Расчеты свойств графена в рамках КТП I. Fialkovsky1,2, D. Vassilevich2,3 1 Instituto de Fisica, Universidade de Sao Paulo, Brazil 2 Department of Theoretical Physics, St. Petersburg State University, Russia 3 Universidade Federal ABC, Sao Paulo, Brazil Contents Общие свойства графена Приближение сильной связи Лагранжев формализм и КТП Оптические свойства графена Эффект Казимира 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 2 Nobel Prize 201x Statement awarding Novoselov, Geim, et al. Graphene is a wonder material with many superlatives to its name. It is the thinnest material in the universe and the strongest ever measured. Its charge carriers exhibit giant intrinsic mobility, have the smallest effective mass (it is zero) and can travel micrometer-long distances without scattering at room temperature. Graphene can sustain current densities 6 orders higher than copper, shows record thermal conductivity and stiffness, is impenetrable to gases. Electron transport in graphene is described by a Dirac-like equation, which allows the investigation of relativistic quantum phenomena in a bench-top experiment. Graphene: status and prospects, by A. K. Geim, arXiv:0906.3799 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 3 Углеродные соты A. Geim, (2009) Графит Фулерены Нанотрубки A. Geim, K. Novoselov (2007) Межатомное расстояние – 1.42 Å. Расстояние между слоями – 3 Å. 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 4 Кристаллическая структура Электроны: • sp2 дают сильные ковалентные -связи внутри плоскости • слабо-пересекающиеся pорбитали перпендикулярно плоскости. Кристаллографически: Два типа неэквивалентных атомов = две подрешетки Браве с двумя атомами в элементарной ячейке 1 3 1 3 a1 a , , a a , 2 2 2 2 2 1 a1 a2 3, 2 a1 3 2a2 3, 3 2a1 3 a2 3, 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 5 Модель мильной связи Гамильтониан pi-электронов, перескакивающих на соседний атом H t a † n , n , b с.с. n, i , t - параметр перескока, n - положение атома, , - спин В Фурье-представлении H d 2k † ˆ H 2 BZ (2 ) a (k ) (k ) b ( k ) (k ) 0 ˆ H ( k ) 0 02.2010, DIAS an , eik a (k ) (k ) t e ik (k )e i ( k ) i КТП и графен,Фиалковский И. 6 Энергетический Спектр Энергия квази-частиц (k ) t 1 4cos 2 kx a 2 E ( k ) ( k ) 4cos kxa 2 cos kya 2 a - шаг решетки В близи дираковских К-точек линейный спектр E(k ) vF k t vF 106 m s Скорость Ферми t 0.1 eV Перескок на следующий атом 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 7 Низкоэнергетическое приближение Из шести К-точек только две независимы. В их окрестности можно ввести 4-х компонентное представление ( p) a K p , b K p , a K p , b K p T Таким образом низко-энергетические квази-частиц – дираковские релятивистские фермионы H NB! 02.2010, DIAS 0 p ip 2p d y † x vF 2 0 DC (2 ) 0 px ip y 0 0 0 0 0 0 px ip y 0 px ip y 0 0 Вместо обычного спина - долинность. 8-кратное вырождение: 2 под-решетки * 2 долины * 2 спина КТП и графен,Фиалковский И. 8 Функционал действия x1 Действие выписывается легко (сразу с ЭМ полем) S S EM S x3 S d x i eAx3 0,a m ... 3 x2 SEM 14 d 4 x F2 a l l , l 0,1,2 , 0 0 1,2 c 1, vF v F , 1,2 2 0 1,2 2 (300) 1 1 В качестве второй пластины может быть проводником или другим графеном. Модель хорошо обоснована и подтверждена экспериментально: поглощение света, нестандартный эффект Холла Gusynin et al, 2004 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 9 Производящий Функционал Производящий функционал функций Грина 2 i ( x ) i eA m AJ ( ) i F 3 Z [ J , ] D [ A ] e 4 В частности, энергия Казимира определяется каак EQFT i Ln Z [0] TS Для вычисления ПФ сначала отинтегрируем фермионы Z[ J ] D A e i F 2 i ( x ) S ( A) AJ 3 eff 4 где эффективное действие формально дается Seff A i Ln Det i eA m 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 10 Поляризационный оператор В квадратичном приближении эффективное дейсйтвие SEff 1 2 3 3 lm d xd y A ( x ) ( y x ) Am ( y ) l Al Am |x3 0 x ( x 0 , x1 , x 2 ) Поляризационный оператор был вычислен многократно и давно j l p p mn m jl ( p) 2 j ( p) g 2 vF p n jkl i ( p) pk l ( p ) 2mp ( p 2 4m 2 ) arctanh( p 2m) / 2 p mj diag(1, vF , vF ), ( p) 2m arctanh( p 2m) p 1 p j l j p l Semenoff, 1984, Redlich, 1984, Appelquist, 1986, Dunne, 1996-1999, etc. 