Нестандартные тригонометрические уравнения

Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 16
Щелковского муниципального района
Московской области
Тема:
«Нестандартные тригонометрические
уравнения»
Разработчик:
Тарас Марина Валентиновна
учитель математики
2011 год
Тема: Нестандартные тригонометрические уравнения.
Цель урока: Развивать творческий подход к поиску решения
тригонометрических уравнений, посредством логических рассуждений и
умозаключений, а не только при помощи формул; развивать внимание,
наблюдательность и трудолюбие.
План урока:
I.
II.
III.
I.
Объяснение нового материала на примерах.
Закрепление.
Домашнее задание.
Сегодня
на
уроке
мы
с
вами
рассмотрим
примеры
тригонометрических уравнений, которые предлагаются на вступительных
экзаменах в ВУЗ, но которые стандартными приемами не решаются, а
требуют от вас творческого подхода, анализа и владения всеми методами
решения тригонометрических уравнений.
Итак, рассмотрим первый вид:
«Уравнения смешанного типа».
Решение уравнений смешанного типа, обычно находится путем
перехода к совокупности уравнений. При этом, если найдена ОДЗ данного
уравнения, то в этой ОДЗ совокупность уравнений равносильна данному
уравнению, если ОДЗ не найдена, то совокупность является следствием
данного уравнения и найденные корни следует обязательно проверить путем
их подстановки в данные уравнения.
Пример №1
Решить уравнение
𝑥
√2𝜋−𝑥 (2 sin2 𝑥 − 1)=0
Решение: Найдем ОДЗ данного уравнения.
𝑥
ОДЗ
2𝜋−𝑥
≥0
0 ≤ 𝑥 < 2𝜋
Таким образом, в промежутке [0; 2𝜋) данное уравнение равносильно
совокупности уравнений:
√
𝑥
𝑥
2
2𝜋 − 𝑥
(2 sin 𝑥 − 1) = 0 ↔ [
Решим
=0
𝑥=0
𝑥=0
2𝜋 − 𝑥
↔[
↔[
cos
2𝑥
= 0 (1)
1
−
cos
2𝑥
−
1
=
0
(2 sin2 𝑥 − 1) = 0
𝜋
(1)
2𝑥 = 2 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
𝑥=
𝜋 𝜋𝑛
+
,
4
2
𝑛𝜖𝑧
Из найденного множества корней выбираем корни, удовлетворяющие
условию 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋
𝑥1 = 0; 𝑥2 =
Ответ: {0;
𝜋
4
;
3𝜋
4
;
5𝜋
4
;
7𝜋
4
𝜋
4
; 𝑥3 =
3𝜋
4
; 𝑥4 =
5𝜋
4
; 𝑥5 =
7𝜋
4
;
}
Задача №2 Найти сумму всех различных корней уравнения
𝑥
√
2𝜋 − 𝑥
(4 sin2 2𝑥 − 8 sin 2 𝑥 − 5) = 0
𝑥
Решение: Найдем ОДЗ
2𝜋−𝑥
≥0
0 ≤ 𝑥 < 2𝜋
От данного уравнения перейдем к совокупности уравнений:
[
√
𝑥
=0
(1)
2𝜋 − 𝑥
4 sin2 2𝑥 − 8 sin 2 𝑥 − 5 = 0 (2)
Найдем корни каждого уравнения совокупности:
1)
𝑥
2𝜋−𝑥
=0
𝑥1 = 0
𝑥1 ∈ [0; 2𝜋)
2) 4 sin2 2𝑥 − 8 sin 2 𝑥 − 5 = 0
4𝑡 2 − 8𝑡 − 5 = 0
𝑡 = sin 2𝑥
|𝑡| ≤ 1
(∗)
Д = 64 + 80 = 144 = 122
𝑡1,2 =
𝑡1 = −
8 ± 12
[
8
sin 2 𝑥 =
𝑡2 =
1
5
1
2 не удовл. (∗)
2
1
2𝑥 = (−1)𝑛 arcsin (− ) + 𝜋𝑛
2
2
1
1 𝜋𝑛
𝑥 = (−1)𝑛+1 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 +
, 𝑛∈𝑧
2
2
2
𝑥 = (−1)𝑛+1
𝜋 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
+
12
2
Найдем корни, лежащие в промежутке [0; 2𝜋)
𝑛=1
𝑥2 =
𝜋 𝜋 7𝜋
+ =
12 2 12
𝑛=2
𝑥3 =
11𝜋
12
𝑛=3
𝑥4 =
19𝜋
12
𝑛=4
𝑥 =
23𝜋
12
Итак,
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 0 +
7𝜋
12
+
11𝜋
12
+
19𝜋
12
+
23𝜋
12
= 5𝜋
Ответ: 5𝜋.
