a(t)
da/dt=A(t)a+b(t), a(t0)=a0.
(1.2)
T
T
–1
–1
–1
dv(t)/dt=[x(t)–a(t)] [A (t)Q (t)+Q (t)A(t)+dQ (t)/dt][x(t)–a(t)].
dQ–1(t)/dt=–AT(t)Q–1(t)–Q–1(t)A(t).
dQ–1/dt=–Q–1(dQ/dt)Q–1 (Гантмахер Ф.Р. [1988])
dQ(t)/dt=Q(t)AT(t)+A(t)Q(t), Q(t0)=Q0,
(1.3)
совпадает с эволюционным уравнением метода эллипсоидов (Черноусько Ф.Л.
[1988]), и (Сабаев Е.Ф. [1980]), является матричной системой сравнения для
(1.1), если взять
V(t,x)=[x–a(t)][x–a(t)]T.
(1.4)
Справедливы оценки
x(t)Z(t)={x:[x–a(t)][x–a(t)]T<Q(t)},
или x(t)P(t)={x:[x–a(t)]TQ–1(t)[x–a(t)]<1}, если Q(t) - положительно
определенное решение задачи (1.2).
n
V(t,x)=[x–a(t)][x–a(t)]T.
(1.4)
Получить уравнение (1.3) можно и путем вычисления производной от матричной
функции (1.4).
dV(t)/dt=V(t)AT(t)+A(t)V(t),
Правая часть (1.3) удовлетворяет условию квазимонотонности относительно конуса
G+. Поэтому уравнение (1.3) будет являться матричной системой сравнения для (1.1).
По лемме 1 для решений системы (1.1), начинающихся из заданного эллипсоида E0,
будем иметь оценки
x(t)P(t)={x:[x–a(t)][x–a(t)]T<Q(t)}, при tT
или x(t)E(t)={x:[x–a(t)]TQ–1(t)[x–a(t)]<1} при tT1.
Как будет далее показано множества P(t) и E(t) положительно инвариантны для
решений системы (1.1), а уравнение (1.3) вместе с уравнением (1.2) для a описывают
эволюцию эллипсоида E[a(t),Q(t)], который в точности является множеством
достижимости решений линейной неавтономной системы (1.1), начинающихся из
заданного эллипсоида E0.
Матричные системы
дифференциальных уравнений с
условием квазимонотонности
nn
T
G – множество симметрических
-матриц Q;  (Q)   Q
,
T
n
n
  R , Q  G     .   {  R :   1} множество линейных функционалов;
G   {Q  G : T Q  0,   } - телесный, воспроизводящий и нормальный конус.
G+ правильный конус.
Матричная система дифференциальных уравнений
Y (t )  F (t ,Y (t )), Y (t0 )  Y0 , (t0 ,Y0 )  A
(1.3)
на T (Y )  [t0 , (Y )), (t , Y (t ))  A  T  G, Y (t ) B  G
, F(t,Y) непрерывна, или
непрерывна справа или удовлетворяет усл. Каратеодори.
F квазимонотонно неубывающая относительно конуса G+ если для любых Z,YB,
Y–ZG+, и всех    из  T (Y  Z )  0 следует  T ( F (t , Y )  F (t , Z ))  0
для п.в. t  T. Обознач. F (t , Y ) W (G )
Лемма 1.1. Пусть матричные функции F1, F2, определены при и принадлежат
W(G+). Тогда a, b : T  G  R , a(t , Y ) F1  b(t , Y ) F2  W (G )
1) При любых
, если a, b - монотонно
неубывающие по Y относительно G+ функции при t>t0;
2) Для - матричной функции A(t) A(t)Y+YAT(t)W(G+)
3) Для n  n симметрической матрицы Q YQY W(G+).
Теорема 1.1 (о матричных дифференциальных неравенствах). Пусть для
непрерывно дифференцируемой матричной функции Z(t) выполняется
дифференциальное неравенство
dZ (t ) / dt  F (t , Z (t )), t  T
(1.4)
где функция F(t,Z) непрерывная, квазимонотонно неубывающая относительно
G+, и удовлетворяет условию Липшица.
Пусть Z(t0)<Y0, тогда Z(t)<Y(t) при всех t  T , где Y(t) - решение задачи (3.3) с
функцией F(t,Y) из (3.4) и Y(t0)=Y0.
Следствие 1.1. Пусть F (t , Y ) W (G ) . Тогда F (t , Y )  M (G )
.
Матричные системы сравнения
dx / dt  f (t , x, w), t  T , x  R n , w W
,
(1.5)
f :   T  R  R - удовлетворяет условиям существования Kрешений (классических, правосторонних).
Лемма 1.2. Пусть для (1.5) на T существует абсолютно непрерывная
матричная функция V(t,x) такая, что V : A  G , а для производной от V(t,x)
по времени в силу (3.5) справедливо неравенство:
DV (t , x)  F (t ,V (t , x)) при почти всех t  T
, (1.6)
где F W(G+) и удовлетворяет условиям Каратеодори.
Тогда из условия V(t0,x0)<Y0 следует V(t,x(t,t0,x0))< Y (t , t0 , Y0 )
где Y (t , t0 , Y0 ) - верхнее решение системы (1.3) с функцией F из (1.6).
G  {Y  G : Y  G } , G+Y0 - конус с вершиной в точке Y0 G;
H  {Y  B :  t  T F (t, Y ))  0} , G  {Y  B :  t T F (t ,Y ))  0} ; Q  {Y  H : t T F (t ,Y )  0}
n
n
Инвариантность множеств
Лемма 1.3. Для любых t  T , P  H множество G–+P (+)-инвариантно для
нижних решений, и для любого Q  G множество G++Q (+)-инвариантно для
верхних решений уравнения (1.3).
Для автономного матричного уравнения dY/dt=F(Y), YG (1.7)
множества H, G (+)-инвариантны
Построение матричных систем
сравнения
Исходная система dx/dt=f(t,x,w), x(t0)=x0E(a0,Q0)
1. Берется матричная функция V(x)=xxT Vij=xixj
или
V(x)=(x–a(t))(x–a(t)) T.
2. Вычисляется производная dV/dt в силу исходной системы.
3. Задается уравнение для a(t): da/dt=f *(t,a)
4. Подставляется выражение da(t)/dt в dV/dt
5. Производится мажорирование dV/dt с использованием матричных неравенств.
В результате приходим к матричному дифференциальному неравенству вида
dV/dtF(t,V) относительно конуса G+
6. По матричному дифференциальному неравенству выписывается матричная
система dQ/dt=F(t,Q). Если она удовлетворяет условию монотонности решений
по начальным данным, то она будет являться матричной системой сравнения для
исходной системы. Достаточным условием монотонности решений по
начальным данным является условие квазимонотонности функции F(t,Q) правой
части полученной матричной системы.
Оценки решений
[x(t,t0,x0)–a(t,t0,a0)][x(t,t0,x0)–a(t,t0,a0)]TQ(t,t0,Q0),
или x(t,t0,x0)E[a(t,t0,a0),Q(t,t0,Q0)] если Q(t,t0,Q0)>0.
Связь с квадратичной функцией Ляпунова
Пусть для система (1.1) с матричной функцией сравнения
V t , xt   xt   a(t ) xt   a(t )
T
Получена матричная система сравнения (1.3), где F(k,Q) есть
непрерывная матричная функция квазимонотонно неубывающая
относительно G+. Допустим at   at , t0 , x0  есть решение уравнения
(1.1)
dat  / dt  f t, at ,0
с
.
at   х
0
0
Пусть Qt , t0 , Q0  решение системы сравнения (1.5) с
из (1.2). Определим квадратичную форму
Qt0   Q0
>0
vt , xt   x(t )  a(t ) Q 1 xt   a(t )
T
Лемма 2. Множество х : vt , хt   1
решений системы (1.5).
Таким образом, эллипсоид

