14521_no11

ГРАНИЦА НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЫ
Рис.
   0   (| E |2 )
s-поляризация
E  (0, E y ,0) exp( it )
Нелинейное уравнение Гельмгольца
2E y
x
2
E y  E ( z ) exp(ik x x )

2E y
z
2

2
c
2
 Ey  0
d 2E 2
2
 2  0 E  2  E  0
2
dz
c
c
2
 kxc 
0  
  0
  
ПРОЗРАЧНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ СРЕДА
Im  0
Интеграл движения
E ( z )  A( z ) exp(i( z ))
d
CA
dz
2
- поток мощности излучения в направлении z
МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
d2A
F
2
dz
C 2 2
F  F ( A; C )  3  2 [  0   ( A2 )] A
A
c
A
U    F ( A) dA
Механическая аналогия
2
1  dA 
   U ( A)  W  const
2  dz 
dA
  2[W  U ( A)]
dz
A

dA
 ( z  z0 ), z0  const
2[W  U ( A)]
z
dz
( z )  ( z0 )  C  2
A ( z)
z0
-точный общий вид поля плоских монохроматических волн
в прозрачной среде с произвольным видом нелинейности
показателя преломления
Граничные условия
непрерывность E и dE/dz при z = 0 и z = d
Im 1  0
z0
- прозрачная линейная среда
d E 
2
  2 1  k x  E  0
2
dz
c

2
2
E  Ein exp(ik z1 z )  Er exp( ik z1 z ) ( z  0),
Основной вариант
k 
2
x

c
2
2
1
kx 

c
1 sin  , k z1 

c
1 cos ,
 0  1 sin 2    0 .
E  Et exp(ik z 3 z ) ( z  d ),
В последней линейной среде
kz3 

c
 3  1 sin 2  , Re k z 3  0.
Условия на границах нелинейного слоя
Ein  Er  A0 exp(i 0 ),
 C

ik z1 ( Ein  Er )  i  2[W  U ( A0 )]  exp(i 0 ),
 A0

1
ik z 3 
Ad
 C

 2[W  U ( Ad )]  .
i
 Ad

A0  A(0),  0   (0),

Ad  A( d ).
d 0
k z1 ,
3 комплексных уравнения с заданными
kz3
и амплитудой падающей волныEin
Ad ) комплексную амплитуду отраженной волныE r
позволяют определить (выразить через
и 4 вещественные величины C, W,A0 и  0 . Само значениеAd
находится из уравнения для А при задании толщины нелинейного слоя d.
ОТРАЖЕНИЕ ОТ НЕЛИНЕЙНОГО СЛОЯ
Если 3-я среда (z > d) непоглощающаяIm
( 3
2
 0 ) и  3  1 sin   0 , то
W  U ( Ad ), C  k z 3 Ad2
При
 3  1 sin 2   0
независимо от прочих условий реализуется
полное внутреннее отражение (ПВО),
коэффициент отражения (по интенсивности)
R | Er / Ein | 1
-решение задачи о плоских волнах в нелинейном слое в общем виде.
Результаты определяются типом нелинейности и углом падения.
Потенциальные функции U(A;C) четные по А и С, достаточно рассматривать только область A > 0.
При
C 0
A0
потенциал обладает степенной расходимостью при
Отражение плоской волны от
полупространства нелинейной среды
Продольная зависимость амплитуды A(z) сопоставляется расположенным в допустимых
областях U(A) < W отрезкам горизонтальных прямых W = const.
Для керровской нелинейности среды
   2 A2
1  C 2 2 
1
2
4 
U   2  2  0 A   2 A 
2A
c 
2

A(z) выражаются через эллиптические функции.
Смысл параметра
0
Для линейных сред(2  0 ) при
0  0
реализуется ПВО, коэффициент отражения R = 1, при удалении от границы среды
(z = 0) интенсивность излучения убывает до нуля:
A 2  0 при z  
При  0  0 имеет место режим прохождения (РП), коэффициент отражения R < 1,
интенсивность излучения в среде не зависит от продольной координаты z.
2
В соответствии с различным сочетанием знаков коэффициента нелинейности
и линейного параметра 0 имеются 4 варианта семейства «потенциальных кривых»
Вариант 1
2  0
0  0
Рис.
Требование ограниченности поля в нелинейной среде при
C  0, W  0,
dA
0
dz
A( z )  0 при z  
z
Коэффициент отражения
Начальная точка траектории отвечает границе среды z = 0
 0   2 A02 / 2 
A0 
,
Ein exp( i 0 )   1  i

