2011-01-28-Loskutov.pps

МГУ им. М.В.Ломоносова
http://chaos.phys.msu.ru
Содержание
1.
2.
3.
4.
5.
Введение
Энтропия и размерность
Показатели Ляпунова
Анализ временного ряда
Анализ электрокардиограмм
1. Введение
Два основных подхода к исследованию
природных процессов:
1. Моделирование
2. Анализ данных
Идентификация
изучаемого процесса
xИсследуемый
n
процесс:
10
20
30
40
50
60
70
80
80
90
100
110
120
Конечная реализация: временной ряд
130
n
140 . . .
xn n 0 .
N
Задача идентификации:
определить свойства системы.
Задача прогноза:
предсказать xN 1 или
xN l , l >1.
При этом порождающий механизм неизвестен
Формализация
понятия «временной ряд»
Измерения:
отображение множества натуральных чисел
n
в
некоторое
множество
.
 0,1, 
X
Основной пример:
эволюция динамической системы с компактным
пространством
состояний
X, определяемое
отображением  : X  X . Временные реализации
имеют вид n    n  x0   X .
Задачи:
• Разделение случайного и детерминированного сигнала
• Определение эффективного числа степеней свободы
• Выявление скрытой динамики системы (периодических и
квазипериодических составляющих)
• Разладка. Сегментация
• Возможность управление ситуацией
• Прогноз
Разладка
Резкое изменение свойств наблюдаемого ряда
(размерности, энтропии, показателей Ляпунова),
происходящее в неизвестный заранее момент
времени.
Априорная
?
Апостериорная
De
De
De
2. Энтропия и размерность
Основные вопросы
• Прогноз развития ситуации.
• Как отличить случайность от хаоса?
• Каково число степеней свободы?
• Какие характеристики нужны для этого?
ЭНТРОПИЯ ПРОЦЕССА
Энтропия S – мера беспорядка в
системе. Пример, когда S растет:
Pi – вероятности оказаться системе в
состоянии i.
Эта задача прояснит смысл энтропии
На раздаче в баре совершено убийство; яд
находится водном из 1200 стаканов. Сколько
надо сделать проб для определения, в каком
стакане яд?
Если положение шара заранее неизвестно и
мы его узнаём, то тем самым мы увеличиваем
суммарную информацию на 1 бит.
Необходимо два вопроса, т.е. максимальное
количество информации 2 бит. Или
от числа возможных состояний, которое равно 4.
Рост беспорядка связан с ростом
незнания о состоянии системы:
S
 Pi ln P
Поскольку беспорядок есть понятие теории
информации, энтропию, показывающую,
насколько система хаотична (неупорядочена),
можно определить соотношением Шеннона:
это средняя скорость потери информации о
состоянии динамической системы с
течением времени.
Как рассчитать энтропию и другие
характеристики реального наблюдаемого
процесса, т.е. временного ряда?
РАЗМЕРНОСТЬ
Размерность D – геометрическая
характеристика. Она показывает,
сколько переменных необходимо взять,
чтобы однозначно описать систему.
D=1
x
D = 1, 2 или 3
Каковы энтропия и размерность
случайного, регулярного и
хаотического процессов?
Эти величины характеризуют сложность.
Для случайных систем
D  , H  .
Для хаотических процессов
0<H<
D, H – независимые величины
D
1, H  0
D  1, H  1: x
lx, l
преобразование Бернулли
1
x
1 (mod 1) :
2 x (mod 1)
Это детерминированное
преобразование порождает
случайные последовательности
для почти любого н/у x0 .
Теорема (F.Takens).
Для любой дифференцируемой
динамической системы с компактным
пространством состояний энтропия
либо H  0, либо 0  H    H   .
Система называется хаотической, если
в пространстве ее состояний X  n
существует такое подмножество
n
положительной меры, что
AX 
для почти любой траектории с x0  A
выполняется 0  H  .
Как рассчитать энтропию H и
размерность D реального
процесса, т.е. временного ряда?
xn
n
10
20
30
40
50
60
70
Временной ряд
80
80
90
100
 xn n 0
N
110
120
130
140 . . .
Назовем (n,ε)-разделенными два отрезка, 
1
  xk k 0
n
  yk k 0 , траектории длины n, если существует k 0 ,
0  k0  n, такое, что dist   xk  ,  yk    .
0
0
и 1
n


