МСС модуль 2 л10

Лекция 10
Плоское потенциальное
движение несжимаемой
среды
2007. Численные методы…Лекция 10
1
Цели изучения:
Определение потенциала скорости и
функции тока при движении идеальной
среды.
•
Применение метода конформных
отображений для решения задачи обтекания
плоской пластинки и неподвижного
цилиндра. Распределение давления в поле
течения идеальной среды возле цилиндра.
•
2007. Численные методы…Лекция 10
2
Содержание
7.5. Потенциальное движение.
7.5.1. Потенциал скорости. Граничные условия.
7.5.2. Функция тока для плоского движения идеальной
среды
7.5.3. Свойства функции тока.
7.6. Некоторые методы решения газодинамических
задач:
7.6.1. Метод конформных отображений.
7.6.2. Обтекание плоской пластинки идеальной средой.
7.6.3. Обтекание бесконечного цилиндра
идеальной средой.
7.6.4. Распределение давления на поверхности цилиндра
2007. Численные методы…Лекция 10
3
7.5. Потенциальное движение.
7.5.1. Потенциал скорости. Граничные условия
•
Движение идеальной среды называют потенциальным, если в любой
точке пространства, занятого движущейся средой, rot υ  0 . Поэтому
скорость может быть представлена в виде градиента некоторой
скалярной функции φ, которую называют потенциалом скорости, т.е.
(7.5.1)



υ   ,
•
•
•
•
x 
x
,
y 
y
,
z 
z
.
Действительно, движение потенциально, т.к. rot υ  rot  0.
Для потенциального движения rot υ  0 циркуляция по любому
замкнутому индивидуальному или неиндивидуальному контуру в
односвязной области течения равна нулю, т.е. Γ   υ dl   rot υ dS  0.
()
(S )
Это означает, что при потенциальном движении не может быть
замкнутых линий тока, т.к. в противном случае (линия тока совпадает с
замкнутым контуром интегрирования) циркуляция скорости была бы
отлична от нуля.
Баротропное нестационарное движение в поле сил тяжести
описывается уравнением Эйлера (7.1.9, 7.2.9):
 2

υ
(7.5.2)
 υ  rotυ    Ф( P)  gz  .
t
 2



4
Нестационарное уравнение Эйлера
• Для потенциального движения идеальной среды согласно (7.5.1) имеем
υ

  

  
.
t
t
 t 
• Поэтому из (7.5.2) следует нестационарное уравнение Эйлера вида
  2

 Ф( P)  gz  const  f (t ) .
t
2
(7.5.3)
• Постоянная в правой части (7.5.3) при нестационарном движении может
зависеть от времени. Однако в данный момент времени она одинакова для
всех точек пространства, занятого жидкостью. Т.к. необходимо
определить скорости движения среды согласно (7.5.1), то любая функция
времени, добавленная к потенциалу, не изменит результата при
вычислении скоростей. Поэтому можно в уравнении (7.5.3) функцию f(t)
положить равной нулю.
• Для стационарного движения  / t  0 и из уравнения (7.5.3) следует
обычное уравнение Бернулли с постоянной в правой части, не зависящей
ни от координат, ни от времени.
• Для несжимаемой идеальной жидкости div  = 0. Согласно (7.5.1) имеем
(7.5.4)
div    0 .
• Т.о., скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа (7.5.4).
5
Граничные условия
• Согласно (7.5.3) потенциал скорости  должен быть функцией r и t,
а уравнение Лапласа содержит лишь производные по координатам.
Поэтому время в  может быть введено только через граничные
условия вида:
 n  un .
• Здесь n и un  нормальные к поверхности обтекаемого тела
компоненты скорости среды и скорости движения элемента
поверхности тела (если поверхность неподвижна, то un  0 ).
• Для потенциального движения граничные условия можно записать в
виде:


n  n  υ  n   
,
 un .
(7.5.5)
n
n
• Величина u n должна быть задана как функция r и t, т.е. u n  u n (r, t ).
• Т. о., потенциал  в любой точке поля течения несжимаемой среды
зависит от времени так же, как и на поверхности обтекаемого тела.
• С физической точки зрения это означает, что возмущение, а,
следовательно, и взаимодействие между различными элементами
несжимаемой среды распространяется с бесконечной скоростью.
• Поэтому изменение скорости в какой-либо точке на поверхности ведёт
к мгновенному изменению скоростей во всех точках потока идеальной
несжимаемой среды.
6
7.5.2. Функция тока для плоского движения
идеальной среды
• Движение среды называют плоским, если все характеристики движения
зависят только от двух координат х и у или плоское движение  это такое
движение, при котором во всех плоскостях, параллельных координатной
плоскости , его характеристики одинаковы.
• Для описания плоского потенциального движения несжимаемой среды
вводят скалярную функцию ψ - функцию тока, определяемую как:


x 
,
y  
.
(7.5.6)
y
x
• Функция тока условию несжимаемости удовлетворяет автоматически по
ее определению (7.5.6). Действительно,
div υ 
 x  y

