2.1. Термодинамика Матрица плотности. Микроканонический ансамбль. Канонический ансамбль. Большой канонический ансамбль. Модели сильной связи Матрица плотности Любое состояние системы можно разложить по базисным функциям полного ортонормированного базиса: Среднее значение физической величины Матрица плотности в статистическая матрица: энергетическом представлении или Диагональные элементы матрицы плотности имеют смысл вероятности нахождения системы в соответствующем состоянии: Статистическая матрица в собственно-энергетическом представлении 2 диагональна Микроканонический ансамбль Рассмотрим какую-либо замкнутую систему и выберем в качестве базисных функций собственные функции этой системы Временная эволюция коэффициентов разложения: Временная зависимость статистической матрицы: В замкнутой системе диагональные элементы статистической матрицы не зависят от времени: Микроканоническое распределение по энергии: 3 Канонический ансамбль Рассмотрим систему, которая является частью какой-либо большей замкнутой системы – термостата, термодинамическом равновесии и находится с Статистический вес макроскопического состояния системы ΔQ: Энтропия: Второй закон термодинамики: в состоянии термодинамического равновесия энтропия имеет максимально возможное значение Температура: Каноническое распределение по энергии – распределение Гиббса: 4 ней в Большой канонический ансамбль Между выделенной системой и термостатом, кроме выравнивания температур, происходит также обмен частицами Химический потенциал – изменение энергии системы при изменении числа частиц на единицу: Распределение Гиббса: Многие важные физические величины выражаются через статсумму: Теорема Нернста: при нулевой температуре энтропия равна нулю 5 Совокупность магнитных моментов Статистическая сумма системы: Энергия системы: Магнитный момент: Энтропия: Теплоемкость: 6 Совокупность магнитных моментов E/N 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 3 4 5 3 4 5 T M/N 1 0.5 0 0 1 2 T C/N 0.4 0.2 0 0 7 1 2 T Модели сильной связи Невзаимодействующая ферми- или бозе-система: В общем случае: Для энергии и среднего числа частиц: Расчет экспоненты от оператора: 8 Модели сильной связи Бесспиновые фермионы на двух узлах: Базис системы состоит из четырех функций: Матрица статистического оператора: Гамильтониан сохраняет число частиц, поэтому матрица имеет блочно- диагональный вид Задача в этом случае разбивается на три независимые задачи, каждая 9 из которых может быть решена отдельно Модели сильной связи 2 1.8 1.6 1.4 N 1.2 T=0.1 T=0.5 T=1 T=2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 10 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Модели сильной связи Одномерная модель Изинга: Статистическая сумма системы: Если в спектре системы основной уровень отделен от остальных 11 конечной энергетической щелью, то при низких температурах все термодинамические величины будут иметь экспоненциальную температурную зависимость: