Задача о площади криволинейной трапеции y B y=f(x) f(ξi) A ξ1 ξ2 ξ3 ξi a x1 x2 xi-1 ξn xi b x n Sn f ( )x k k k 1 Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию. n Площадью криволинейной трапеции является S lim max x k 0 f ( )x k k 1 k Определение определенного интеграла Пусть функция y=f(x) определена на [a, b]. 1). Разобьем [a, b] на n частей точками x1 < x2 < … < xk <…< xn-1. T={a=x0, x1, x2, …, xn=b} называется разбиением на отрезке [a, b], каждый отрезок [xk-1, xk] называется элементарным, xk = xk – xk-1 – их длина. 2) На каждом элементарном отрезке [xk-1, xk] выберем точку k произвольно!!! (k ∈ xk). 3) Вычислим f(k) ∈ k. 4) Составим произведение f(.k) xk , k 1, n Множество 5) Запишем интегральную сумму (T , ) n f ( x ) x k k k 1 6) Перейдем к пределу так, что max x k 0 – интегральная сумма Римана Определенным интегралом или интегралом Римана на отрезке [a, b] называется предел интегральной суммы при n→∞ b n f ( x)dx lim (T , ) lim f ( )x 0 a 0 i i 1 i (1) Теорема 1. Необходимый признак интегрируемости Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a, этом отрезке. b], то она ограничена на Следствие: если функция не ограничена на отрезке [a, b], то она не интегрируема на [a, b]. Пример. Доказать, что функция Дирихле не интегрируема на отрезке [a, Функция Дирихле b]. 1 , x Q ( множеству рациональных чисел) f ( x) 0 , x J ( множеству иррациональных чисел) Основные свойства определенного интеграла. a 1. f ( x)dx 0 a 2. 3. 4. a a b f ( x)dx f ( x)dx b b a a k f ( x)dx k f ( x)dx b b b a a a f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx b 5. b c b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a a c каково бы ни было расположение точек a,b,c. 6. Если функция y=f(x) интегрируема и неотрицательна на [a, b] и a<b, то b f ( x)dx 0 a 7. Если две функции y=f(x) и y=g(x) интегрируемы на [a, f(x) ≤ g(x) для любого x ∈ [a, b], то b b a a f ( x)dx g ( x)dx 8. b], a<b и g(x) y f(x) b b a a f ( x)dx f ( x) dx a b x x 9. Если функции y=f(x) непрерывна на [a, b], a<b и ∀ x∈[a, b] выполняется m ≤ f(x )≤ M , то y M f(x) m b m(b a) f ( x)dx M (b a) a a 10. Теорема о среднем Пусть функция y=f(x) интегрируема на [a, b] и ∀x∈[a, b] выполняется m ≤ f(x )≤ M , тогда b x x b x x f(x) y f(c) b f ( x)dx (b a) a a Геометрически: при некотором значении с c ∈ [a, b] f(с) = . Площадь под кривой f( x ) ≥ 0 – площадь криволинейной трапеции – равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной среднему значению функции на этом отрезке. f(с) = – среднее значение функции. Достаточные условия интегрируемости (классы интегрируемых функций) Теорема 2. Если функция y=f(x) определена и непрерывна на [a,b], то она интегрируема на [a,b]. Теорема 3. Если функция y=f(x) монотонна и ограничена на [a,b], то она интегрируема на [a,b]. Теорема 4. Если функция y=f(x) имеет конечное число точек разрыва первого рода на [a,b], то она интегрируема на [a,b]. y y=f(x) a b x Определенный интеграл с переменным верхним пределом. y=f(x) интегрируема на [a, b] тогда она интегрируема на любом отрезке [a, x], где a ≤ x ≤ b и имеет смысл Опр. 2. Пусть функция интеграл x f (t )dt J ( x) (2) a J(x) определена на [a, b] и называется интегралом с переменным верхним пределом. Теорема 5. Пусть функция b]. Определенный интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной на [a, b] функции y=f(x) является первообразной для подынтегральной функции f(x) то есть y=f(x) непрерывна на [a, J ( x) f ( x) x [a, b] ( 3 ) x (Или функция J ( x) f (t )dt a имеет производную x [a, b] причем J ( x) f ( x)) Следствие Теорема 5*. Всякая непрерывная функция имеет непрерывную первообразную Теорема 6. (Ньютона-Лебница) Если F(x) - какая-либо первообразная от непрерывной функции y=f(x) , то справедлива формула b f ( x)dx F ( x) b a F (b) F (a) (4) a b a - знак подстановки. Читают F(x) от a до b. Замечание. Формула Ньютона-Лейбница справедлива и для кусочнонепрерывных функций. Методы вычисления определенного интеграл - Табличное b - Интегрирование по частям UdV UV b b a a - Интегрирование методом подстановки Теорема 7. Пусть функция b y=f(x) непрерывна VdU a на [a, b] и дан интеграл f ( x)dx a Введем новую переменную Если 1) 2) 3) t по формуле x = j (t) j(a) = a, j (b) = b j(t) и j'(t) непрерывны на [ a, b ] f [j (t)] определена и непрерывна на [a, b ] то b b a f ( x)dx a f (j (t ))j (t )d t Интегралы по симметричному промежутку от четной и нечетной функции. Теорема 7. Пусть a y=f(x) непрерывная четная на [- a, a] функция, тогда y a f(x) f ( x)dx 2 f ( x)dx a S1 0 S2 -a Теорема 8. Пусть y=f(x) непрерывная нечетная a на [- a, a a] функция, тогда y a f ( x)dx 0 f(x) -a S+ a x S- x