(+) – инвариантно для

Eat , Qt   х : vt , х   1  x : хt   at  Q 1 хt   at   1
Т
является внешней аппроксимацией множества достижимости системы
(1.5).
Линейная система с ограниченными
возмущениями
w(t )  1
dx/dt=A(t)x+B(t)w(t),
(2.1)
x(t0 )  x0  E (a0 , Q0 )  {x : ( x  a0 )T Q01 ( x  ao )  1},
V (t , x)  [ x  a(t )][ x  a(t )]T
(2.2)
da/dt=A(t)a, a(t0)=a0.
dV / dt  A(t )V  VAT (t )  B(t ) w[ x  a]T  [ x  a]wT BT (t )
dV / dt  A(t )V  VAT (t )  qV 
1
B(t ) B T (t )
q
dQ / dt  A(t )Q  QAT (t )  qQ 
1
B(t ) B T (t )
q
(2.3)
Проблемы оптимальности, ограниченности и сходимости эллипсоидальных
аппроксимаций. Различные критерии выбора параметра q:
минимума объема, следа матрицы эллипсоида, следа взвешенной матрицы
эллипсоида, проекции эллипсоида на заданное направление.
Сходимость и ограниченность
эллипсоидальных оценок
(не для локально-оптимальных)
Теорема 1. Предположим, что пара (A,B) управляемая, а матрица A гурвицева, т.е.
Rei  0, i  1,...,n -iсобственные числа матрицы A). Тогда при любом фиксированном
0  q  2 max Re i ( A)
i
эллипсоидальная оценка E[a(t),Q(t)]={x:[x–a(t)]TQ–1(t)[x–a(t)]<1} , где
Q(t)=Qq(t) – решение уравнения (3.12) с Qq(t0)=Q0>0 ограничена и сходится
к предельному эллипсоиду
E (0, Qq ()) , где
Qq ()
- решение алгебраического матричного уравнения
Ляпунова (уравнения равновесия для (2.3))
(A 
q
q
1
I )Q  Q( A  I )T   BBT
2
2
q
(2.4)
В статье Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. АиТ 2006 показано, что матрица
минимального по критерию следа инвариантного эллипсоида является решением
алгебраического матричного уравнения Ляпунова (2.4)
Следствие 1. Для решений матричного дифференциального уравнения Ляпунова
(2.12) справедливы следующие свойства.
1). Монотонность решений по начальным данным:
Qq (t, t0 , Q01 )  Qq (t, t0 , Q02 )
для всех t>t0
если Q01>Q02.
2). Инвариантность множеств: множества
M1  {Q  S : Q  Qq ()}
M 2  {Q  S : Q  Qq ()}
M 3  {Q  S : Fq (Q )  0}
q
q
1
I )Q  Q( A  I )T  BBT
2
2
q
Любая положительно определенная матрица QM3 определяет инвариантный эллипсоид.
В частности, являющаяся положительно определенным решением алгебраического уравнения
M
Ляпунова (2.4) Q
3, )определяет инвариантный эллипсоид предельного множества достижимости для
q (
системы (2.1).
Fq (Q )  ( A 
Ограниченность и сходимость локальнооптимальных эллипсоидальных оценок
Теорема 2. Пусть матрица А – гурвицева и алгебраическое матричное
уравнение (2.4) с локально-оптимальным параметром q=q(Q) имеет
положительно-определенное решение Q*>0, такое, что
0  q(Q* )  2 max Re i ( A)
i
Тогда локально-оптимальные эллипсоидальные оценки, получаемые по
уравнению (2.4) будут ограниченными и глобально сходиться к предельному
эллипсоиду, определяемому с помощью матрицы Q*>0.
Применение матричной системы сравнения позволяет также исследовать
свойства робастной устойчивости (ограниченности, диссипативности).
Сопоставление с эволюционными уравнениями метода
эллипсоидов
Регулируемая система с
нелинейностью из сектора
dx / dt  A(t ) x  b(t ) (t,  ),   cT (t ) x,
A(t) - n  n-матрица, b(t), c(t) - n-векторы.  (t ,  ) непрерывная функция
из сектора ,   R1 , 0   (t ,  ) /   k k-const.
Строится система сравнения с матричной функцией V=xxT, например
1
dQ / dt  A(t )Q  QAT (t )  b(t )bT (t )  qk 2 c T (t )Qc(t )Q
q
где q - положительная переменная, выбор которой производится из
условия наилучшего мажорирования.
Регулируемая система с несколькими
нелинейностями
из сектора
m
dx / dt  A(t ) x   bi (t )i (t ,  i ),  i  ciT (t ) x
,
(6.1)
i 1
где, как и выше, A(t) – известная n  n -матрица, bi(t), ci(t) – известные
n-векторы, i/i неопределенная непрерывная функция, со значениями из
отрезка [0,ki], где ki-const>0 i=1,…m.
m
dQ / dt  AQ  QA   (
T
i 1
1
bi biT  qi ki2 ciT Qci Q )
qi
,
(6.2)
где qi положительные переменные, подлежащие определению.
Выбор параметра q
Задача
1 T

