Тема 2. Основы физического расчета быстрых реакторов

Кафедра:
"Атомная энергетика“
2008 г.
Основы физического
расчета быстрых
реакторов
Авторы:
Щеклеин С.Е., профессор, д.т.н.
Титов Г.П., доцент, к.ф.-м.н.
Семенов М.Ю, студент
1
Нейтронно-физические расчеты быстрых
реакторов имеют следующие особенности:
1. Особенности, связанные со спектром
нейтронов
2. Сечения деления и поглощения в области
быстрых нейтронов малы (1-3 барна,
примерно на 2 порядка меньше сечений в
спектре реакторов на тепловых нейтронах)
3. Отсутствует отравление реактора ксеноном и
самарием
4. Реакторы на быстрых нейтронах практически
гомогенны
2
В быстрых реакторах малы изменения
реактивности вследствие:
•температурных эффектов
•мощностных эффектов
•эффектов выгорания
Поэтому удобно:
1.При решении задачи о критических размерах
рассматривать критический реактор
2.Изменения kэф расчитывать с помощью теории
возмущений, применение которой в таких случаях
достаточно эффективно
3
Особенности, связанные со спектром
нейтронов
• В реакторах на быстрых нейтронах деление
ядер урана-235, плутония-239 происходит во
всей области энергий нейтронов
Поэтому:
1.Физический расчет должен проводиться с
использованием многогруппового метода
(разбиение энергетического интервала на
достаточно большое количество групп)
2.Приближенные расчеты можно проводить
малогрупповыми приближениями
(использование 4-х групповой системы
4
констант)
Особенности, связанные с
гомогенностью быстрого реактора
Расчетные исследования показали, что
большая часть расчетов, кроме нескольких
специальных, имеет приемлемую точность,
если реактор считается гомогенным.
Для более точных расчетов необходимо
учитывать мелкомасштабную гетерогенность.
При использовании макроконстант необходимо
вводить поправку на самоэкранирование
(фактор самоэкранировки) и температуру
активной зоны
5
Непосредственное решение задачи о
критических размерах в многогрупповом
приближении для реальной трехмерной
геометрии – практически невозможно, а для
двухмерной геометрии – затруднено.
Поэтому обычно предполагают разделение
энергетической Е и пространственной r
переменных
В итоге: решение задачи о критических
размерах осуществляется с помощью, так
называемого, метода редактирования
6
Последовательность действий при методе
редактирования:
1.Грубое рассмотрение, например в
диффузионном приближении,
пространственной задачи и детальное
рассмотрение спектральной задачи
2.Определение малогрупповых сечений с
использованием детального спектра в зонах
ячейки
3.Детальное решение пространственной задачи
в малогрупповом приближении
7
Предположение о разделении энергетической и
пространственной переменных применительно
к быстрым реакторам довольно грубое из-за
сильного влияния утечки нейтронов из каждой
зоны реактора на их спектр в этой зоне.
Более точные результаты можно получить с
помощью вариационного метода расчета.
8
Вариационный метод в одногрупповом
приближении
Рассмотрим цилиндрический двухзонный реактор с
торцевыми и боковыми экранами.
Квазикритическое уравнение для потока нейтронов и
соответствующее граничное условие запишем в виде
(индекс зоны для простоты опущен):
DФ(r )   aФ(r )   f  f Ф(r )  0
(1)
Ф( Rэ )  0
D,  a , f ,  f – величины: постоянные в пределах зоны
  1 / k эф – собственное значение
Rэ – экстраполированная граница реактора
9
Вариационный метод в одногрупповом
приближении
Проще всего расчитать собственное значение
непосредственно из уравнения (1)
проинтегрировав его предварительно в
пределах объема реактора V:
  Ф(r )  DФ(r )dr
a
V

f
 f Ф(r )dr
v
Вычисление Λ по этой формуле дает правильный
результат, если используется точная функция
Ф(r).
10
~
Ф
Вариационный метод в одногрупповом
приближении
Когда нет возможности использовать точную функцию Ф(r), то
можно использовать приближенную (пробную) функцию:
отличающуюся от точной на некоторую величину δФ:
~
~
Ф  Ф  Ф
В результате получаем приближенное собственное значение
такое, что:
~
~
    
Λ – точное собственное значение
~
~
 – приращение, соответствующее вариации Ф
Приближенное собственное значение определяется по формуле:
~
~
~
 Ф(r )[ aФ(r )  DФ(r )]dr
~
V
~
~
Ф
(
r
)