Пример №3 Найти сумму всех различных корней уравнения
√
𝜋−2𝑥
𝑥
∙ (3 sin 2𝑥 − 7 cos 2𝑥 − 3) = 0
Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:
𝜋 − 2𝑥
√
∙ (3 sin 2𝑥 − 7 cos 2𝑥 − 3) = 0
𝑥
ОДЗ:
𝜋−2𝑥
𝑥
≥0
2𝜋−𝑥
𝑥
≤0
𝜋
𝑥 ∈ (0 ]
2
От данного уравнения перейдем к совокупности уравнений:
𝜋 − 2𝑥
√
=0
[
𝑥
(1)
3 sin 2𝑥 − 7 cos 2𝑥 − 3 = 0 (2)
Найдем корни каждого уравнения системы
𝜋−2𝑥
1. √
𝑥
𝜋−2𝑥
=0
𝑥
=0
𝑥1 =
𝜋
2
2. 3 sin 2𝑥 − 7 cos 2𝑥 − 3 = 0
6 sin 𝑥 cos 𝑥 − 7 cos 2 𝑥 + 7 sin2 𝑥 − 3 cos2 𝑥 − 3 sin2 𝑥 = 0
2sin2 𝑥 + 3 sin 𝑥 cos 𝑥 − 5 cos2 𝑥 = 0
/ cos 2 𝑥 ≠ 0
2𝑡𝑔2 𝑥 + 3𝑡𝑔𝑥 − 5 = 0
𝑡𝑔𝑥 =
−3 ± √49 −3 ± 7
=
4
4
𝜋
+ 𝜋𝑘,
𝑘∈𝑧
4
[
5
𝑥 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑛,
𝑛∈𝑧
2
𝑡𝑔𝑥 = 1
5
[
𝑡𝑔𝑥 = −
2
𝑥2 =
𝑥=
𝜋
+ 𝜋𝑘,
4
𝑘∈𝑧
5
𝑥 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑛,
2
𝑥2 =
𝜋
4
т. к. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝜋
𝜋
∈ (0; ]
4
2
5 𝜋
< то
2 2
𝜋
(0; 2 ] не принадлежит ни один корень.
Итак: 𝑥1 =
𝑥1 + 𝑥2 =
Ответ:
𝜋
2
𝑥2 =
𝜋
4
3𝜋
4
3𝜋
4
Закрепление:
1. Найти сумму всех различных корней уравнения
𝜋−𝑥
(𝑠𝑖𝑛 7𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4𝑥) = 0
𝑥
√
𝑥
2. √2𝜋−𝑥 (2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 3𝑐𝑡𝑔2𝑥) = 0
[5𝜋]
[4𝜋]
3. √𝜋 2 − 𝑥 2 (3 𝑐𝑜𝑠 6𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 5) = 0 [0]
4. √3𝜋𝑥 − 2𝑥 2 (2 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 + 𝑡𝑔2 2𝑥 − 2) = 0 [6𝜋]
5. √2𝜋𝑥 − 𝑥 2 (𝑠𝑖𝑛 4𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2𝑥) = 0 [8𝜋]
6. (𝑐𝑜𝑠 12𝑥 + 6 𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 − 1)𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝜋
7. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 [𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 3 )] = 2𝑥
2𝜋
[9]
2𝑥−𝜋
𝜋
=0
[
11𝜋
2
]
II.
Рассмотрим теперь нестандартные уравнения, т.е. те уравнения,
которые приводятся к основным посредством логических рассуждений
и умозаключений, а не только при помощи формул.
Пример №1 Решить уравнение:
cos 𝑥 cos 2𝑥 cos 3𝑥 = 1
Каждый множитель левой части уравнения по модулю не больше 1.
Как только один из них станет по модулю меньше 1, уравнение не может
превратиться в верное числовое равенство. Таким образом, данное уравнение
равносильно совокупности двух систем:
𝑥 = 2𝜋𝑛
cos 𝑥 = 1
1) {cos 2𝑥 = 1 → { 𝑥 = 𝜋𝑚
→ 𝑥 = 2𝜋𝑛
2𝜋𝑘
𝑥
=
cos 3𝑥 = 1
3
𝑛∈𝑧
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛
cos 𝑥 = −1
2) { cos 2𝑥 = 1 → { 𝑥 =𝜋 𝜋𝑚2𝜋𝑘 → 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛
𝑥= +
cos 3𝑥 = −1
3
3
Ответ: 𝑥 = 𝜋𝑚, 𝑚 ∈ 𝑧
Пример №2 Решить уравнение
𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 1 + cos16 4𝑥
Решение:
1) Правая часть уравнения положительна, поэтому для левой части
имеем ограничение 𝑡𝑔𝑥 > 0
2) Здесь будем использовать неравенство, если 𝑎 > 0
1
𝑎 + 𝑎 ≥ 2,
причем равенство может иметь место только в случае а = 1.