2 

cos

1


 0   2 A02 / 2 
A0 
.
Er exp( i 0 )   1  i

2 

cos

1


Взаимно-однозначная (монотонная) связь между интенсивностями
I 0   0   2 A02 / 2 
I in   1 
4
1 cos2  
коэффициент отражения по интенсивности R
(ПВО)
и
отражения r
амплитудный
R  I r / I in  1
коэффициент
1 cos   i  0   2 A02 / 2
Er
r

,
2
Ein
1 cos   i  0   2 A0 / 2
| r |2  R  1.
Коэффициент отражения*
Фаза коэффициента отражения arg r монотонно меняется от ее значения в линейном пределе (при
I in  0 ) до значения –π приI in  
(Ограничение: здесь фиксирован вид керровской нелинейности).
Явный вид поля в нелинейной среде
A( z ) 
.
z0  0
2 0 / |  2 |
sh[( / c)  0 ( z  z0 )]
A0 
2 0 / |  2 |
sh[( / c)  0 | z0 |]
Вариант 2
2  0
0  0
Режим прохождения - РП
(рис.)

 

E ( z )  A0 exp i   0 
 0   2 A02 z 
c

 
C

c
 0   2 A02
Im r = 0
 0   2 I 0
I0 
I in   1 
4 
1 cos 



1
Ein exp( i 0 )  (1  p ) A0 ,
2
1
Er exp( i 0 )  (1  p ) A0 ,
2
Er 1  p
r

,
Ein 1  p
p
 0   2 A02
1 cos 
.
Коэффициент отражения
При больших интенсивностях (p >> 1)
При условии
r  1
1 sin 2    0  1
I in
коэффициент отражения r меняет знак при изменении интенсивности
обращаясь в нуль при  2 I in
 1   0
(нелинейное просветление, рис.).
Бистабильность в этом варианте отсутствует.
Вариант 3
2  0
Потенциальные кривые при C 2
0  0
Рис.
 C12  (4 / 27)( 2 / c 2 ) | 0 |3 /  22
z
не имеют экстремумов, поэтому ограниченным при
2
C
распределениям поля могут отвечать только значения
 C12
«Энергия» W выбирается так, чтобы траектория A(z) при
z
приходила в вершину потенциальных кривых
W  U ( AC , ),
AC ,  A( z  ), E z  AC , exp(iCAC2, z )
Волне, уходящей от границы раздела вглубь нелинейной среды, отвечают C > 0.
Естественные условия на бесконечности удовлетворяются при
0  C  C1
Режимы прохождения (РП)
РП существует при 0  I 0 |  0 /  2 |
Для амплитудного коэффициента отражения r в РП сохраняются прежние выражения (*).
Но теперь соотношение интенсивностейI in
и
I0
отвечает немонотонной зависимости с единственным максимумом (рис.).
При интенсивностях падающей волныI in  I in(1)
(1)
(m)
существует один режим прохождения, в диапазоне I in  I in  I in
таких режимов два (вопросы устойчивости здесь не обсуждаются), а при
I in  I in( m ) режимы прохождения не существуют.
Гибридные режимы (ГР)
Траектории асимптотически (при
z  ) приходят в вершины потенциальных кривых (рис.)
Для них значение «энергии» W однозначно связано с величиной С параметрической зависимо
AC ,
через асимптотическое значение амплитуды
W  U ( AC , ), C 
2
2
c2
AC4 , (  0   2 AC2 , )
Для ГР амплитуда поля в нелинейной среде вблизи границы z = 0 убывает, как в режиме ПВО
AC , , как для РП.
а при больших удалениях от границы приближается к постоянному значению
«Проблема континуума»
Для ГР естественных условий на бесконечности недостаточно.
Для определения комплексной амплитуды отраженной волны
и вещественных величин
A0
Er
0
и С имеются только два комплексных уравнения.
Отсюда вытекает не имеющая аналога в линейной оптике так называемая «проблема континуума»:
при фиксированном угле падения и параметрах сред одной и той же (достаточно высокой)
интенсивности падающей волны отвечают бесконечно много (континуум) гибридных режимов,
отличающихся значением коэффициента отражения и видом поля в нелинейной среде.
Частный случай
dA
0
dz
C  C1 ,
A ( z)  A
2
AC21 , 
2
C1 ,
(максимальный поток энергии)
2