1

n  16, k0  14
2
Пусть An , – множество отрезков длины n ,
отличающихся на  , и Cn , – количество
элементов в An , . Мера того, как C растет
n ,
при   0 ,

ln Cn ,
D  lim  lim sup
n    0
ln 1



,


называется размерностью ряда
 xn n 0 .
N
Размерность определяет минимальное число
переменных, необходимое для однозначного
описания системы.
Мера того, как C растет при увеличении
n ,
n, называется энтропией процесса:
ln Cn ,

H  lim  lim sup
 0
n
 n

.

Энтропия говорит о
!
горизонте
предсказуемости
1
t~ .
H
«Проклятие» размерности
Неожиданный пример:
r2 
2  1,
r3 
3  1,
,
rm 
m 1
1
r
Ряды могут обладать инвариантностью
относительно преобразования масштаба.
Это означает, что минутные данные
после преобразования масштаба не
должны отличаться от часовых.
a
f ( f ( f ( … (x)))
h
Xn+1 = f (Xn)
Шум
Каждая точка окружена «облаком»:
l  l0
D
l0
log C (l )
Здесь наклон с
возрастанием
размерности De
не меняется
Здесь наклон с ростом De
увеличивается
log l
3. Показатели Ляпунова
Основное свойство
траекторий:

u
W
W
s
Показатели Ляпунова
x1(t)
ξ(0)
ξ(t)
1 | ξ (t ) |
 (ξ (0))  lim ln
t  t
| ξ ( 0) |
|ξ ( 0 )|  0
x2(t)
Теорема Я.Песина: H 

(
x
)
d




X 
Для однородных подмножеств H 


4. Анализ временного ряда
Как найти энтропию наблюдаемого процесса?
•К1 – энтропия Колмогорова-Синая,
•K2 – корреляционная энтропия (нижняя граница К1).
Корреляционный интеграл