1
1
3) Принимаем a=tgx, тогда 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 = 𝑎. Следовательно, в левой части
имеем
𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑎 +
1
≥2
𝑎
4) Итак, левая часть не меньше 2, тогда как правая часть не больше чем
2.
Вывод: уравнение можно решить только при условиях:
𝜋
𝑥=
𝑡𝑔𝑥 = 1
4 + 𝜋𝑛 → 𝑥 = 𝜋 + 𝜋𝑛
→{
{
𝜋𝑚
cos 4𝑥 = ±1
4
𝑥=
4
𝜋
Ответ: {4 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧 }.
Закрепление:
а) Решить уравнение
3𝑥
=2
2
cos 4𝑥 + sin
{3𝜋 + 4𝜋𝑘,
б) sin7 𝑥 + cos4 𝑥 = 1
(↔ [
𝑘∈𝑧}
sin 𝑥 = 1
sin 𝑥 = 0
𝜋𝑛;
𝜋
2
+ 2𝜋𝑛, 𝑛, 𝑚 ∈ 𝑧 )
в) sin(𝜋 cos 4𝑥) = 1
𝜋 cos 4𝑥 =
cos 4𝑥 =
𝑥=±
𝜋
+ 2𝜋𝑘
2
1
2
𝜋 𝜋𝑛
+
,
12 2
𝑛∈𝑧
г) cos (√4 − |𝑥|) = 0
√4 − |𝑥| =
𝜋
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑧
2
Т.к. 0 ≤ √4 − |𝑥| ≤ 2,
√4 − |𝑥| =
III.
𝜋
2
то 𝑘 = 0
𝑥 = ± (4 −
𝜋2
)
4
Рассмотрим следующую систему упражнений, предназначенную для
более точного осмысления свойств тригонометрических функций,
алгоритмов решения простейших тригонометрических уравнений с
отбором корней.
𝜋
1)
cos(2𝜋𝑥)
4𝑥−1997
=0
cos 2𝜋𝑥 = 0
{
4𝑥 ≠ 1997
2𝜋𝑥 = 2 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑧
{
1997
𝑥≠ 4
1 𝑘
𝑥= +
4 2, 𝑘 ∈ 𝑧
{
1997
𝑥≠
4
1
𝑘
Ответ: 𝑥 = 4 + 2 , 𝑘 ∈ 𝑧
2) sin 𝜋𝑥 =
√3(3𝑥 − 2000)
6𝑥 − 4000
1 𝑘 1997
+ ≠
4 2
4
1997 ≠ 1 + 2𝑘
𝑘 ≠ 998
𝑘 ≠ 998
1
𝑥 = (−1)𝑘 + 𝑘, 𝑘 ∈ 𝑧 𝑘 ≠ 667
3
3) 2sin 𝑥 =
4) cos 𝑥 =
√3(2cos 𝑥 − 1)
2cos 𝑥 − 1
1 − √2 sin 𝑥
2 sin 𝑥 − √2
𝑥=
2𝜋
+ 𝜋𝑘,
3
𝑥=−
𝑘∈𝑧
𝜋
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑧
4
5) sin(2𝜋 cos 𝑥) = 1
2𝜋 cos 𝑥 =
cos 𝑥 =
𝜋
+ 2𝜋𝑘
2
1
+𝑘
4
при 𝑘 = 0
𝑘 = −1
при 𝑘 = 0
1
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑧
4
при 𝑘 = 1
3
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
4
𝜋𝑘
, 𝑘∈𝑧
2
6) cos(2𝜋 sin 𝑥) = 1
𝑥=
7) sin(1995𝜋 cos 𝑥) = 0
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
8) cos(1995𝜋 sin 𝑥) = 1
𝑥 = (−1)𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑘
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧 , 𝑘 ∈ 𝑧 |𝑘| ≤ 1995
1995
2𝑘
+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧 , 𝑘 ∈ 𝑧 |𝑘| ≤ 997
1995
1
𝑥 = (−1)𝑛 arcsin(− ) + 𝜋𝑘
3
2
𝑥 = (−1)𝑛 arcsin + 𝜋𝑛
3
25𝜋
1 + 6𝑘
10) 𝑐𝑡𝑔 (
cos 𝑥) = √3
𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑧 , 𝑛 ∈ 𝑧
2
75
9) 𝑡𝑔(𝜋 sin 𝑥) = −√3
11) 𝑡𝑔(𝜋 cos(𝜋 sin 𝑥)) = 0
𝜋
𝑥 = ± + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑧
6
𝜋𝑛
𝑥=
, 𝑛∈𝑧
2
|𝑘| ≤ 12
Домашнее задание:
Из п.1 №5,6
п.2 №2
п.3 №5; 7; 9; 11.
Литература
1. М.Л. Галицкий М.М. Мышкович С.И.Шварцбурд
2. В.С. Крамор «Математика. Типовые примеры на вступительных
экзаменах».
3. В.В. Кривоногов «Нестандартные задания по математике».
4. Методички для поступающих в ВУЗы.