 0,
x
y
 
 

 0.
x y  y  x
• Для плоского потенциального движения следует уравнение:
rot υ  0, rot x υ  0 
 y

 x
   


  ,
y
x x y y
  0 .
(7.5.7)
• Т. о., при плоском потенциальном движении несжимаемой среды как
потенциал скорости , так и функция тока ψ удовлетворяют уравнению
Лапласа, т.е. они являются гармоническими функциями. При не
потенциальном движении функция ψ удовлетворяет уравнению, которое
следует после подстановки (7.5.6) в уравнение Громека (7.1.10).
x
7
7.5.3. Свойства 1 и 2 функции тока
•
1. Линии тока  это линии, которые удовлетворяют уравнению ψ = сonst
.Действительно, уравнение линии тока имеет вид:
dx
x
•

dy
,  y dx   x dy  0, 
y


dx 
dy  0,
x
y
d  0,   const .
2. Если на плоскости (x, y) между двумя точками, лежащими на двух
разных линиях тока с ψ1 и ψ2, провести некоторую произвольную кривую,
то поток среды через площадку единичной ширины, ограниченную этой
кривой, определяется разностью значений
y
2
 2  const
dx 
dy
υ
dl
n

1
 1  const

х
Рис. 7.14
функций тока для этих линий тока.
• Действительно, расход жидкости Q через
площадку единичной ширины в направлении
оси z со стороной dl (линия 1-2) в плоскости
(x,y) (рис.7.14) равен:
2
Q    υ  n dl    n x x  n y y dl,
 (l )
1

nx  sin (n, y)  sin  , ny   cos(n, y)   cos .
• Из рис 7.14 очевидны соотношения: sin θ =
dy/dl и cos θ =dx/dl.
8
Свойство 3 линии тока
• Подстановка этих определений в формулу для расхода Q и использование
(7.5.6) для ψ дает:
2
2
2
 
 
(7.5.8)
Q     x dy   y dx    
dy 
dx     d    2   1  .
1
1
 y
x

1
• 3. Линии тока (  const ) и линии равного потенциала (  const )
взаимно ортогональны в каждой точке поля течения.
• Направления нормальных единичных векторов к этим линиям
определяются соотношениями: 

n 

,
n 

.
• Скалярное произведение этих единичных векторов равно:
n  n 
  
1

 
 
     

 .


x

x

y

y


• Но согласно определения потенциала скорости  (7.5.1) и функции тока 
(7.5.6) легко видно, что последнее соотношение равно:
n  n   x y   y x  0.
(7.5.9)
• Т. о., линии тока и линии равного потенциала в точках пересечения
взаимно ортогональны, т.е. пересекается под прямым углом.
9
7.6. Некоторые методы решения
газодинамических задач:
7.6.1. Метод конформных отображений
• Для решения задач о движении идеальной жидкости разработаны
специальные методы математического анализа.
• В соответствии с определениями потенциала  (7.5.1) и функции тока 
(7.5.6) для плоского, потенциального движения идеальной несжимаемой
среды компоненты скорости индивидуальной частицы равны:
(7.6.1)
 


x 
x

y
, y 
y

x
.
• Но соотношения (7.6.1) для функций  и  представляют собой известные
условия Коши - Римана для комплексной функции вида (z) =  + i, где
комплексная функция  является аналитической функцией комплексного
аргумента z = x + iy, т.е. функция (z) в каждой точке комплексной
плоскости (х, у )имеет определенную производную вида
(7.6.2)
d   

dz

x
i
x

y
i
y
  x  i y .
• Функцию (z) называют комплексным потенциалом, а производнуюd dz
- комплексной скоростью. Т. о., используя теорию функций комплексного
переменного, имеется возможность работать не с двумя функциями  и 
от двух аргументов x и y, а лишь с одной комплексной функцией  от
одного комплексного переменного z.
10
7.6.2. Обтекание плоской пластинки
идеальной средой
• Рассмотрим потенциальное (rot υ  0 ) обтекание неограниченно широкой
плоской пластины однородным потоком идеальной несжимаемой среды.
Очевидно, что картина обтекания будет идентична во всех плоскостях,
перпендикулярных пластинке. Поэтому достаточно рассмотреть движение
среды в одной из плоскостей. Пусть пластинка длиной 4r0 (рис.7.15)
расположена вдоль оси комплексной
y
 = const
плоскости . Пусть скорость набегающего
потока на пластинку вдали от нее
 = const
постоянна, равна и направлена вдоль оси .