,
2
|  2 | ( / c) ( z  z0 )
2 0
.
3 2
z0  0
При фиксированных С и W зависимость отличного от единицы коэффициента отражения
I0
определяется прежними соотношениями параметрически через
Условия бистабильности - позже
Продольное распределение поля при ГР
0  0
Малым интенсивностям падающей волны
I in
I in
отвечает РП. Но при достаточно больших интенсивностях
нелинейная среда
2  0
с
в приграничном слое обладает меньшей эффективной
диэлектрической проницаемостью, отвечающей режиму ПВО:
 0   2 A2  1 sin 2 
В соответствии с характером режима ПВО амплитуда поля в нелинейной среде A(z)
с ростом z будет убывать. Поэтому на некотором удалении от границы среды знак неравенств
сменится на противоположный, отвечающий РП. В результате гибридный режим вблизи
границы среды имеет характер режима ПВО, а вдали от нее – характер РП.
Вариант 4
 2  0,  0  0
Рис.
Минимумы потенциальных кривых ~ РП ??? НЕТ!
C  0, W  0,
ПВО:
При
z
A  Am 
2 0
2
, R 1
траектории приближаются к максимуму потенциальной кривой
A0
(C = 0).
Два типа траекторий
Тип 1
1. В начальной точке траектории
dA
A0 
( z0 )  0
dz
Тогда амплитуда А с ростом z убывает. Реализуется уже рассмотренный режим
нелинейного ПВО, для которого справедливы прежние соотношения с дополнительным
ограничением
A0  Am
Связь интенсивностей I in
и
I0
может быть немонотонной (до двух режимов ПВО без гарантирования их устойчивости).
Режим ПВО существует, только если интенсивность падающего излучения меньше
максимальной
I in  I in(max) 
0
2 2
При больших интенсивностях реализуются более сложные режимы
Тип 2
2. Для второго типа траекторий A0
0
Am
Поэтому с ростом z амплитуда А сначала возрастает до значения
(точка поворота траектории), а затем уже монотонно убывает, как и для траекторий первого т
Интенсивности I in
и
I0
не зависят от знака A0
а амплитудный коэффициент отражения для траекторий второго типа изменяет знак фазы.
Режим ПВО сохраняется, коэффициент отражения по интенсивности R = 1. Одной и той же
интенсивности падающей волны отвечают 2 или 4 различных режимов ПВО.
Эта ситуация требует дополнительного анализа.
Нелинейная поверхностная волна
Траектории второго типа допускают интерпретацию, отвечающую нелинейной поверхностной
волне. Немонотонному (с единственным максимумом) распределению поля в нелинейной среде
такой волны отвечает рассматриваемая траектория с A  0
0

C
E0   A0  i  exp(i 0 )  E0
A0 

Граничное условие
Ввиду вещественности величины Г поток С = 0 и поле E(z) можно считать вещественным,
0  0
Поэтому
A0  A0
В этом случае падающее излучение отсутствует, не имеет смысла говорить об угле падения
Нелинейная поверхностная волна существует при условиях
 2  0,  0  0, 10  1   0  0
Более детальный анализ показывает неустойчивость распространения нелинейных поверхн
волн (поперечная модуляционная неустойчивость)
ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ ОТ
ГРАНИЦЫ СЛАБОПОГЛОЩАЮЩЕЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЫ
(керровская нелинейность)
   0   2 | E |2   0  i 0   2 | E |2 ,  0  0
0    i,   1 sin 2    0 ,    0  0
d
1  dA 
, W    U
dz
2  dz 
2
C  A2
2
1  C 2 2

2
4
U   2  2 A  2  2 A 
2 A
c
2c

Продольное изменение
dC   
dW   
2
   A ,
   C
dz  c 
dz  c 
dA
  2[W  U ( A, C )]
dz
2
2
2
d A C  
3

 3    ( A   2 A )  0
2
2
dz
A
C0
2
c
(поток энергии в направлении z)
C ростом z поток С и «энергия» W монотонно убывают.
Принцип предельного поглощения
Введение величины   
0
с последующим переходом   0
отвечает «принципу предельного поглощения». Поле в среде с поглощением вдали от ее грани
z
убывает, и среда становится линейной. Соответственно, поле приближается
к плоской волне
 