T
min
z
E
z

q
z
D
z


i
i
i
i
i
i
i
q
 qi

при некотором .
i
zi  {zi : ziT Ei zi  0} Здесь Ei=bibiT, Di=ki2ciTQciQ.
qi=[(ziTEizi)/(ziTDizi)]1/2, где вектор zi удовлетворяет условию
(ziTDizi)(ziTEizi)>0.
Для системы (6.2),

qi  ziT Ei zi / ziT Di zi
1 / 2  ki1 ziT bi /( ziT Qzi ciT Qci )1 / 2
, i=1,…m,
система сравнения (6.2) после подстановки qi
m
dQ / dt  AQ  QA   ki ( ciT Qci )1 / 2 {( ziT Qz i )1 / 2 | ziT bi |1 bi biT 
T
i 1
 | ziT bi | ( ziT Qzi ) 1 / 2 Q )}.
Если задать zi=ci, то при условии
сравнения в виде
m
ciT bi  0, i  1, m
получим систему
dQ / dt  AQ  QA   ki ( ciT Qci | ciT bi |1 bi biT  | ciT bi | Q )
T
i 1
Система с кубической нелинейностью
В качестве примера рассмотрим систему второго порядка с кубической
нелинейностью dx/dt=A(t)x+b3, =cT(t)x,
Для нее матричная система сравнения (5.4) принимает вид
dQ / dt  AQ  QAT  c T Qc (bc T Q  Qcb T ) .
На основе интегрирования матричной системы сравнения получены матрицы,
определяющие размеры эллипсоидов, при следующих значениях параметров:
0 1 
A

0 - 2
 0
1 
b   , c   
 1
0
4 0 
Q0  

0 25 
0 1
A

0 - 1
 0 
1 
b
,
c


0
 0.1
 
4 0 
Q0  

0 25 
0 1 
A

0 0.2
 0
1 
b   , c   
 1
0
0.05 0 
Q0  

 0 0.2 
Эволюция эллипсоидов показана соответственно на рис. 1-3. Следует отметить,
что в первых двух случаях матрица A линейной части имеет одно отрицательное
и одно нулевое собственное значение. Тем не менее, как видно из рис.1 и 2
(эллипсоиды сжимаются к началу координат), система с кубической
нелинейностью асимптотически устойчива в большом. В третьем случае матрица
линейной части имеет одно положительное собственное значение, поэтому
система с кубической нелинейностью является неустойчивой. Это можно
наблюдать на рис.3, где эллипсоиды расширяются с течением времени.
Рис.1
Рис.2
Рис.3
Для системы с квадратичной нелинейностью
dx/dt=A(t)x+b(t)2, =cT(t)x,
где A(t) – nn-матрица; b(t), c(t) – n-векторы, матричная система сравнения
1

принимает вид
dQ d t  AQ  QAT  c T Q c Q  qbbT 
,
q

где q>0 – параметр, подлежащий определению. В частности, для наиболее
точного мажорирования рекомендуется выбирать параметр q по формуле
1/ 2
, при cTb  0, или q  SpQ / Spbb T
.
q cT Qc / cT b
На рис. 4,5 отображены эллипсоиды, построенные интегрированием системы
0 1 
 0
1 
b

,
c

сравнения при A  
 1
0 . В качестве начального условия

 
 
- 1 - 2
0.5 0 
0.5 0 
Q

Q01  
02
 0 0.6 

приняты соответственно матрицы
и

 . В первом
 0 0.5 
случае (рис. 4) эллипсоиды с течением времени сжимаются к началу координат, а
во втором случае (рис.5) расширяются,
Рис.4
Рис.5
T
Следовательно, эллипсоид {x:x diad[2, 2]x<1} содержится в области притяжения
системы с квадратичной нелинейностью.
Регулируемая система с
неопределенностями
dx / dt  A(t ) x  B(t ) (t , )  w(t )   (t ),   C (t ) x  , (t )
(3.11)
где A(t) - -матрица, B(t), C(t) - n  m и m  n -матрицы, w(t) - n-вектор входных
воздействий;  (t ) - n-вектор внешних возмущений,  (t ) погрешности измерений:
 (t ) T (t )  R1 (t ),  T (t ) R21 (t ) (t )  1, t  t 0
,
(3.12)


(
t
,

)

col

(
i t , i )  непрерывная
где R1(t)>0 - nn, а R2(t)>0 - mm матрицы;
i 1,m
вектор-функцией, с компонентами из сектора
 i  R1 , 0   i (t , i ) /  i  ki , i  1, m
,
(3.13)
T
T
где ki -const,  i  ci (t ) x   i , ci - i-я строка матрицы C, i=1,...,m.
Оценить множество процессов (3.11) - (3.13) с x0  E (a0 , Q0 ) .
Теорема 3.4. Для процессов системы (3.11) с неопределенностями из (3.12),
нелинейностями из (3.13) и x0  E (a0 , Q0 ) справедливы оценки при t>t0:
V(t)=[x(t)–a(t)][x(t)–a(t)]T<Q(t,t0,Q0),
или
x(t)[a(t),Qi(t)]={x:[x(t)–a(t)]Qi–1(t)[x(t)–a(t)]<1},
где a(t) - решение уравнения da/dt=A(t)a+B(t)MC(t)a+w(t), а Q(t) -положительно
определенное решение МСС
1
1
dQ(t ) / dt  A(t )Q(t )  Q(t ) AT (t )  R1 (t )  q1Q(t ) 
B(t ) BT (t ) 
q1
q2
m
 q2  ( zi* ) 2 Q1 (t ) 
i 1
1
B(t ) MR2 (t ) M T BT (t )  q3Q(t ),
q3
где M  diag (i ) , i  ki / 2 ,
i1,m
Q(t0)=Q0, a(t0)=a0.
zi* 
ki T
[ ci a  (ciT Qci )1/ 2  (r2i )1/ 2 ], при начальных условиях
2
Пример. Оценка точности системы
стабилизации
 0 1 
0
1
, b   , c   
dx / dt  Ax  b ( )   (t ), A  
  2  3
  1
1
  c T x,
с (t )   , и нелинейной функцией,  ( )  k
, где    0  ,   0.4 и k=1.
1.2 
 
Сопоставление с вектор-функцией Ляпунова с
компонентами в виде модулей линейных форм

Оценивание состояния дискретных
регулируемых систем
V(k)=xxT и вычислив V(k+1) в силу системы (2.3)
V ( k  1)  A( k ) H ( k ) AT ( k )  ( k , )[ A( k ) x ( k )bT ( k ) 
 b( k ) xT ( k ) AT ( k )]  2 ( k , )b( k )bT ( k ).