Ф
(r )dr
f
f

V
( 2)
11
Вариационный метод в одногрупповом
приближении
Предполагаем, что переменные r и z разделяются,
то есть:
~
Ф(r )  Ф(r )Ф( z )
Подставим эту пробную функцию в формулу (2) и
получим:
~

 Ф(r )Ф( z )[ Ф(r )Ф( z )  DФ( z ) Ф(r )  DФ(r ) Ф( z )]rdrdz
a
V
r

(3)
 f Ф (r )Ф ( z )rdrdz
2
f
z
2
V
12
Вариационный метод в одногрупповом
приближении
С помощью математических преобразований из
формулы (3) мы приходим к системе уравнений:
~
Dl  rФl (r )  Dl x Фl (r )   alФl (r )   fl  flФl (r )  0
~
2
Dl  zФl ( z )  Dl xrlФl ( z )   alФl ( z )   fl  flФl ( z )  0
2
zl
где:
x zl2    zФl ( z ) / Фl ( z )
xrl2   rФl (r ) / Фl (r )
~
2
2
2
xrl  xzl  xl  ( fl  fl   al ) / Dl
l – индекс зоны реактора
13
Вариационный метод в одногрупповом
приближении
Дальнейшее решение этой системы уравнений
осуществляется методом последовательных
приближений.
При использовании описанного выше
вариационного метода в многогрупповом
приближении необходимо использовать понятие
сопряженной функции (ценности нейтронов) и
ввести в рассмотрение сопряженные уравнения
(уравнения для ценности нейтронов)
14
Расчет критической массы
Рассмотрим двухзонный цилиндрический реактор с
боковыми и торцевыми экранами. Пусть точные
функции потока Фi(r) и ценности нейтронов Фi+(r)
удовлетворяют квазикритическим уравнениям:
i 1
D Фi (r )   Фi (r )   Фi (r )   
i
i
a

i
i
R

i
k 1

i
D Ф (r )   Ф (r )   Ф (r ) 
i
i
a
i
R
m
k i
R

k i 1
Фk (r ) 
i k
R

k
i
0
k эф
Ф (r ) 
m
k k

 f  f Фk (r )  0
k 1
 if if
0
k эф
m


Ф
 k k (r )  0
k 1
i = 1, 2, …, m – номер группы
0
k эф
– точное значение эффективного коэффициента размножения
Граничные условия:
Фi ( Rэ )  0
Фi ( Rэ )  0
15
Расчет критической массы
Воспользуемся разделением переменных, то есть
в качестве пробных функций, удовлетворяющих
тем же граничным условиям, что и точные,
выберем:
~
Фi (r )  ФiФ(r )Ф( z)
~
 

Фi (r )  Фi Ф (r )Ф ( z)
где:
~
~
Фi (r )  Фi (r )  Фi (r )
~
~

Фi (r )  Фi (r )  Фi (r )
16
Расчет критической массы
С помощью математических преобразований мы
приходим к системе уравнений:
i 1
 ( x  x ) D Фil   Фil   
2
rl
2
zl
i
l
i
aRl

il
k 1

il
 ( x  x )D Ф   Ф 
2
rl
2
zl
i
l
i
aRl
m
k i
Rl

k i 1
Фkl 
i k
Rl
m
k k

 fl  flФkl  0
k эф
k эф
 fl  fl
k эф
(4)
k 1
 kfl  kfl
 fl  fl
Dl  zФl ( z )  x DlФl ( z )   alФl ( z ) 
2
rl
k эф
Ф 
Dl  rФl (r )  x DlФl (r )   alФl (r ) 
2
zl

kl
i
m
 Ф
k 1
i

kl
0
(5)
Фl (r )  0
Фl ( z )  0
17
Расчет критической массы


x zl2    zФl ( z ) / Фl ( z )


 fl  fl / k эф   al
2
2
2

xrl  x zl  xl 
Dl


 iaRl   ial   iRl

m
m
i 1

 i

i
k i


Ф
D
Ф
Ф

Ф


Ф
( 6)



il l il
il
aRl il
Rl
kl 
k 1

Dl  i 1m
 al  i 1
m

ФilФil
ФilФil



i 1
i 1

m
m


k k
Ф



Ф

il i  fl fl kl

i 1
i 1
 fl  fl 

m

ФilФil


i 1
xrl2    rФl (r ) / Фl (r )