E ( z ) ~ exp  
0 z 
 c

Ветвь корня выбрана так, что
0  q  iq, q  0, q  0
Поэтому условия на бесконечности приводят к асимптотике
z  ,
A  0,
dA
  qA, C   qA2
dz
Квазиоптическое приближение
Если нелинейность и поглощение отсутствуют 2
 0,    0 , то при   0
имеет место режим ПВО, а при   0 - РП. Для полей, близких к однонаправленной волне
(РП), удобно ввести величины
Считая  2
I  A2
и
 2     2 I
 0, в приближении медленно меняющихся амплитуд получим уравнение
d ( I ) 
 I
dz
c
Решение при   0
d ( I ) 
 ( z  z0 )  3   ln
dz
c
  
, z0  const
  
Условия на границе раздела сред сохраняют вид при замене C  C0  Cz 0
НЕЛИНЕЙНОЕ ОТРАЖЕНИЕ*
Соотношение между коэффициентом отражения по интенсивности R и интенсивностью
падающей волны
I in
2
()
1 ()
Q
Iin  Q , R  (  )
4
Q
Q
()
2

C0   A0 
  A0 
   ,
k z1 A0   k z1 

A0  Az 0 ,
dA
A0 
dz z 0
Условия на бесконечности снимают «проблему континуума» при сохранении возможности
бистабильности
Наличие малого поглощения вносит в механическую аналогию следующие изменения. С ростом z величины
.
z   в начало координат A  0, W  0
убывают, так что траектории должны приходить при
Поэтому удобнее следить за «обратным ходом» траектории от
z  
к границе раздела сред z  0
Тогда траектория должны выходить из начала координат и подниматься вверх. Одновременно из-за увеличения С
от нулевого значения при z   будет подниматься и потенциальная кривая. Обрыв траектории в той или иной
точке, отвечающей значениям
A  A0 , C  C0 , dA / dz  A0
позволяет вычислить соответствующие значения интенсивности падающей волны I in
и коэффициента отражения R.
Далее рассматриваем четыре варианта соотношения знаков величин
2
и

Вариант 1
2  0
В отсутствие поглощения (   
z   будет
  0
(рис.)
0 ) траектория – ось ОА, С = 0, W = 0, а при
A  0 , коэффициент R = 1, режим ПВО.
Наличие малого поглощения (рис.) не приводит к принципиальным изменениям режима.
Вариант 2
2  0
  0
(рис.)
Без поглощения имеются режимы прохождения, отвечающие дну
потенциальных кривых. Коэффициент отражения дается прежними
выражениями (*). Для учета слабого поглощения достаточно приближения
медленно меняющихся амплитуд (*), описывающего медленный спад по
минимумам потенциальных кривых (рис.). При этом вызванные поглощением
изменения продольного распределения поля и коэффициента отражения
будут слабыми.
Вариант 3
2  0
  0
(рис.)
В этом варианте возникала «проблема континуума».
При
A2  A12  (2 / 3) |  /  2 |
с ростом z происходит спад к началу координат
(A = 0, W = 0) по минимумам потенциальных кривых. Максимумы потенциальных кривых,
расположенные в областиA2
на бесконечности.
 A12
не отвечают режимам с правильной асимптотикой
Минимумы потенциальных кривых ~ РП, для них прежние соотношения.
Приближение медленно меняющихся амплитуд нарушается в окрестности значения интенсив
A2  A12 Здесь происходит сшивание с горизонтальной (в пределе исчезающее малого поглощ
прямой, на которой C  C1 , интенсивность A2 ( z )  A12
Бистабильность
При условиях
10  1   0
3
2
10  0, | 10 ||  | |  |
зависимость интенсивностиI in
от параметра
I0
немонотонна как для режимов прохождения с правильным асимптотическим поведением,
I 0  A12 , так и для гибридных режимов,I 0  A12
В диапазоне
I in(2)  I in  I in( m )
I
при одной и той же интенсивности падающей волныin
имеются и режимы прохождения, и гибридные режимы (рис.).
Интерпретация
При достаточно большой интенсивности падающей волны поле в
приграничном слое нелинейной среды сравнительно быстро уменьшается
из-за вызванного нелинейностью ПВО. Вследствие этого при удалении
от границы происходит плавный переход к режиму пропускания с
дальнейшим медленным (вызванным малым поглощением) убыванием поля.
Наличие поглощения в этом варианте принципиально, и именно его введение
позволило последовательно решить «проблему континуума» за счет
корректного выбора условий на бесконечности.
Вариант 4
 2  0,   0
Рис.
Без поглощения - режимы прохождения (минимумы потенциальных кривых) и ПВО -
отрезок оси ОА,
A2  A22  2 /  2
Учет поглощения делает РП невозможными, поскольку представляющая их траектория A(z),