Способ 1. состоит в учете неравенства (1.4), для нелинейности
и матричного неравенства, справедливого для всех x,y и q>0.
xy T  yx T 
V ( k  1)  AV ( k ) AT 
1 T
xx  qyy T
q
1
k AV ( k )ccTV ( k ) AT 
q1
 q1 kbbT  k 2cTV ( k )cbbT .
1
Q ( k  1)  AQ( k ) AT  k AQ( k )ccT Q ( k ) AT 
q1
 q1 kbbT  k 2cT Q ( k )cbbT
Пример
0 0 
R1  

0
0
.
24


 0.4 0.25
0 
1 
A
, b   , c   
0
0
.
5


1 
0 
2 1 
Q
, k=0.9
1 1.9 
Рис.1. Оценка, полученная по способу 3 точнее оценок, полученных по
способам 1 и 2
Рис.2. оценка при k=10 по способу 1 точнее оценок, полученных по способам
2и3
 0.4 0.25
A

  0.25 0.5 
Подбор фиксированного параметра q
c=[1.0;0.0]; Q=[1 0 ;0 0.9]; A=[0 1;0.7 0.2];b=[0;1];
kn=0.46; qp=0.9; for k=1:50
Q1=kn*kn*(1+1/qp)*A*Q*A'+(1+qp)*c'*Q*c*bb
1.5
1
Ос ь У
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
Oс ь Х
0.5
1
1.5
Оптимизация следа матрицы
kn=0.45; (при kn=0.46 расходятся)
1.5
1
Ос ь У
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
Oс ь Х
0.5
1
1.5
Регулируемая система со
структурными изменениями
Система
имеет
k
структурных
состояний
(k
режима
функционирования),
упорядоченных по индексу i, iL={1,...l}. В момент t структурное состояние системы
определяется переменной i(t). Пусть ts , ( s  1,2,...) моменты скачков процесса i(t), а
  {ts , s  1,2...} - их множество.
Динамика системы в i-м структурном состоянии
dx (i ) / dt  A(t , i ) x (i )  B (t , i ) (t , i ,  (i ))  w(t , i )   (t , i ),
(3.1)
 (i )  c(t , i ) x (i )   (t , i ), i  L.
n
x(i )  R i , A(t , i )  (ni  ni ), B(t , i )  (ni  mi ), C (t , i )  (mi  ni ) -матрицы;
 (t , i, (i ))  col( (t , i, (t , i )) - нелинейности,

_____
0   (t , i , (t , i )) /  (t , i )  ki ,   1, mi ;
w(t , i )  ni -вектор входных воздействий,  (t , i )  ni -вектор
 (t , i )  mi -вектор погрешностей измерений:
 (t , i ) T (t , i )  R1 (t , i ),  T (t , i ) R21 (t , i ) (t , i )  1, t  t0 ,
где R1 (t , i )  ni  ni -неотрицательно определенная, а R2 (t , i )
определенная матрицы.
В моменты ts ( s  1) переходов из j-го в i-е состояние
x (ts , i (ts )  i )  Aijs x (ts  0, i (ts  0)  j ) ,
где
(3.2)
внешних
возмущений,
(3.3)
 mi  mi -
(3.4)
Aijs  ni  n j - постоянные матрицы (i, j  L) .
Оценить множество, в котором находятся процессы из x0 E ( a0 , Q0 ) .
Применяется метод матричных систем сравнения.
положительно
Берется матричная функция
V (t, i(t ))  [ x(t, i(t ))  a(t, i(t ))][ x(t, i(t ))  a(t, i(t ))]T
и строится матричная система сравнения (МСС)
dQ (i ) / dt  A(t , i )Q (i )  Q (i ) AT (t , i ) 
1
R1 (t , i )  q1i Q (i ) 
q1i
m
1
T

B(t , i ) B (t , i )  q2i  ( z (i )) 2 Q (i ) 
q2 i
 1
1
B(t , i ) M (i ) R2 (t , i ) M T (i ) B T (t , i )  q3i Q (i ),
q3i
при t  
k

T
T
1/ 2
 ( r2 (i ))1 / 2 ] ,
где z (i )  i [| c (i )a (i ) |  ( c (i )Q (i )c (i ))
2
s
sT
и Q (t s , i )  Aij Q (t s  0, j ) Aij при t   .

Начальные условия Q(t0)=Q0, a(t0)=a0.
Теорема 3.1. Для системы (3.1) с нелинейностями из (3.2), неопределенностями
из (3.3) и скачками (3.4) имеет место оценки
(при Q(t,i(t)>0
V (t, i(t ))  Q(t, i(t ), t0 , Q0 )
n
x (t , i (t ))  {x  R i : [ x (i )  a (t , i (t ))]T Q 1 (t , i (t ))[ x (i )  a (t , i (t ))]  1} ),
a (t , i (t )) - решение уравнения (без неопределенностей)
s
da(i)/dt=A(t,i)a(i)+B(t,i)M(i)C(t,i)a+w(t,i), a (ts , i )  Aij a (ts  0, j ) ,
а Q (t , i (t )) - решение МСС.
где
Оценивание точности САУ при
отказах датчиков
Линейная система
x1  x2 ,
x 2  a 21 x1  a 22 x2  bu
где
u  k1 y1  k2 y2
- управление,
y   y1 , y2 T
- вектор выхода датчиков Д 1 и Д2,
которые измеряют координаты x1,
x2 вектора состояния
x   x1 , x2 T
.
1) датчики Д1 и Д2 - исправны;
2) Д1 - отказал, Д2 - исправен;
u  k1~
x1  k2 x2
x   x1 , x2 , z1 T
3) Д1 - исправен, Д2 - отказал.
u  k1 y1  k2 ~
x2 ,
x   x1 , x2 , z2 T
При a21=2, a22=–1, b=–1, k1=8,
k2=4,
g1=8,
g2=10
матрицы
замкнутой системы для 3-х структурных состояний являются устойчивыми.
 0
A1  
 6
A21
1
 0


1
0
1 
, A2   2


 5
0

0
1
 g1
1
 37
117
0 
 0

 8 , A3    42


24 

  132

1


, A  
0
31


a21 


   g 2  a22 
1
1
0
0
1
1, A12  A13  

0
0

0 
 4 ,

 14

0
1
0
.
0

Нелинейная регулируемая система
x1  x2 ,
x2  a21x1  a22 x2  b1 ( 1 )   (t ),
 (t ) где
характеристика
регулятора,
1  k1 y1  k2 y2 ,1(1 ) неопределенное возмущение |  (t ) | r; y  ( y1 , y2 )T - вектор выхода
датчиков Д1 и Д2, которые измеряют координаты x1 , x2 вектора состояния
x  ( x1, x2 )T : y1  x1  1, y2  x2  2 ,
где   (1 , 2 )T :  T (t ) R21 (t ) (t )  1, t  t0 , R2 (t )  2  2 матрица>0.
1) датчики Д1 и Д2 - исправны;
2) Д1 - отказал, Д2 - исправен; u2   2 ( 2 ),  2  k1xˆ1  k2 y2
3) Д1 - исправен, Д2 - отказал; u3  3 ( 3 ),  3  k1 y1  k2 xˆ2
4) Д1 и Д2 - отказали, регуляторы отключены.
1) dx1 / dt  x2 , dx2 / dt  a21x1  a22 x2  b1( 1 )   (t ),
2) dx1 / dt  x2 , dx2 / dt  a21x1  a22 x2  b2 ( 2 )   (t ),
g
g
a
g
dz1 / dt   g1z1  1 b 2 ( 2 )  1 ( g1  a22  21 ) x2 , xˆ1  z1  1 x2 ; 3)
a21
a21
g1
a21
dx1 / dt  x2 , dx2 / dt  a21x1  a22 x2  b3 ( 3 )   (t ),
dz2 / dt   g2 z2  [a21  g2 ( g2  a22 )]x1  b3 ( 3 ), xˆ2  z2  ( g2  a22 ) x1, 4)
dx1 / dt  x2 , dx2 / dt  a21x1  a22 x2   (t ) .
Условия связи вида x(i)=Aijx(j), где Aij. постоянные матрицы.
 0.2 0 
Начальные условия i(t0)=1, Q (t0 )  
.
 0 0.2 
Линейная ситема с отказами и восстановлением датчиков
Нелинейная регулируемая ситема с отказами и восстановлением датчиков
Гарантированное оценивание состояния дискретных
регулируемых систем с учетом измерений
Рассматривается дискретная регулируемая система
x ( k  1)  A( k ) x ( k )   ( k )  w( k ) 