 iRl – сечение увода нейтронов из группы, обусловленное
упругим и неупругим рассеяниями
18
Расчет критической массы
Для решения приведенной выше системы уравнений
можно воспользоваться методом последовательных
приближений. Но решение задачи все же будет
достаточно трудным.
Поэтому можно воспользоваться относительно малым
различием в спектрах для центральной и периферийной
зон реактора и упростить расчетную модель: вместо
двухзонного рассматривать однородный реактор, а
наличие зонной структуры учесть в дальнейшем с
помощью теории возмущений.
При этом заменить торцевые или боковой экраны
соответствующими эффективными добавками
невозможно, так как экраны предназначены не столько
для возврата нейтронов, сколько для воспроизводства
19
топлива.
Расчет критической массы
Воспользуемся следующими
физическими соображениями:
• Распределение потоков нейтронов в
торцевом экране по r и в боковом по z
примерно совпадают с
соответствующими распределениями в
активной зоне
• Экраны представляют собой
неразмножающие среды
• В рамках спектральной задачи утечку
нейтронов из активной зоны можно
1 – активная зона
рассматривать как дополнительный
2 – боковой экран
3 – торцевой экран
внешний источник для экранов,
H1 – высота активной зоны
радиальную утечку из торцевого экрана
Т3 – толщина торцевого экрана
– как аналогичный источник для
Т2 – толщина бокового экрана
бокового экрана, а утечками из
R1 – радиус активной зоны
R2 – внешний радиус бокового
бокового и аксиальной из торцевого
экрана
экранов пренебречь.
20
Расчет критической массы
Таким образом приходим к следующим уравнениям:
 rФ1 (r )  xr21Ф1 (r )  0
 zФ1 ( z )  xz21Ф1 ( z )  0 – для активной зоны
 rФ2 (r )  xr22Ф2 (r )  0
 zФ2 ( z )  xz21Ф2 ( z )  0 – для бокового экрана
 rФ3 (r )  xr21Ф3 (r )  0
 zФ3 ( z )  xz23Ф3 ( z )  0
– для тоцевого экрана
где:
 f 1 f 1 / k эф   a1

; 
D1


xr22  x22  x z21 ;
x z23  x32  xr21 ;

 a 2  f 2  f 2 / k эф

2
x2 
;

D2


 a 3  f 3 f 3 / k эф
2
x3 
;

D3

x x
2
r1
2
z1
x 
2
1
(7 )
21
Расчет критической массы
Используя условия равенства потоков и токов
нейтронов на на поверхностях раздела активной
зоны и экранов, получаем:
 H 
D1 x z1tg xz1 1   D3 xz 3cth( x z 3T3 )
2 

xr1
(8)
J1 ( xr1R1 )
D  I ( x R ) K ( x R )  K1 ( xr 2 R1 ) I 0 ( xr 2 R2 ) 
 xr 2 2  1 r 2 1 0 r 2 2

J 0 ( xr1R1 )
D1  K 0 ( xr 2 R1 ) I 0 ( xr 2 R2 )  K 0 ( xr 2 R2 ) I 0 ( xr 2 R1 ) 
(9)
где: H1 – высота активной зоны; Т3 – высота торцевого экрана; R1 –
радиус активной зоны; R2 – внешний радиус бокового экрана.
Эту систему уравнений следует рассматривать
как условие критичности реактора, если
материальные параметры xz1 , xz 3 , xr1 , xr 2
22
определены при kэф = 1
Схема расчета критической массы
Для начала необходимо задаться
первоначальными значениями концентрации
делящихся ядер, а также аксиальной и
радиальной составляющих материального
параметра активной зоны:
xr21  (2,405 /( R1   r )) 2 ;
xz21  ( /( H1  2 z )) 2 ;
где:
m
D
z  r  1 M3 
D2
D1

D1 a 3
D 
i 1
m
i
1
i
m
i
D



i
a3 i
i 1
i
3
i 1
Вместо неизвестного, пока, спектра нейтронов в
расчете используется спектр нейтронов деления
23
Схема расчета критической массы
На следующем этапе решают спектральную задачу.
Используя нормировочные условия:
m

k 1
 Фk1  k эф ;
k
f1
k
f1
m
 Ф
k 1
k

k1
 k эф ;
Получаем расчетные формулы для интегральных по объему
потоков и ценностей нейтронов:
i 1


