Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.

«Приведенное квадратное
уравнение. Теорема Виета»
Квадратные уравнения
полные
произвольные
Произвольные
квадратные
уравнения
неполные
приведенные
квадратные
уравнения
Формула корней квадратного уравнения
D =?
Х =?
Сформулируем определение
приведенного квадратного уравнения.
Определение. Квадратное уравнение
вида
х 2 приведенным.
рх  q  0
называется
Это значит, что старший коэффициент
2
х
4х  1 
0
уравнения равен
единице.
Пример:
Всякое квадратное уравнение может
быть приведено к указанному виду.
Для этого необходимо
разделить обе
а0
части уравнения на
Реши уравнения
№
Уравнение
Корни
уравнения
Сумма
корней
Произведение
корней
1. х2 + х –12 = 0
3 и –4
-1
-12
2. х2 - 12х – 45 = 0
15 и -3
12
-45
3. у2+ 8у +15 = 0
-3 и –5
-8
15
4. у2- 5у +6 = 0
2и3
5
6
5. z2-10z +21 = 0
3и7
10
6. z2- 3z -10 = 0
5 и -2
3
21
-10
Найдите связь между коэффициентами а, b, с, суммой и
произведением корней квадратного уравнения.
Сделайте вывод.
Как связаны между собой корни квадратного
2
х
 рх  q
трёхчлена
и его коэффициенты
p и q?
Ответ на этот вопрос дает теорема, которая
носит имя «отца алгебры», французского
математика Ф.Виета.
Знаменитая теорема была обнародована
в 1591 году.
Теорема Виета:
х2 + рх + q= 0,
х1+ х2 = -р ,
х1• х2 = q.
Сумма корней приведенного
квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому
с противоположным знаком, а
произведение корней равно
свободному члену
Докажите теорему самостоятельно по следующему плану:
1. Запишите приведенное квадратное уравнение.
2. Запишите формулы его корней.
3. Найдите сумму и произведение его корней.
4. Сделайте вывод.
Вывод формулы корней приведенного
квадратного уравнения
х 2  рх  q  0
a  1; b  p; c  q;
D  p 2  4  1  q  p 2  4q;
 p D
х
2
p
D
х 
2
2
Найдем произведение корней приведенного
квадратного уравнения
p
D
p
D
х1  х2  ( 
)(  
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2


p 2
D
p
D
p  ( p  4q )
 
 ( )  




2
4
4
4
 2 
p  p  4q 4q


q
4
4
2
2
Найдем произведение корней приведенного
квадратного уравнения
p
D
p
D
х1  х2  ( 
)  ( 
)
2
2
2
2
p
D p
D 2p
 
 

 p
2
2
2
2
2
Сформулируем еще раз теорему Виета
Сумма корней приведенного
квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому
с противоположным знаком, а
произведение корней равно
свободному члену
х2 + рх + q= 0,
х1+ х2 = -р ,
х1• х2 = q.
Франсуа Виет
1540-1603
Французский математик, ввел систему
алгебраических символов, разработал основы
элементарной алгебры. Он был одним из
первых, кто числа стал обозначать буквами,
что существенно развило теорию уравнений.
Он был адвокатом, позднее –
советником французских королей Генриха III и
Генриха II.
Однажды он сумел расшифровать
очень
сложное
испанское
письмо,
перехваченное французами. Инквизиция чуть
не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с
дьяволом.
Франсуа Виета называют «отцом
буквенной современной алгебры»
Сформулируем утверждение, обратное
теореме Виета.
Если числа х1 и х2 таковы,…
…что их сумма равна –р,
а произведение равно q,
то эти числа являются корнями
уравнения х2 + рх+ q = 0
Пример: Найти корни уравнения х2 - 5х + 6 = 0
Решение:
p = -5; q = 6.
x1  x2 = 6;
x1 + x2 = 5,
Значит, числа х1 и х2 положительные ,
т.к. x1  x2 = 6>0
Необходимо найти два положительных числа,
произведение которых равно 6.
Перечислите все возможные пары чисел:
2 и 3; 6 и 1; -2 и -3; -6 и -1
Теперь из этих пар выберем те, которые в сумме
дают 5
Ответ:2;3
Чему равны сумма и произведение корней
квадратного уравнения ax2+ bx + c = 0 ?
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.
Запиши
символами
то, что
сказано
словами.
Чему равны сумма и произведение корней
квадратного уравнения ax2+ bx + c = 0 ?
Сделаем из данного уравнения приведенное ax2+ bx +
c=0
ax2+ bx + c = 0
b
c
х  x 0
a
a
2
b
p 
a
:a (поделим все уравнение
на а, чтобы старший
коэффициент =1 )
c
q
a
х2 + рх + q= 0,
х2 + рх + q= 0,
х1+ х2 = -р ,
х1+ х2 = -b\a ,
х1• х2 = q.
х1• х2 = c\a.
Для чего нужна теорема Виета?
практическое
значение
Для чего нужна теорема Виета?
Практическое значение:
зная корни квадратного
уравнения, запишем само
уравнение
х2 + рх + q= 0,
х1+ х2 = -р ,
х1• х2 = q.
Пример: х1 = 6, х2 = -2 ; х2 + р х + q = 0.
х1 + х2 = 6 +(-2)= 4, р = -4;
х1 • х2 = 6 • (-2)= -12, q = -12.
х2 – 4 х –12 = 0
Запишите квадратное уравнение, корни
которого равны:
а) 3 и 4 ;
х2 – 7х + 12 = 0
б) - 2 и 5 ;
х2 – 3х – 10 = 0
в) 0,4 и 1,5
х2 – 1,9х + 0,6 = 0
Подведение итогов
Ответьте на вопросы:
1. Какие уравнения называются
приведенными?
2. Можно ли обычное квадратное
уравнение сделать приведенным?
3. Сформулируйте теорему Виета.
4. Зачем нужна теорема Виета?
5. Сформулируйте теорему, обратную
теореме Виета.
Подведение итогов
Ответьте на вопросы:
6. Чему равна сумма и произведение
корней уравнения:
а ) х  41х  17  0,
2
б ) х 2  19 х  35  0,
в ) х  17 х  0,
2
г ) 2 х  6 х  3  0.
2