 b j (k ) j (k , j ), x(0)  a   0
j 1
y(k)=C(k)x(k)+(k).
погрешности измерений (k)
0{Rn:TQ0, Q0>0},
(k){Rn:TR1(k), R1(k)>0},
x̂
(k){Rm: TR2(k), R2(k)>0}.
Вектор функция
Условие принадлежности сектору (yi  R1 ) 0  i (k , i ) /  i  ki , (i  1,..., )
B  line (b j ), D  col (diT ), M  diag (ki / 2)
Обозначим
j 1,...,
i 1,...,
i 1,...,
Оценка состояния х(k+1) ^x(k+1/k)=(A+BMD)^x(k/k)+w(k)).
(2.4)
Ошибка оценки (k+1/k)=х(k+1)– ^x(k+1/k)=Ax(k)+B(k,)+w(k)+(k)–
–[A+BMD]^x(k/k)–w(k)=(A+BMD)(k)+(k)+B[(k,)–M].
V(k/k)=(k/k)T(k/k)
(2.5)
V(k+1/k)<(1+1/q2)[(1+1/q1)(А+BMD)V(k/k)(А+BMD)T+(1+q1)R1]+(1+q2).
(2.6)
Для того чтобы оценить матричную функцию [ (k , )  M ][ (k , )  M ]T найдем
эллипсоид, содержащий множество
(2.7)
  { z : z  ( k , )  M ,   Cx, x  E( x̂ ,Q )},
Параллелепипед
{z : z  z*}, z*
 col ( zi* ), z*i (k)  k i [ diT x̂(k / k)  (diTQ(k / k)di,)1/ 2 ]
2
(2.8)
матрица эллипсоида определится : R3(k)=diag[r2i(k)],


ki T
di (k ) xˆ (k / k )  (diT Q(k / k )di )1 / 2 , i  1,...m
2
при всех k>k0
[ (k ,  )  M (k )][ (k ,  )  M (k )]T  R3 (k )
ri (k )  m zi* (k )  m
V(k+1/k)<(1+1/q2)[(1+1/q1)(А+BMD)V(k/k)(А+BMD)T+(1+q1)R1]+(1+q2)BR3(k)BT,
Q(k+1/k)=(1+1/q2)[(1+1/q1)(A+BMD)Q(k/k)(A+BMD)T+(1+q1)R1]+(1+q2)BR3(k)BT,
решение матричной системы сравнения (2.12) при Q(0/0)=Q0,
q1 
Sp([ A  BMD]Q (k / k )[ A  BMD]T )
Sp( R1 )
q2 
^x(k+1/k+1)=F(k+1)(k+1/k)+К(k+1)у(k).
Sp((11 / q1 )[ A BMD]Q (k / k )[ A BMD]T  (1 q1 ) R1 )
Sp( BR3 (k ) BT )
(2.13)
Уравнение для ошибки оценивания:
(k+1/k+1)=х(k+1)-^x(k+1/k+1)=х(k+1)–F(k+1)(k+1/k)–К(k+1)[Cx(k+1)+
+(k+1)]=[E–K(k+1)C]x(k+1)–F(k+1)(k+1/k)–K(k+1)(k+1).
(2.14)
условие (несмещенность оценки) будет выполняться, если выбрать
F(k)=E-K(k)C.
(2.15)
Для нахождения матрицы К(k) запишем:
(k+1/k+1)=[E-K(k+1)C](k+1/k)–K(k+1)(k+1).
(2.16)
V(k+1/k+1)<(1+1/q3)[E–K(k+1)C]V(k+1/k)[E–K(k+1)C]T+
+(1+q3)К(k+1)R2KT(k+1).
(2.17)
Q(k+1/k+1)=(1+1/q3)[E-K(k+1)C]Q(k+1/k)[E–K(k+1)C]Т+
+(1+q3)К(k+1)R2KT(k+1)
(2.18)
К(k+1)=(1+1/q3)Q(k+1/k)CТ{CQ(k+1/k)CТ(1+1/q3)+(1+q3)R2}-1.
(2.19)
В результате рекуррентные уравнения наблюдателя запишутся в виде
^x(k+1/k)=[A(k)+B(k)MD(k)]^x(k/k)+w(k),
^x(k+1/k+1)=^x(k+1/k)+K(k+1)[y(k+1)–C(k+1/k)],
К(k+1)=(1+1/q3)Q(k+1/k)CT)[CQ(k+1/k)CT(1+1/q3)+(1+q3)R2]-1,
Q(k+1/k)=(1+1/q2)[(1+1/q1)[A+BMD]Q(k/k)[A+BMD]T+
+(1+q1)R1]+(1+q2)BR3(k)BT,
Q(k+1/k+1)=(1+1/q3)[E–K(k+1)C]Q(k+1/k)[E–K(k)C]Т+
+(1+q3)К(k+1)R2KT(k+1),
при k=0,1,.... c начальными условиями ^x(0/0)=a, Q(0/0)=Q0.
Для запуска алгоритма на первом шаге параметр q3 вычисляется по формуле .
q 3  Sp(Q(0 / 0)) / Sp(R 2 ) Далее вычисляется матрица K(k=1) по (2.19). Затем снова
Sp([ E  K (k )C ]Q (k  1 / k )[ E  K (k )C ]T )
вычисляется параметр q3 по критерию следа q3 
,
Sp( K (k ) R2 K T (k ))
а по нему – матрица K(k=1).
Данный алгоритм был реализован в пакете matlab и опробован на конкретных
примерах 2-3 порядка.
Электромеханические системы
Модель в виде уравнений Лагранжа второго рода
M (q(t ))q(t )  n(q(t )q (t ))   (t )
M(q) – матрица инерции
.
n( q, q )  V ( q, q ) q  Fq  g ( q )   ( q , q )
кориолисовы и центробежные, трение и
гравитационный члены, сухое трение и возмущения ЭМ
Могут быть добавлены уравнения электромагнитных
процессов в электродвигателях.
Предполагается, что известны номинальные Mˆ ( q), nˆ ( q, q ))
Вводя величины
~
M  M  Mˆ , n~  n  nˆ
представим
Mˆ ( q(t ))q(t )  nˆ ( q(t )q (t ))   (t )   ( q(t ), q (t ), (t ))
~
 ( q, q, )  M ( q)( M 1 ( q)(  n( q, q )))  n~( q, q).
Вектор состояния
 x (t )   q(t )
x (t )   1   

 x2 (t )  q (t )
Уравнения движения в пространстве состояний
x (t )  Ac x (t )  hc ( x(t ))  Bc ( x(t ))u(t )  c ( x (t ), u(t ))
y (t )  Cx(t )
On
Ac  
On
In 
 On 
, Bc   ~ 1