опускаясь по минимума потенциальных кривых, соответствующих РП, не попадаетzпри
в начало координат А = 0, С. = 0, так что условия на бесконечности для РП не выполняются.
z
«Обратный ход» от начала координат А = 0, С = 0 при

Траектория окончится в точке, отвечающей границе раздела сред z = 0, рис.
R 1
I
при медленном возрастании интенсивностиin
(1)
от малых величин до критического значенияI in
  / 2 2
Интерпретация
то достаточно интенсивное излучение нарушает режим ПВО и поле проникает в
 2  0поля.
При малых интенсивностях
падающей
волнык происходит
Так как
нелинейную
среду. Но поглощение
приводит
уменьшениюПВО.
интенсивности
Поэтому
на некотором удалении от границы раздела сред восстановится режим ПВО, однако
произойдет смещение границы внутреннего отражения в глубь нелинейной среды. Изза
отражения падающей волны от этой границы поле в области между ней и границей
раздела
сред будет близко к стоячей волне (режим осцилляций). Пространственные
осцилляции
интенсивности поля и следящей за ними диэлектрической проницаемости нелинейной
среды
приводят при изменении интенсивности падающей волны к периодическому
просветлению –
уменьшению коэффициента отражения и мультистабильности при изменении
интенсивности
Роль поглощения
В этом варианте роль поглощения принципиальна. В его отсутствие возможен только режим
ПВО, и то только при ограниченной интенсивности падающей волны:
I in  I in(1)   / 2 2
I
Если же интенсивность
in
превышает это значение, то любые стационарные режимы отражения от границы
прозрачной нелинейной среды отсутствуют. В действительности поглощение имеет
конечную величину в любых средах, и в них будет устанавливаться режим осцилляций.
Однако время установления режима осцилляций будет возрастать при уменьшении
поглощения до бесконечного значения при
   0
Отражение плоской волны в этом случае принципиально нестационарно.
Режимы нелинейного отражения
плоской волны (табл.)
+
-
0
ПВО
РП
+
ПВО* , режимы осцилляций
РП
-
ПВО
РП, ГР
 2 \ 
*)
- бистабильность,
**)
- мультистабильность
**
НЕЛИНЕЙНОЕ ОТРАЖЕНИЕ ПУЧКОВ
E  E y ( x, z )
 E  E
 
2
2
 2  k E  0, k    
2
x
z
c
2
2
2
 1 ,

    0   2 | E |2 ,
 ,
 3
  z  
z  0,
0  z  d,
z  d.
Сведение задачи к внутренней для слоя 0 < z < d
Граничные условия
E ( x, z ) 
z>d

F ( k x ) exp i k32  k x2 z exp(ik x x ) dk x



1
F ( k x ) exp i k32  k x2 z 
2
k3  ( / c)  3




 E ( x, z ) exp( ik x) dk
x
x

i k32  k x2   k x2  k32
k x2  k32
Непрерывность Е и E / z на границе раздела z = d
E
i
( x, d ) 
z
2
z=0

 dk


x
k  k exp(ik x x )  dx  E ( x , d ) exp( ik x x )
2
3

E
i
( x,0) 
z
2


 dx[2 E
in

2
x


dk x k12  k x2 exp(ik x x ) 

( x ,0)  E ( x ,0)]exp( ik x x ).
k1  ( / c) 1
Квазиоптическое приближение
  cr   ,  2  1
kx0
E ( x, z )  A( x, z ) exp(ik x 0 x )
A  A   
 
2ik x 0
 2     0 A     2 | A |2 A  0
x z
c
c
2
2
2
A( x0 , z )  0, | x0 | w, x0  0
Поле определяется однозначно при всех
x
 2  0   0
ПВО
Рис.
x0
Amax  0 / 2
Пространственная
бистабильность
Отражение гауссова пучка от среды с дефокусировочной нелинейностью
(чтобы избежать разбиения пучка на отдельные нити). Рис. - поперечные
профили отраженного излучения.