i
Фi1    i    kR
Ф
1
k1 
k 1


x D
2
1
i 1
 2 i

Фi 3   xz1 D1Фi1    kR3 iФk 3 
k 1


i
1

x
i
aR1
2
r1
m
 i i

Ф   f 1 f 1    iR1 k Фk1 
k i 1



D3i   iaR3

i1

i 1
 2 i

2
i
Фi 2   xr1 D1Фi1  xr1 D3Фi 3    kR2 iФk 2   iaR 2
k 1


x D
m
 2 i 

Ф   x z1 D1Фi1    iR3 k Фk 3 
k i 1



i3
2
1
x
i
1
2
r1
  iaR1

D3i   iaR3

m
 2 i 

2
i

Ф   xr1 D1Фi1  xr1 D3Фi 3    iR2 k Фk 2   iaR 2
k i 1



i2
24
Схема расчета критической массы
После решения спектральной задачи определяют
одногрупповые константы D1 ,  a1 , f 1 f 1(6) для всех зон
реактора, и из системы уравнений (8) и
(9)
с учетом
2
2
xr1 , xz1
(7) находят новые значения
Далее переходят к расчету критической концентрации
делящихся ядер в активной зоне. Для
этого
x12
Фi1
используя новое значение , определяют
,а
затем из условия нормировки – эффективный
коэффициент
размножения.
k эф
Если
отличается от единицы, то необходимо
задаться новыми значениями концентрации
делящихся ядер, найти макроскопические константы
для активной зоны и повторить расчет.
25
Схема расчета критической массы
После определения критической концентрации делящихся
ядер проводится
уточнение спектров в экранах с учетом
2
2
новых xr1 , xz1 и спектров в активной зоне. Далее необходимо
учесть деление ядер в экранах, поэтому уравнения (4) и (5) при
l=2 и 3 удобно решать методом итераций. Например,
уравнение для Фi 3 можно записать в виде:
i 1
Фi(3n ) 
x D Фi1   
2
z1
i
1
k 1
k i
R3
Ф
(n)
i3
m
  i  kf 3 kf 3Фi(3n 1)
k 1
xr21 D3i   kaR3
( n 1)
где Фi 3 и Фi 3 – интегральные по объему потоки нейтронов в
торцевом экране в n-м и (n-1)-м приближениях соответственно.
В качестве исходных принимаются значения
Фi 3 полученный ранее без учета деления ядер в экране.
(n)
26
Схема расчета критической массы
Аналогично рассчитываются остальные спектры в
экранах, и на этом заканчивается решение в первом
приближении задачи о критических размерах.
Затем следует второе приближение, то есть находятся
(в рассмотренной выше последовательности) новые
значения составляющих материального параметра,
спектров и критической концентрации делящихся
ядер в активной зоне, а также спектров в экранах и т.
д. Опыт показывает, что приемлемые для
приблмженных расчетов результаты получаются уже
после первого приближения.
27
Схема расчета критической массы
Затем можно учесть наличие в активной зоне двух областей с
различным содержанием 239Pu.
Пусть профилирование осуществляеться таким образом, что
энерговыделение по оси реактора и в периферийной зоне на
границе с центральной зоной равны (предполагаем, что
профилирование не изменяет распределения потока нейтронов
по радиусу). Тогда, пренебрегая делением урана, получаем:
c9ц  c9п J 0 ( xr1 R0 )
Второе уравнение следует из теории возмущений:
R0
R1
0
R0
c9ц  J 02 ( xr1r )rdr  c9п  J 02 ( xr1r )rdr  0
где:
c9ц  c9  c9ц ;
c9п  c9п  c9 ;
с9 – критическая концентрация 239Pu в однородной активной
зоне.
28
Определение коэффициента воспроизводства
По определению:
m
КВ    Фi (r ) (r )dr
ji
c
i 1
j V
m
iki
Ф
(
r
)

  i a (r )dr
i 1
k V
где j – индекс порогового (воспроизводящего) нуклида; k – индекс делящегося
нуклида; V – объем реактора
Рассмотрим урановый топливный цикл. Для простоты учитываем
только один делящийся нуклид – 239Pu и пренебрегаем его
выгоранием в экранах. Тогда:
 
m
КВА 
i 1
m
 
i 1
   8спi (1  ) Фi1
8i
сц
   9aпi (1  ) Фi1
9i
aц
 
m
КВЭ 
i 1
 
m
i 1
Фi 2   8с i3Фi 3
8i
с2

R0
где:
 
J
0
( xr1r )rdr
0
( xr1r ) rdr
0
R1
J
0
   9aпi (1  ) Фi1
9i
aц
29
Заключение
Рассмотренный вариант относится к расчету
многогрупповыми методами. Однако для
оценочных расчетов можно воспользоваться
одногрупповым приближением со сверткой
многогрупповых сечений в одногрупповое по
приведенным выше формулам свертки сечений.
30