On 
 M ( x1 )

0n

~ 1

  M ( x1 ) ( x1 , x2 , u )
c ( x, u )  
0n


hc ( x )   ~ 1

  M ( x1 )nˆ ( x1 , x2 )
u=
Предполагается, что измерения выдаются в
дискретные моменты времени с периодом T, а
входные моменты, являются постоянными на каждом
интервале [kT, (k+l)T]
Дискретизация модели
Разложение в ряд в окрестности номинального движения
x1 (k  1)  x1 (k )  Tx2 (k )   d 1 (k )
x2 (k  1)  x2 (k )  Tx1 (k )   d 2 (k )
Схема метода Эйлера первого порядка
x ( k  1)  Ax( k )  h( x (k ))  B( x (k ))u( k )   ( k , x ( k ), u( k ))
y ( k )  Cx( k ),
 In
A 
On
TI n 
 d1 
, h  Thc , B  TBc ,   Tc  


In 
d 2 
Оценка точности САУ оптического
прибора
Jd 2 (t ) / dt 2  Dd (t ) / dt 
 M ЭП ( )  M Н (t )  M В (t )
где J - момент инерции прибора; D коэффициент демпфирования; MН момент нагрузки и трения, MВ(t)
возмущения; MЭП(t) –
электромагнитный момент привода:
M ЭП  MФ ( ) , где MФ максимальный фиксирующий момент ШД ( ) :k
  ( ) /   k, при
- известные постоянные.   ru(t )  2iВП (t )
– коэффициент редукции, r - параметр, u(t) - выход регулятора:
.
  [ ,  ], k, k
, iВП
du / dt  k1 ( ПР (t )   ИЗМ )  k2 ( ПР (t )   ИЗМ )  k P k1 ПР (t )
k1 ,k2 ,kР - коэффициенты регулятора;
 ПР (t )  at ,
a-const,
 ИЗ (t )   (t )  1 ,  ИЗ (t )  z  2 ,   (1 ,  2 )T
погрешности ,  i  r2i r2i -const, i=1,2, |MВ(t)+MН(t)|<r1,
r1 -константа.
0
1


An   - 2 M Ф kiВП / J  D / J
 k
 k2

1
  2iВП 

 0 





M Ф k / J  , bn   M Ф / J  , d   0 .

 0 
 r 
0





0
wn (t )  [0,0, k1 g  k2 gt ]T вектор входных воздействий,
n (t )  [0, ( M В (t )  M Н (t )) / J ,k11  k-22 ]T
вектор неопределенных возмущений.
Для отрезка
x(k  1)  Ax(k )  b ( (k ))  w(k )  (k ),
[kT,(k+1)T]
погрешность интегрирования оценивается как
i . LT 2
Для вектора неопределенных возмущений (k) имеет место оценка
 ( k )  { : T  R1} , при k>k0,
Для оценивания состояния системы (3.4) был реализован в пакете Matlab
алгоритм (2.20), полученный по дискретной модели (3.5). Расчеты проводились
при следующих значениях параметров: J=30, MФ=25, D=250, iВП =256, k=0.5,
=0.8, r=  / 4, r1=0.002, r21=0.00002, r22=0.0032, g=0.002, k1=50, k2=2, T=0.01.
Результаты моделирования
Рис. 2. Оценивание состояния системы
управления оптического прибора по углу и
угловой скорости (в отклонениях от
программной траектории)
Рис. 3. Априорная -1, и апостериорная 2
оценки состояния в плоскости угол (ось X) –
угловая скорость (ось Y) (в отклонениях от
программной траектории).
Результаты моделирования
Рис.5. Оценки при возникновении
дополнительного момента на оси
прибора
Рис.6. Оценки при возникновении
отказа датчика угла
Оценивание состояния асинхронного
двигателя
 d   q   s d  u d ,
(1)
 q   d   s q  u q ,
 id   d  1  s    q   i q    r  d   i d ,
 iq   q  1  s    d   i d    r  q   i q ,
s    d i q   q i d  M H .
Конструктивные параметры:
2
rs
rr
u2
L
s  ; r 

;   1 m
Lr Ls
JLs
Ls
Lr
Предположения:
x0 x : ( x  a)(x  a)T  Q0 , Q0  0 ,
wk w: wwT  R1 k , R1 k   0 
(2)
 k    :  T  R2 k , R2 k   0
Скольжение: s  1  
s

 s  2 f
Вектор состояния: x   d , q , i d , i q

T
(3)
Параметры модели:
1 0
0 1
A
 1 0

 0 1
0
0 0 
 0

0 
0
1
0
B
1

0
1
 
s

 
  s
 m

 0
1
0 0 0 1
1 0 0 0

0  0 0
 
1 0  0
m 
 r
f

r

s
 s
0
m
0 0
1 0 
0 1

0 0

f

0 


0
0 
 m
0 

0
  m
0
Построение алгоритма оценивания состояния:
x  Ax  A1   x  Bu  w
1
0
A 
1

0
1
0 0 s 0
0
0 
1 0 0  0 s
0
0 

0  0  m
0  m 0 
 

1 0   0
m
0  m
0
0
1
0
1

A1 
 1 0

 0 1
0
0

0

0


0


0





1
0
1
s
1
s
0
0
0
0
0
0 0

0 0

0 0

0 0
Угловая скорость
вращения ротора:
  изм   s
s  
  const
x  Ax  A1изм s x  Bu  w   A  A1изм x  A1s x  Bu  w
(5)
- матрица системы
A  A1 изм   s 
Дискретизированная система уравнений:
~
x  k  1   A  k  x  k   T  s A1 x  k   B  k u  k  