Картина обтекания в данном случае
очевидна. Действительно, т.к. идеальная
жидкость может беспрепятственно
скользить вдоль пластинки, то пластинка
 2r
2r
x
0
вообще не оказывает никакого воздействия
Рис.7.15
на поток, т.е. плоскопараллельный поток остается таковым вблизи
пластинки и после неё. Тогда линии тока (   const ) такого
обтекания будут линиями, параллельными оси х, а линии равного
потенциала (   const )  перпендикулярными к ней.
1

0
0
1
11
Комплексный потенциал
• Поэтому компоненты скорости потока равны:


 
x 

  ,  y 

 0.
1
x1
y1
1
y1
x1
(7.6.3)
• Из первого равенства (7.6.3) следует:
    x1  const1 ,
    y1  const 2 .
(7.6.4)
• Из второго равенства (7.6.3) следует очевидный факт, что потенциал
скорости   const 3, которая не зависит от у1, а функция тока   const 4,
которая не зависит от х1. Поэтому все 4 константы не зависят ни от х1, ни
от у1 и несущественны, т.к. определяются лишь началом отсчёта, и можно
считать их равными нулю.
• Поэтому комплексный потенциал  ( z1 ) в плоскости x1oy1 равен:
 ( z1 )    i    x1  iy1     z1 .
(7.6.5)
• Далее используем конформное отображение точек комплексной плоскости
x1oy 1
в точки комплексной
плоскости
в форме : xoy
r02
(7.6.6)
z  z  , z  x  iy.
1
z
12
Конформное преобразование
плоскостей
• Стандартное решение уравнения (7.6.6) дает
z  z1 z  r  0, z 
2
2
0
z1
2
z12

4
 r , x  iy 
2
0
x1  iy1
2

x12  y12  2i x1 y1
4
 r02 .
• Рассмотрим, как точки области y1  0,  2r0  x1  2r0 плоскости z1 преобразуются в
точки плоскости z. Пластинка в плоскости x1 oy1 описывается уравнениями
y1  0,  2r0  x1  2r0 . Из предыдущего равенства следует:
x  iy 
x1
2

x12
4
r 
2
0
x1
2
i r 
2
0
x12
4
, x
x1
2
,
y r 
2
0
x12
4
.
• Таким образом, уравнение пластинки в плоскости xoy имеет вид:
x 2  y 2  r02 .
(7.6.7)
• Это уравнение есть уравнение окружности радиуса r0. Точки плоскости z1,
имеющие координаты у1 > 0 или у1 < 0, как нетрудно показать, попадают вне
круга. Т. о., если в комплексной плоскости z1 имеет место обтекание
пластинки шириной 4r0 однородным плоскопараллельным потоком , то в
плоскости z при помощи конформного отображения (7.6.6) оно преобразуется
в поперечное обтекание этим же потоком бесконечного цилиндра радиусом r0.
13
7.6.3. Обтекание бесконечного цилиндра
идеальной средой
• Рассмотрим картину обтекания цилиндра в плоскости xoy (рис.7.16).
Найдём комплексный потенциал  в точке с радиус-вектором r в
полярной системе координат (r, θ):



r02 
r02
 .
   z1    z      r cos  ir sin  
z
r cos  ir sin  


• Умножая числитель и знаменатель дроби данного выражения в скобках
на комплексно сопряженное число, получаем: 2


r0






r
cos


ir
sin


r
cos


ir
sin


    i .
2
y
r
s
r
υ
S
r0

0
Рис. 7.16
x
r

Из этого определения  следуют следующие
формулы для  и ψ :
 r02 
 r02 
(7.6.8)
   1  2 r cos ,    1  2 r sin  .
 r 
 r 

