Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное

Решение линейных уравнений,
содержащих неизвестное под
знаком модуля.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
• Рассмотреть примеры уравнений,
содержащих неизвестное под знаком
модуля с точки зрения геометрического
смысла модуля и алгебраического
определения модуля.
• Научиться применять эти методы при
решении уравнений, содержащих
неизвестное под знаком модуля.
Этапы работы над
проектом:
•
•
•
•
Теоретическая часть работы.
Исследовательская проблема.
Практическая часть работы.
Итог работы.
Теоретическая основа проекта.

Именно математика
даёт надёжные
правила: кто им
следует- тому не
опасен обман чувств
Л. Эйлер
Любое действительное число можно изобразить точкой на
числовой прямой.
Расстояние этой точки от начала отсчета на этой прямой равно
положительному числу или нулю, если точка совпадает с
началом числовой прямой
а
О
А
Расстояние от начало отсчета до точки, изображающей данное
число на числовой прямой, называется модулем этого числа.
Модуль числа а обозначается ‫׀‬а ‫׀‬
Способы решения уравнений,
содержащих неизвестное под знаком
модуля
 При решении некоторых уравнений
удобно использовать геометрический
смысл модуля.
 Решить уравнение:‫׀‬х-6‫=׀‬9
В
-9
-3
А
С
6
15
+9
х=6+9=15
х=6-9=-3
Ответ: 15; -3
Способы решения уравнений,
содержащих неизвестное под знаком
модуля.
 При решении уравнений, содержащих несколько
выражений под знаком модуля, удобнее пользоваться
алгебраическим определением модуля:
 Модулем положительного числа и нуля
является само число; модулем
отрицательного числа является
противоположное ему положительное
число.
а, если а≥0
‫׀‬а‫=׀‬
-а, если а<0
Решите уравнение:
‫׀‬2х-12‫׀‬+‫׀‬6х+48‫=׀‬160
 Решение:
 а) Найдём корни(нули) каждого выражения,
содержащего знак модуля:
2х-12=0
6х+48=0
х=6
х=-8
 б) найденные значения х разбивают числовую
прямую на три промежутка:
I
х<-8
III
II
-8
-8<х<6
6
х>6
 в)решение данного уравнения рассматриваем в
каждом промежутке отдельно:
х
х<-8
в этом промежутке оба неравенства, стоящие
под знаком модуля, отрицательны.
 -(2х-12)-(6х+48)=160
-2х+12-6х-48=160
-8х= 196
х=-24,6 (х<-8)
-8≤х≤6
в данном промежутке первое выражение,
стоящее под знаком модуля, отрицательно, а
второе – положительно.
 -(2х-12)+(6х+48)=160
-2х+12+6х+48=160
4х=100
х=25
число 25 не принадлежит данному промежутку
х>6
оба выражения, стоящие под знаком модуля,
положительны
 (2х-12)+(6х+48)=160
2х-12+6х+48=160
8х=124
х=15,8 (х>6)
Ответ: -24,5 ; 15,8
Решение уравнений.
 а)‫׀‬3-х‫=׀‬7
 б)‫׀‬2х-5‫=׀‬39
 в)‫׀‬84-5х‫=׀‬64
 г)‫׀‬28х-37‫=׀‬93
 Ответ:
а) -4; 10
б) 22;-17
в) 29,6; 4
г) -2; 4 9/14
 д)‫׀‬56-8х‫׀‬+‫׀‬36х+144‫=׀‬356
 е)‫׀‬2х-16‫׀‬+‫׀‬5х-20‫׀‬+‫׀‬3х-30‫=׀‬300
 ж)‫׀‬15х-105‫׀‬+‫׀‬12х-288‫=׀‬535
 з)‫׀‬36-12х‫׀‬-‫׀‬5х+20‫׀‬-‫׀‬7х-35‫=׀‬240
 Ответ:
д) -10 ¼; 5 4/7
е) -27,4; 32,6
ж) -5 7/27 ; 34 10/27
з) нет решения.
Проверим вместе:
 а) ‫׀‬3-х‫=׀‬7
-4
х=3-7 х=3+7
х=-4 х=10
Ответ: -4; 10
 б) ‫׀‬2х-5‫=׀‬39
2х=5-39
2х=5+39
2х=-34
2х=44
х=-17
х=22
Ответ: -17; 22
-7
3
10
+7
-39
-34
5
44
+39
 в) ‫׀‬84-5х‫=׀‬64
 г) ‫ ׀‬28х-37‫=׀‬93
5х=84-64
5х=20
х=4
28х=37-93 28х=37+93
28х=-56
28х=130
х=-2
х=4 9/14
5х=84+64
5х=148
х=29,6
-93
-64
84
37
+64
Ответ: 4; 29,6
+93
Ответ: -2; 4 9/14
д)‫׀‬56-8х‫׀‬+‫׀‬36х+144‫=׀‬356
 56-8х=0
36х+144=0
36х=-144
х=-4
-8х=-56
х=7
-4
7
х<-4
-4≤х≤7
х>7
56-8х-36х-144=356 56-8х+36х+144=356
8х-56+36х+144=356
-44х=444
28х=156
44х=268
х=-10 ¹/¹¹
х=5 4/7
х=6 ¹/¹¹
(х<-4 )
(х>7)
Ответ: -10 ¹/¹¹; 5 4/7
е) ‫׀‬2х-16‫׀‬+ ‫׀‬5х+20‫ ׀‬+‫׀‬3х-30‫= ׀‬300
 2х-16=0
5х+20=0
х=-4
х=8
8
-4
3х-30=0
х=10
10
х<-4
-4≤х≤8
8≤х≤10
х>10
16-2х-5х-20-3х+30=300 2х-16+5х+20+30-3х=300
-10х=274 16х-2х+5х+20+30-3х=300 2х-16+5х+20+3х-30=300
х=-27,4
12х=266
10х=326
(х<-4)
х=22 1/6
х=32,6
(х>10)
Ответ: -27,4; 32,6
ж)‫׀‬15х-105‫׀‬+‫׀‬12х-288‫=׀‬536
 15х-105=0
15х=105
х=7
 х<7
105-15х-12х+288=536
-27х=142
х=-5 8/27
(х <7)
12х-288=0
12х=288
х=24
7≤х≤24
15х-105-12х+288=536
3х=353
х=117 2/3
 Ответ: -5 8/27; 34 10/27
24
7
х>24
15х-105+12х-288=536
27х=928
х=34 10/27
(х>24)
з)‫׀‬36-12х‫׀‬-‫׀‬5х+20‫׀‬-‫׀‬7х-35‫=׀‬240

х=3
х=-4
-4
 х<-4
-4≤х≤ 3
-12х+36
-12х+36
+ 5х-20
-5х-20
+ 7х-35
+7х-35
0х=240
-10х=259
х=-25,9
Ответ: нет решения
х=5
3
3≤х≤ 5
12х-36
-5х-20
+7х-35
14х=331
х=23 9/14
5
х>5
12х-36
-5х-20
-7х +35
0х=240
Подведём итог работы
Используя два смысла модуля:
геометрический и алгебраический, мы научились
решать уравнения, содержащие неизвестные под
знаком модуля и закрепили это на примерах.