(6)
 T E  1 T  A  A1 изм  w  1 T A1 s w
2
2

TE  1
2
 TE  1

T
2
2
T
 A  A 1  изм  ww
2
 A  A 1  изм
T
 

2
TE  1
 R 1 TE  1
2
2
T
T
w  k  w  k   R1  k 
T
2
2
 A  A 1  изм   
T
 A  A 1  изм  
T
(7)
 T  T s  T
0   ( k )  T  s     2T 
~
xk 1  Ak xk   A1  k  TA1 xk   Bk uk   wk  
~k  TA xk   A  k   Bk uk   wk 
(8)
 A
1
1
~
Ak   Ak   TA1
 ( k )  Ex  k 
xk 1  Ak xk   TA1k   Bk uk   wk 
yk   Cxk    k 
y k   id , iq 
T
Вектор наблюдаемых координат:
токи статорной обмотки в системе координат (d, q)
0 0 1 0
Ck  

0
0
0
1


 k    :  T  R2 k , R2 k   0
(9)
Уравнения алгоритма оценивания состояния
электрической машины:
x  k  1 k    A  k   A1  x  k k   B  k u  k 
xk 1 k 1  xk 1 k   K k 1 yk 1  Ck xk 1 k 
Kk 1 1 1 Qk 1 kC kCkQk 1 kC k1 1  1 q3 R2 k
q3 
q3 




T
1
T
T





1
1

Qk 1 k   1 
1
A  A1  Qk k A  A1    1  q 1 R1 k  



q 2 
q1 


 1  q 2 A1 R 3 k A1T
T


1
Qk 1 k 1  1 
E  K k C k Qk 1 k E  K k C k  
q

3
 1 q3 K k R2 K T k 
с начальными условиями: x0 0  a, Q0 0  Q0
Установившийся режим работы двигателя:
Запуск двигателя:
Торможение двигателя:
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕ
В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ
Оценка состояния двигателя:
Dx k 1  Exk 1 k , Qk 1 k 
Результат текущих измерений:

(10)

Dy k 1  E x : Cx yk1 R Cx yk1 1 (11)
T
1
2
Условие обнаружения изменения режима:
Dx k  1  D y k  1  0
(*)
Двигатель имеет l = 6 режима
функционирования:
i = 1 - установившийся режим работы с
номинальной скоростью вращения;
i = 2 - изменение нагрузки на валу ротора
двигателя в допустимых пределах;
i = 3 - блокировка ротора вследствие
неисправности;
i = 4 - останов двигателя при пропадании
напряжения на всех статорных обмотках
двигателя;
i = 5 - пропадание напряжения на одной из
фаз статорной обмотки двигателя;
i = 6 - изменение сопротивления (короткое
замыкание) роторной обмотки.
Граф возможных
состояний и изменений
режимов двигателя:
Распознавание
текущего режима:
Функциональное диагностирование
асинхронного двигателя при изменениях
нагрузки на роторе
Наблюдатель
режима 3
Наблюдатель
режима 1
Результаты
измерений
Наблюдатель
режима 2
Нормальный режима работы (режим 1)
3
2
1
Результаты
измерений
Расхождение множества измерений и
наблюдателя режима 1
3
2
1
Результаты
измерений
Совмещение множества измерений и наблюдателя
режима 2
3
2
1
Результаты
измерений
Расхождение множества измерений и
наблюдателя режима 2
3
1
2
Результаты
измерений
Совмещение множества измерений и наблюдателя
режима 3
Проблема распознавания неисправностей
Распознавание неисправностей - это определение развития во времени
ошибки из-за неисправности. Это трудная задача, так как только
объединенное {комбинированное} влияние неопределенностей и
неисправностей может быть оценены а не их вклад по отдельности.
Другими словами, неопределенности и отказы влияют на динамику оценки
одинаковым образом, делая невозможным четкое различие между
влиянием неопределенностей и неисправностями.
ri (k )   i , i  1,..., n
Синтез робастного управления
dx
 [ A(t )  A]x  [ B(t )  B]u, x  R n , u(t )  Kx(t )
dt
A, B зависят от неопределенного параметра p
dx
 ( A  BK ) x  ( A  BK ) x  ( A  BK ) x  g ( x, t ).
dt
x (t0 )  x0  E ( a0 , Q0 )  {x : ( x  a0 )T Q01 ( x  ao )  1}, Q0  0
g ( x, t )  E (0, )  {g : g T 1 g  1},  0
x(t )  E (a(t ), Q(t ))  {x : ( x  a(t ))T Q 1 (t )( x  a(t ))  1}, Q(t )  0
1
dQ / dt  ( A  BK )Q  Q( A  BK )T  qQ   , Q(t0 )  Q0
q
(*)
Min Критерий качества
tf
J ( K , t )   [tr (Q )  tr ( KQKT )]d
при ограничениях (*).
t
Функция Гамильтона
H (Q, K , t )  tr (Q )   tr ( KQKT )  tr[T dQ / dt]
(6.11)
H
d H dQ H
H

,

,
 0,
0
Q
dt  dt K
q
Уравнения для оптимальных K и q
1
dQ / dt  ( A  BK )Q  Q( A  BK )T  qQ   (Q ), Q(t0 )  Q0
q
q
q
1
d / dt   I  K T K  ( A  BK  I )  ( A  BK  I )T    (  ), (t f )  0
2
2
q
H
H
1
 2 KQ  2 BT Q  2 R1 () KQ  0;
 tr(Q)  2 tr[ R2 (Q)]  0
K
q
q
Синтез управления по эталонной модели
Непрерывная система
x(t )  A0 (t ) x(t )  B0 (t ) (t , u (t ))  H (t ) (t ,  (t ))  D(t ) w(t ), x(t0 )  x0 ,
y (t )  C (t ) x(t )  v(t ),
 (t )  L(t ) x(t ),
(1)
x(t) – состояние при t, u(t) – вход
Ограничения
,
ui 
1
 i 
1
k1i  i (t , ui (t )) / ui (t )  k2i
k1i  i (t , i (t )) /  i (t )  k2i
x(t0 ) xT (t0 )  K 0 (t0 ) ,
w(t ) wT (t )  Qw (t )
Задана модельная
система
С известным управлением
Найти управление
u (t )  G(t ) y (t )
i  1, m
(2)
i  1, s
v(t )vT (t )  Qv (t )
x* (t )  A(t ) x* (t )  B(t )u* (t ),
y* (t )  C (t ) x* (t ),
u* (t )  G* (t ) x* (t )
Чтобы обеспечить характеристики близкие к
модельной системе
Способ синтеза (В.И.Гаркушенко)
u (t )  G0 (t ) y (t )

