ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ МАТЕМАТИКУ Лекция 9 3 ноября 2009 Задача интерполяции (гладкого восполнения функций) 4. Задача интерполяции Функция Лебега и постоянная Лебега (данной сетки) L x N li x lN sup L x x a ,b 4. Задача интерполяции Постоянная Лебега – норма оператора алгебраической интерполяции! 4. Задача интерполяции Приведем (без доказательства) примерные оценки роста постоянной Лебега в зависимости от числа узлов сетки. Константа Лебега растет примерно как lN ~ 2N для равномерной сетки и lN ~ ln(N) для сетки с чебышевским набором узлов. Доказано, что рост константы Лебега для последней сетки асимптотически стремится к минимально возможному, и сетка с чебышевскими узлами близка к оптимальной для задач интерполяции. 4. Задача интерполяции Итерполяционный полином в форме Ньютона Разделенные разности (разностные отношения) N tn n 0 , tn a, b , t0 a, t N b. 4. Задача интерполяции Разделенные разности Разделенные разности нулевого порядка в точке ti совпадают со значениями функции f (ti ); Разности первого порядка определяются равенством f (t j ) f (ti ) fij f (ti , t j ) , t j ti 4. Задача интерполяции Разделенные разности разности порядка k —по рекуррентной формуле f (ti , ti 1 , , ti k ) f (ti 1 , , ti k ) f (ti , ti k ti , ti k 1 ) 4. Задача интерполяции Свойства разделенных разностей f (ti j ) k a) f (ti , ti 1 , , ti k ) j 0 k (ti j ti r ) r 0 r i j (легко, метод математической индукции) 4. Задача интерполяции Свойства разделенных разностей Б) a, b k ! f (ti , ti 1, , ti k ) ( k ) f (). Конкурс на лучшее доказательство! 4. Задача интерполяции Таблица разделенных разностей t0 f0 t1 f1 f12 ... ... ... tN fN f 01 f N 1N ... f0123...N 4. Задача интерполяции Интерполяционный полином в форме Ньютона Nn (t ) f (t1 ) f (t1, t2 )(t t1 ) f (t1, , tn1 )(t t1 ) (t tn ). 4. Задача интерполяции Таблица разделенных разностей t0 f0 t1 f1 ... ... tN fN t N 1 f N 1 f 01 f12 ... f N 1N f NN 1 ... f 01...N f1...NN 1 f01...NN 1 4. Задача интерполяции Полином в форме Ньютона – конечноразностный аналог ряда Тейлора! 4. Задача интерполяции Интерполяция с кратными узлами t0 f0 t0 f0 ... tN ... fN f 0 f01 ... f N 1N ... f0123...N 4. Задача интерполяции Интерполяционный полином Эрмита Пусть на концах отрезка [t0, t1] заданы значения f0, f1 и первые производные функции. Тогда P3 (t ) f 0 (t1 t ) 2 2(t t0 ) 3 (t t0 )2 2(t1 t ) (t1 t ) 2 (t t0 ) f 0 f1 2 3 (t t0 )2 (t t1 ) f1 , 2 4. Задача интерполяции Интерполяция сплайнами (spline – гибкое лекало) Определение. Сплайном называется определенная на [a, b] функция, имеющая l непрерывных производных и являющаяся на каждом интервале (tn–1, tn) многочленом степени m. Определение. Дефектом сплайна называется разность между степенью сплайна и показателем его гладкости l. 4. Задача интерполяции Кубический сплайн (Шонберга) Кубическим сплайном дефекта 1, интерполирующим на отрезке [a, b] заданную функцию f(t), называется функция S(t), удовлетворяющая следующим условиям: 1. S(tn) = f(tn) — условие интерполяции в узлах сетки 4. Задача интерполяции Кубический сплайн 2 S ( t ) C [a, b] 2. 3. На каждом отрезке [tn, tn+1], S(t) является кубическим многочленом; n = 0,…,N –1. 4. Граничные условия 4. Задача интерполяции Выбор граничных условий S (a) f (a), S (b) f (b); S (a) f (a), S (b) f (b); S (a) S (b) 0; S (a) S (b) 0; 4. Задача интерполяции Пример 4. Задача интерполяции Пример 4. Задача интерполяции Экстремальное свойство сплайна Шонберга b [ F (t )] dt 0 a 2 Задача интерполяции Теорема о существовании и единственности решения Интерполяционный кубический сплайн S(t), удовлетворяющий условиям 1–3 и одному из краевых условий 4, существует и единственен. 4. Задача интерполяции Доказательство На каждоим отрезке строим полином третьей степени. Для второй производной имеем 1 Stt (mn (tn1 t ) mn1 (t tn )). n Момент сплайна 4. Задача интерполяции Дважды интегрируем на отрезке 1 S (t ) (mn (tn 1 t )3 mn 1 (t tn )3 ) 6n n (tn1 t ) n1 (t tn ). 4. Задача интерполяции Из условия аппроксимации mn n2 fn n n 6 mn12n f n 1 n n 6 f n mn n n . n 6 f n1 mn1n n . n 6 4. Задача интерполяции Приравняем первые производные в узле справа и слева St (tn 0) St (tn 0), 4. Задача интерполяции Получим систему уравнений для моментов mn n1 mn1n1 f n f n1 (mn mn1 )n1 2 2 n1 6 mn1n mn n f n1 f n (mn1 mn )n , 2 2 n 6 4. Задача интерполяции AM = F, 1 2 3 2 6 А 0 ... 0 2 6 2 3 3 3 6 ... 3 6 3 4 3 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... N 1 6 f 2 f1 f1 f0 f3 f 2 f 2 f1 F , , 0 2 1 1 0 ; 0 ... N N 1 3 0 T f N f N 1 f N 1 f N 2 , . N N 1 4. Задача интерполяции Вопросы?