N
1
 
m
C ( r )  2   r  zi  z j
N i , j 1
,
m – размерность пространства.
Таким образом, K2 – энтропию можно найти
как предел логарифма отношения корреляционных интегралов.
Предельную зависимость K2
можно представить в виде
K2 -энтропия
Как найти D?
• Функциональный метод
• Корреляционный интеграл
• Метод ложных соседей
Необходимо ввести спектр размерностей Dq
Функциональный метод
(n)
w
  ynk 1, ynk 2 ,..., yn1, yn , w 
(n)
k
Зафиксируем одну из последовательностей,
начинающуюся с номера n0  w(0) .
Определим
k (n, n0 )  w( n )  w(0) , r (n, n0 )  yn 1  yn 1
o
Наличие функциональной зависимости:
При
yn 1  f  w
k (n, n0 )  0 выполняется r (n, n0 )  0.
(n)
.
При
k (n, n0 )  0 выполняется r (n, n0 )  0.
Система Лоренца
Метод ложных соседей
x
3
x
x
1
2
5. Анализ электрокардиограмм
В данной части приведены результаты, полученные в
Рентгенохирургическом центре интервенционной
кардиологии Главного военного клинического госпиталя
им. акад. Н. Н. Бурденко совместно с группой
кардиохирургов во главе с проф. А.В.Ардашевым.
Все больные перед проведением исследования в
течение 12 ч. не курили, не употребляли напитков,
содержащих кофеин; в течение 36 часов не употребляли
алкоголь; за 1 ч. до исследования рекомендовался
легкий прием пищи. Исследование проводилось после
15-минутного отдыха в горизонтальном положении в
условиях покоя в тихой комнате при спокойном
освещении от 11.00 до 16.00.
Для кардинального лечения разного рода аритмий
был использован достаточно прогрессивный метод
радиочастотной абляции (РЧА) сердечной ткани.
Задача: изучить практическую значимость характеристик, известных из теории временных рядов.
Фазовый портрет
сердечного ритма
практически здорового
человека
Фазовый портрет ритма
пациентов, страдающих
атриовентрикулярной
тахикардией.
Исходные количественные характеристики, рассчитанные на
основе анализа ритмов у больных с АВТ и лиц контрольной
группы
Больные с
АВУРТ (n=25)
Группа
контроля (n=20)
D0
2,450,26
2,480,18
D1
2,550,34
2,520,32
Н
0,180,08
0,660,29
D2
2,520,21
2,540,26
Параметры
Результаты свидетельствуют о большей упорядоченности
ритма у больных с данными нарушениями сердечного ритма.
Фазовый портрет ритма
пациентов, страдающих
атриовентрикулярной
тахикардией, в первые
сутки после РЧА.
Изменение характеристик хаотичности сердечного ритма у
больных с атриовентрикулярной тахикардией после РЧА
Параметры
Исходно
Через 6 ч.
Через
24 ч.
Через
2 мес.
Через
6 мес.
Через
12 мес.
D0
2,450,26
2,560,27
2,640,14
2,700,26
2,560,16
2,490,19
D1
2,550,34
2,480,38
2,520,34
2,550,35
2,370,35
2,410,44
Н
0,180,08
0,470,40
0,280,16
0,420,14
0,420,22
0,430,26
D2
2,520,21
2,440,26
2,420,27
2,450,24
2,450,29
2,460,15
Происходит увеличении степени хаотичности колебаний
Сравнение количественных мер хаотичности
сердечного ритма у пациентов с рецидивами и без
рецидивов после РЧА
Параметр
ы
D0
D1
Н
D2
Подгруппа
Исходно
Через
6 ч.
Через
24 ч.
Через
2 мес.
Через
6 мес.
Через
1 год
А
2,470,25
2,600,23
2,510,27
2,490,26
2,520,22
2,420,40
Б
2,500,30
2,630,21
2,600,22
2,550,22
2,600,15
2,440,18
А
2,510,34
2,430,32
2,460,33
2,420,36
2,360,38
2,410,33
Б
2,440,41
2,430,40
2,500,42
2,380,42
2,370,43
2,45
А
0,570,14
0,380,14
0,480,11
0,560,15
0,660,25
0,620,28
Б
0,370,17
0,350,14
0,210,09
0,500,21
0,610,22
0,700,2
А
2,550,26
2,470,30
2,560,29
2,520,17
2,450,31
2,410,22
Б
2,450,32
2,550,35
2,520,13
2,490,23
2,520,26
2,440,2
А – подгруппа пациентов без
рецидивов;
Б – подгруппа пациентов с
рецидивами.
Фазовый портрет ритма
пациентов, страдающих
трепетанием предсердий.
Параметры
Группа пациентов
с ТП до РЧА (n=23)
Группа клинического сравнения
(n=20)
D0
2,610,30
2,48±0,18
D1
2,280,36
2,52±0,32
H
0,470,25
0,66±0,29
D2
2,530,19
2,54±0,26
Показатели свидетельствуют о большей упорядоченности
сердечного ритма у больных с ТП.
Фазовый портрет ритма
пациентов, страдающих
трепетанием предсердий,
в первые сутки после
РЧА.
Параметры
Исходно
Через
6 ч.
Через
24 ч.
Через
2 мес.
Через
6 мес.
Через
1 год
DF
2,610,30
2,470,24
2,550,31
2,670,19
2,750,16
2,620,32
DI
2,280,36
2,590,31
2,650,35
2,590,26
2,660,34
2,260,33
H
0,470,15
0,320,09
0,420,09
0,540,23
0,830,25
0,710,40
DC
2,530,19
2,520,14
2,540,22
2,660,16
2,480,35
2,530,17