G0 (t )  G* (t ) K (t )C T (t ) Z (t )   1(t )Qv (t )
;
,

1
Z (t )  C(t ) K (t )C T (t )
K (t )  P(t ) K (t )  K (t ) PT (t )   (t ) K (t )  Q(t )
K (t0 )  K 0 (t0 )
Q(t )  D(t )Qw (t ) DT (t )  Sp{G (t )W (t )GT (t )  22}Q (t ) 
 Sp{L(t ) K (t ) LT (t ) 22}Q (t )  B(t )G (t )Qv (t )GT (t ) BT (t ),
,
,;
Qw (t )  11 (t )Qw (t )
Qv (t )
Q (t )   21(t ) B0 (t ) B0T (t ) Q (t )  31(t ) H (t ) H T (t )
  41 (t )Qv (t )
xd (t )  Ad xd (t )  Bd y (t )
xd (t ) 
nd
nd  m
4
 (t )    i (t )
i 1
W (t )  [1   (t )]Z (t )  [1   1 (t )]Qv (t )
xd (t0 )  0
u (t )  G1 (t ) y (t )  G2 (t ) xd (t )
  E{(n  1  m  l ) / l}
Пример
Управление движением центра масс мобильного объекта
,
,
,
,
,
,
T (t )   (t )  c1 (u(t ))  w2 (t )
mh (t )  a1 (t )  b1 3 (t )  w1 (t )
x  [h, h,  ]T
0 
0 1
A(t )  0 0 a23 ( x3 ) 


0 0
a33 
k1   (u ) / u  k2
0
b0
 
b3 
a23 ( x3 )  a1 / m  b1x32 / m
1 0 0 
C

0 0 1 
a33  1/ T
0 0
D  1 0 
0 1 
b3  c1 / T
Результаты моделирования

G* (t )    1
 T1
,
Ad  5
1 
2
T1
 2 (1  x32 (t )) 
Bd  1 0
1 1
 
T1 T 
u* (t )  G* (t ) 0mnd  x p (t )
Заключение
1. Матричные системы сравнения применяются для
оценивания состояния систем управления (в том числе
электромеханических) с неопределенностями, фазовыми
ограничениями, структурными изменениями.
2. Разработаны способы и алгоритмы оценивания состояния
систем с неопределенностями с учетом результатов
измерений и фазовых ограничений.
3. Алгоритмы реализованы в виде комплекса программ и
использованы для оценивания состояния системы управления
оптического прибора.
4. Способы и алгоритмы применены для оценивания в
реальном времени состояния асинхронного двигателя при
изменениях режимов его работы.
5. Возможны применения для функциональное
диагностирование электромеханических систем управления
Направления дальнейшего развития
1. Оценивание состояния нелинейных систем
2. Робастная устойчивость и качество процессов
управления, ограниченность и сходимость
эллипсоидальных оценок
3. Синтеза оптимальных робастных регуляторов,
обеспечивающих качество процессов систем с
неопределенностями
4. Применение для оценивания состояния гибридных
систем управления
5. Применение для функционального диагностирования
электромеханических систем.
Публикации
1. Маликов А.И., Благов А.Е. Анализ динамики многосвязных систем автоматического
регулирования с помощью матричных систем сравнения //Вестник КГТУ, 1998. № 2. С.
37-43.
2. Маликов А.И. Об устойчивости логико-динамических систем управления со структурными
изменениями//Известия РАН. Теория и системы управления. 1996, № 2. С.5-12
3. Маликов А.И. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем со случайными
изменениями структуры //Известия РАН. Теория и системы управления. 1996, № 3. С.19-30
4. Маликов А.И., Матросов В.М. Вектор-функции Ляпунова в анализе динамических свойств
систем со структурными изменениями//Известия РАН. Теория и системы управления. 1998, № 2.– С.
47-54
5. Маликов А.И. Матричные системы сравнения в исследовании динамики нелинейных систем
управления со структурными изменениями //Известия РАН. Теория и системы управления. 1999,
№3. С.11-21
6. Маликов А.И. Матричные системы дифференциальных уравнений с условием
квазимонотонности//Известия ВУЗов. Математика. - 2000, № 8. С.35-45.
7. Маликов А.И. Эллипсоидальное оценивание решений дифференциальных уравнений
с помощью матричных систем сравнения//Известия ВУЗов. Математика, 2002. №8. - С.
30-41.
8. Маликов А.И. Матричные системы сравнения в анализе динамики и оценивании
состояния систем управления с неопределенностями и структурными изменениями
//Нелинейная теория управления и ее приложения: динамика, управление,
оптимизация. М.:Физматлит, 2003. - С.66-100.
9. Malikov A. Guaranteed state estimation discrete systems with uncertainties and structural
changes //IFAC Workshop “Modelling and Analysis of Logic Dynamic Systems”. July 30 – August
1, 2003. Irkutsk, 2003, p.140-143.
10. Маликов А.И. Эллипсоидальное оценивание состояния дискретных систем управления с
помощью матричных систем сравнения//Известия ВУЗов. Математика, 2004. №1. – С.53-69.
11. Маликов А.И. Оценивание состояния дискретных регулируемых систем с
неопределенностями//Актуаль. пробл. механики сплош. среды. Казань, КГУ. 2004.
12. Яфасов Ф.И. Гарантированная оценка переходных процессов асинхронного двигателя
методом матричных систем сравнения.// Вестник КГТУ им.А.Н.Туполева, 2004, №4. С.5460.
13. Маликов А.И., Яфасов Ф.И. Оценивание состояния и функциональное диагностирование
нелинейных регулируемых систем с неопределенностями //Труды IV международной
конференции «Идентификация систем и задачи управления» Москва, 25-28 января 2005 г.
SICPRO’2005. М.: ИПУ РАН, 2005. С.593-608.
14. Маликов А.И., Яфасов Ф.И. Оценивание состояния и функциональное диагностирование
электромеханической системы с асинхронным двигателем. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева,
2005.
100 лет со дня рождения
Георгий Владимирович Каменков
(12.01.1908-09.10.1966)
Ученый в области механики, ученик Н.Г.Четаева.
Д.ф.м.н. (1937) профессор (1938), выпускник КГУ (1930). .
В КАИ с 1932 по 1949, зав.каф. аэрогидродинамики (1936-1949),
зам директора по научной и учебной работе (1937-1938, 19411942), директор (1944-1949). С 1949 г в МАИ зав.каф.
аэродинамики, зам. директора, директор (1956-1958). Исследовал
устойчивость движения цепочек Кармана, получил решение задачи
о подъемной силе крыла в области закритических углов атаки.
Развил теорию устойчивости движения по Ляпунова в
критических случаях и на конечном интервале времени. Проблемы
существования и устойчивости нелинейных колебаний.
Подготовил 7 докторов и 30 кандидатов наук.
100 лет со дня рождения
Абдул-Монгим Шакурович Аминов
(15.02.1908-03.08.1968)
100 лет со дня рождения
Павел Алексеевич Кузьмин
(16.11.1908-31.07.1992)
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН,
Казанский государственный технический
университет им.А.Н.Туполева