Из (7.6.8) вычислить компоненты r и  скорости υ
в точке r :
 r02 
 r02 


1 

  1  2  sin  . (7.6.9)
r 
  1  2  cos , s  

s
r


r
r
 r 


14
Построение линий тока и
линий равного потенциала
• Используя (7.6.8), можно построить линии тока (   const) и линии равного
потенциала  потенциальные линии (  const). Если ввести безразмерный
модуль радиус-вектора r   r / r0 и безразмерный расход     / 0 , где
 0    r0  1 есть расход жидкости вдали от обтекаемого цилиндра через
площадку высотой r0 и единичной длины (по z), то второе уравнение (7.6.8)
приводится к виду:
 
2
r 
r 1  0.
(7.6.10)
y
sin 
 

•
Задавая величины    / 0  m / n, где m и n

имеют целочисленные значения, и углы θ,

υ
r
υ
возможно по известной квадратурной

r


формуле
вычислить
значения
и r, а затем
r


построить линии тока. Аналогично
0
x
строятся и линии равного потенциала.
Рис. 7.17
•На рис 7.17 изображена примерная картина расположения линий тока и
линий равного потенциала при обтекании цилиндра. В силу симметрии
изображена лишь верхняя половина поля течения.
2
1
0
r

2
1
0
S
0
15
7.6.4. Распределение давления на
поверхности цилиндра
•
•
•
Вычислим силу, действующую на единицу длины цилиндра со стороны
движущейся среды Для этого вычислим распределение давления по его
поверхности, используя уравнение
Бернулли
для какой-либо линии тока
2 P
2 P

 const 
 .
(7.6.11)
2

2 
Для линии тока, идущей по поверхности цилиндра (r = r0), с учетом (7.6.9)
квадрат скорости в любой точке на поверхности цилиндра равен
 2 (r  r0 )  r2  2  42 sin 2  .
(7.6.11а)
Из (7.6.11) следует распределение давления в любой точке поля течения
около цилиндра P(r) и на его поверхности цилиндра P(r = r0):
    (r ) 

(7.6.12)
1 
 , P(r  r )  P 
1  4 sin  .
P( r )  P 
2 
 
2
Из (7.6.12) видно, что давление максимально при углах  = 0 и  (см. рис.
7.18), т.е. в критических точках А (θ=180) и В(θ =0) , и равно ( как это и
следовало ожидать для точек полного торможения потока) PA  PB  P   2 2 .
Давление P в точках С и D на поверхности цилиндра равно давлению в
1

5
набегающем потоке при условии: 1  4 sin 2   0, sin 2   , 1  ,  2  ,

•
•
2

2
2

0

2

2
4
6
6
16
Распределение давления на поверхности
т.е. в точках С(150) и D(30) (см.рис.7.18). Если для наглядности
вдоль радиусов, проведённых из центра полукруга под различными углами ,
2
отложить величину 2P  P     , принимая её положительной и
направленной по нормали к внешней стороне поверхности на интервалах 0
< < 300 и 1500 < < 1800, а на интервале 300 < < 1500 - отрицательной и
направленной по нормали к внутренней стороне поверхности, то получим
эпюру распределения относительной разности давлений, изображенную на
На участках АС и ВД единичные площадки на
рис.7.18.
y
поверхности испытывают сжатие под действием
сил давления, а на участке СД - растяжение, т.е.
C
(-)
D
силы давления, действующие на поверхность
цилиндра, стремятся деформировать (растянуть)
(+)
150
30
(+)
его вдоль оси, перпендикулярной набегающему
A
О
B
x
Рис. 7.18
потоку. Если бы для измерения скорости вместо
трубки Пито воспользоваться цилиндром, то отверстие, которое должно воспринимать
давление Р∞ в набегающем потоке вдали от тела, должно быть сделано в одной из
точек C или D.
E
17
Вычисление силы сопротивления и
подъемной силы
• Вычислим силу F , с которой поток идеальной среды действует на
единицу длины цилиндра в направлении оси z, перпендикулярной скорости
набегающего потока, или силу лобового сопротивления. Для этого достаточно
просуммировать силы давления, действующие на элементы поверхности
цилиндра. По определению (3.2.1) имеем:
F   σ ( n ) dS, Fi    i( n ) dS .
(S )
(S )
n 
• Но для идеальной среды  i   ik nk   P ik nk   Pni . Если ось i совпадает с
осью x, то сила лобового сопротивления Fx равна
Fx    Pnx dS    Pnx d  1,
2
S 
S 
2


 2
Fx    P cos  r0d     P 
1  4 sin 2 
2
0
0 


 cos  r0d  0 .