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 11 Эффективная ЭМ теория В этом приближении эффективное действие для ЭМ поля S d 4 x 14 F2 12 x3 Al lm Am Теперь можно исследовать классическую физику с модифицированными уравнениями Максвелла F x3 A 0 или чисто квантовые эффекты как энергия Казимира QFT E i i 1 Ln Z [0] Tr( D ) TS 2TS TS Волнистая линия – фотонный пропагатор D ( x, y ) Но обе задачи связанны, см. ниже! 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 12 Распространение плоских волн Дельта-потенциал A |z 0 A |z 0 , A z x1 условия сшивки на границе A z z 0 A z 0 |z 0 x3 x2 Для линейно-поляризованной волны A eit e x eik3 z rxx e x rxy e y e ik3 z , z 0 ik3 z t e t e e , z0 xx x xy y Можно получить коэффициент прохождения A t xx t xy 2 2 1 Im O( 2 ) 2 И угол поворота поляризации Re 2 O( 2 ) I V Fialkovsky and D V Vassilevich, 2009 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 13 Квантовый эффект Фарадея Аналогичные вычисления можно провести в магнитном поле B с ненулевым химическим потенциалом mu и при температуре T 0 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 14 Эффект Казимира Квантовая Электродинамика: Два незаряженных параллельных проводника приитягиваются Eid .C . 2 720a 3 Предсказано Казимиром в 1948, экспериментально подтверждено с точностью до 0.5% 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 15 «Оптическая» энергия Казимира Результаты исследования распространения TE и TM мод ЭМ поля позволяет использоваться формулу Лифшица для вычисления ЭК 3 d p L 2 pa ( gr ) ( c ) 2 pa ( gr ) ( c ) E ln 1 e rTE rTE 1 e rTM rTM 3 16 Lifshitz, 1956, Jaekel, Reynaud, 1991, Bordag 1995 Коэффициенты отражения ( gr ) rTE , 2 p ( gr ) rTM p 2 p p графен (c) rTE 1, (c) rTM 1 Идеальный проводник Энергию можно вычислить и в рамках «чистой» КТП через диаграммы и тп 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 16 Асимптотики Энергии Казимира Явные выражения позволяют вычислить асимптотики 2 N 2 v L F E a 96 2 ma 4 Большие расстояния: убывание быстрее Короткие расстояния: как идеальный пров. E N 1 L a 0 16 a 3 h , N , v F 1 v2 F 1 h , N , v F arcsinh 2 vF 16 1 v F 02.2010, DIAS 2 vF2 КТП и графен,Фиалковский И. O( 2 ) 17 Энергии Казимира численно Lifshitz QFT Нормировка на энергию двух идеальных проводников 02.2010, DIAS Eid .C . КТП и графен,Фиалковский И. 2 720a 3 18 Graphene reviews M. I. Katsnelson and K. S. Novoselov Graphene: new bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics arXiv:cond-mat/0703374v2 V. P. Gusynin, S. G. Sharapov, J. P. Carbotte AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics arXiv:0706.3016v2 A. K. Geim, Graphene: status and prospects arXiv:0906.3799 Results presented here I. V. Fialkovsky, Suspended graphene films and their Casimir interaction with ideal conductor arXiv:0910.1940 M. Bordag, I. V. Fialkovsky, D. Guitman, D. V. Vassilevich Casimir interaction between graphene and a perfect conductor Phys. Rev. B 80, 245406 (2009), arXiv:0907.3242 I. V. Fialkovsky, D. V. Vassilevich Parity-odd effects and polarization rotation in graphene J. Phys. A: Math. Theor. 42 (2009) 442001, arXiv:0902.2570 02.2010, DIAS КТП и графен,Фиалковский И. 19