(7.6.13)
• Данный результат и составляет содержание парадокса Даламбера. Этот
вывод справедлив не только для цилиндра, но и для тела произвольной формы
(например, эллипса). При обтекании тел идеальной несжимаемой средой,
если движение среды потенциально, сила Fx равна нулю.
18
Подъемная сила
• Из симметрии движения очевидно, что и подъёмная сила Fy также равна
нулю
2
Fy    P  n y  d  1    P sin  r0 d  0.
(7.6.14)
()
0
•Этот удивительный результат был предметом длительной дискуссии
Даламбера и Эйлера. Даламбер говорил в 1744 г.: «Странный парадокс,
объяснение которого предоставляю математикам». Слово «парадокс» (погречески неожиданный) в науке означает неожиданное явление, не
соответствующее обычным представлениям. Объясняя этот парадокс, русский
ученый Эйлер предполагал в 1755 г., что реальная жидкость не похожа на
идеальную. Эйлер писал: «Если некоторые люди увлекутся и будут думать,
что можно продвигать тела через жидкость, не встречая сопротивления, т.к.
сила, с которой жидкость действует на переднюю часть тела, будет
уничтожаться действием такой же силы на заднюю часть, что не имеет места
при движении действительных жидкостей, то такой вывод будет неправилен».
Эйлер отмечал влияние трения реальных сред на происхождение
сопротивления тел. Т. о., парадокс Даламбера не должен иметь места при
движении реальных, хотя бы и маловязких жидкостей.
19
В каких случаях идеальной среды парадокс
Даламбера не имеет места?
• 1. В общем случае сила сопротивления может возникать при движении тела
в идеальной среде с разрывом скоростей на некоторых поверхностях,
отходящих от поверхности обтекаемого тела. Так, при обтекании цилиндра
модель идеальной среды допускает существование за телом некоторой
застойной зоны неподвижной среды, ограниченной линиями АВ и СD разрыва
скорости (рис. 7.19).
Очевидно, что для существования застойной зоны
идеальной среды давление в ней должно быть
однородным и равным неизменному давлению вдоль
A
B
линий разрыва АС на рис.7. 19. Тогда давление в
30
застойной зоне должно быть равно давлению на
D
C
поверхности тела в точке возникновения разрыва B или
D. Но, как следует из предыдущего параграфа, давление
в точке B или D меньше давления в любой точке
Рис. 7.19
передней части обтекаемого тела. Поэтому сила, с
Которой среда действует на переднюю часть тела, больше, чем сила, действующая на
его заднюю часть, т.е. возникает некоторая сила сопротивления. Этот прием, т.е.
рассмотрение некоторых разрывных течений идеальной жидкости, используется при
вычислении подъемной силы и силы сопротивления крыла самолета, а также в других
задачах гидродинамики.
0
20
Волновое сопротивление и ударные волны
• 2. Парадокс Даламбера не имеет места при движениях тела в среде с
образованием волны. Например, при движении частично погруженного тела
на поверхности среды, находящейся в поле тяжести, образуются волны,
которые являются источниками так называемого волнового сопротивления.
• 3. Парадокс Даламбера отсутствует и при движении тела со
сверхзвуковыми скоростями в сжимаемой идеальной среде, когда в ней
образуются ударные волны (см. раздел «Газовая динамика»).
21
Выводы
Введены определения и получены основные
закономерности, описывающие изменение
характеристик в поле течения среды около
цилиндра:
• Потенциальное движение:
1. потенцциал скорости;
2. функция тока и ее свойства.
• Метод конформных отображений:
1. комплексный потенциал и комплексная скорость;
2. распределение скорости около цилиндра;
3. построение линий тока и линий равного потенциала.
2007. Численные методы…Лекция 10
22
Информационное обеспечение
лекции
•
•
•
•
Литература по теме:
Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.. Гидродинамика. М.:
Наука. 2002. 735с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.:
Наука. 1970. Т.1. 492 с.; Т.2, 568с.
Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: ГИТТЛ. 1950.
814 с.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:
Наука. 1970. 736 с.
2007. Численные методы…Лекция 10
23
Справочные данные
Курс лекций является частью учебно-методического
комплекса «Численные методы расчета задач механики
сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная
среда».
Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н.,
профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ.
Учебно-методический комплекс подготовлен на
кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.
электронный адрес: porodnov@dpt.ustu.ru
24