Лекция № 11 Квантование момента импульса. Квазиклассический метод нахождения стационарных состояний. Алексей Викторович Гуденко 08/05/2015 План лекции 1. 2. 3. 4. 5. 6. Квантование момента импульса. Вращательные и колебательные уровни энергии. Частица в глубокой прямоугольной яме. Квазиклассический метод нахождения стационарных состояний. Гармонический осциллятор. Электрон в кулоновском потенциале - спектр атома водорода. Демонстрации Опыт Франка и Герца Опыт Франка и Герца (1913 г.) Разница уровней энергии основного состояния и ближайшего возбуждённого: E2 – E1 = 4,9 эВ Пары ртути излучают ультрафиолет с λ = 253,7 нм. Проверим: E(эВ) = 1,24/λ(мкм) = 4,89 эВ (!) Операторы физических величин Постулат квантовой теории: Состояние, в котором физическая величина Q имеет определённое значение, описывается ψфункцией, которое является решением уравнения: Qψ = Qψ, где Q – оператор физической величины Q Пример: pxψ = pxψ → -iћ∂ψ/∂x = pxψ → ψ = Ceikx (k = px/ћ) – плоская волна де-Бройля свободной частицы (координатная часть) Момент импульса: оператор Lz = -iћ∂/∂φ Уравнение для нахождения собственных значений и собственных функций: Lzψ = Lzψ → -iћ∂ψ/∂φ = Lzψ Решение: ψ = ψ0exp(iLzφ/ћ) Однозначность: ψ(φ + 2π) = ψ(φ) → exp(2πLz/ћ) = 1 → Lz = mћ, |m| = 0, 1, 2, … Нормировка: ∫ψψ*dφ = 1 → ψ0 = 1/(2π)1/2 → ψ = 1/(2π)1/2exp(imφ) Lz = mћ; m – магнитное квантовое число Момент импульса <L2> = <Lx2>+ <Ly2 > + <Lz2> Сферическая симметрия: <Lx2> = <Ly2 > = <Lz2> → L2 = 3<Lz2> |Lz| ≤ L → mmax = ℓ: m = -ℓ, -(ℓ - 1), …-2, -1, 0, 1, 2, …, ℓ - 1, ℓ количество значений m равно (2ℓ + 1) штук. <Lz2> = Σ(ћm)2/(2ℓ + 1) = ћ2 Σm2/(2ℓ + 1) = 1/3 ћ2ℓ(ℓ + 1) {Σm2 = 1/6 ℓ(ℓ + 1)(2ℓ + 1)} L2 = ћ2ℓ(ℓ + 1); ℓ - азимутальное квантовое число Момент импульса Lz = mћ; |m| = 0, 1, 2, … ℓ – магнитное квантовое число L2 = ћ2ℓ(ℓ + 1); ℓ = 0, 1, 2, … - азимутальное квантовое число Квантовый ротатор Er = L2/2I = ћ2ℓ(ℓ + 1)/2I – энергия вращательного движения квантуется. Квант вращательного движения: ΔE = ћ2(ℓ + 1)/I (Правило отбора Δℓ = -1, +1) Молекула водорода – квантовый ротатор Вращение «размораживается» при температуре kT ~ ΔE ~ ћ2/I → T ~ ΔE/k ~ ћ2/Ik Момент инерции молекулы водорода: I = 2mp(d/2)2 = mpd2/2 ; d ~ 1 A – межъядерное расстояние; mp = 1,67 10-24 г – масса протона. T ~ ћ2/Ik = 2ћ2/ mpd2k = 2*(1,05*10-27)2/1,67*10-24 (10-8)2 1,38*10-16 ~ 100 K Теплоёмкость водорода (эксперимент) Частица в прямоугольной яме: En = ћ2π2n2/2mℓ2 (∂2Ψ/∂x2) + k2Ψ = 0, где k2 = 2mE/ћ2 Ψ = Asinkx + Bcoskx Ψ(0) = 0 → B = 0 Ψ(ℓ) = 0 → knℓ = πn (n = 1,2,3…) En = ћ2π2n2/2mℓ2 – энергия квантуется Нормировка ∫|Ψ|2dx = 1 → A = (2/ℓ)1/2 Ψn(x)= (2/ℓ)1/2sinπnx/ℓ λn = 2π/kn = 2ℓ/n (ℓ = n λn/2 – в яме укладывается целое число полуволн) картинки Численные оценки Молекула в сосуде: m ~ 10-23г ℓ ~ 10 см En ~ ћ2π2n2/2mℓ2 ~ 10-32n2 эрг ΔEn = ћ2π2 (2n+1)/2mℓ2 ≈ ћ2π2 n/mℓ2 ≈ 10-32n эрг E ~ kT ~ 10-14 эрг ~ n ~ 109 ΔEn/E ~ 10-9 Гармонический осциллятор U = ½ mω2x2 (квазиклассика) Уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора: ∂2ψ/∂x2 + 2m/ћ2(E – ½mω2x2)ψ = 0 Квазиклассика: En = ½ mω2Ln2 → Ln = (2En/mω2)1/2 λ = h/p = h/(2mEn)1/2 Ln = nλ/2 → (2En/mω2)1/2 = nh/2(2mEn)1/2 → En = (π/2) ћωn = C ћωn En = Cћωn – в квантовом осцилляторе уровни эквидистантны! Квантовый осциллятор Квантовый осциллятор Принцип соответствия: В пределе больших квантовых чисел «квантовая система» превращается в «классическую». Классический электрон излучает с частотой движения → ωкл = ΔE/ћ Δωкл = 1/ћ dE/dn = Cω → С = 1 Уровни энергии квантового осциллятора: En = (n + ½) ћω Энергия нулевых колебаний (n = 0): при n = 0 E ≠ 0 – соотношение неопределённостей: ΔpΔx ~ ћ Δp ~ p Δx ~ x → p ~ ћ/2x U = ½ mω2x2; K = p2/2m = ћ2/8mx2 E = U + K → U = K → x2 = ћ/2ω2m → Emin = 2U = ½ћω E0 = ½ ћω – энергия нулевых колебаний Квантовый осциллятор: En = (n + ½) ћω Квантовый осциллятор Квантовый осциллятор: нулевая энергия Е0 = ½ ћω (точное решение) ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2) + (E – U)Ψ = 0 → (ћ2/2m) ∂2Ψ/∂x2 + EΨ - ½æx2Ψ = 0 замена: ζ = 2E/ћω; ξ = x(æ/ћω)1/2 → - (∂2Ψ/∂ξ2) + ξ2Ψ = ζΨ Одно из решений Ψ = exp(αξ2) → для любого ξ должно быть: (1 - 4α2)ξ2 - 2α = ζ → 1 - 4α2 = 0 → α = - ½ (+ не годится) → Ψ = exp(-ξ2/2); ζ = 1 Это решение не имеет узлов → значит основное состояние (n = 1) → E0 = ½ ћω Квантовый осциллятор и теплоёмкость водорода Характерная энергия колебаний: ωкол ~ ωэл(me/mp)1/2 Eкол ~ Eэл(me/mp)1/2 ~ 10 эВ/(2000)1/2 ≈ 0,2 эВ Колебательные степени свободы «размораживаются» при температуре: T ~ Eкол/k = 0,2 1,6 10-12 /1,38 10-16 ~ 2000 K Теплоёмкость водорода (эксперимент) Кулоновский потенциал и спектр атома водорода (квазиклассика) U = - e2/r Уравнение Шредингера для электрона в кулоновском поле: Δψ + 2m/ћ2(E + e2/r)ψ = 0 Квазиклассика: |En| = e2/Ln → Ln = e2/|En| условие квантования: Ln = nλ/2 → e2/|En| = nћ/2(2mEn)1/2 → En = Ce4m/n2ћ2 Принцип соответствия: ωкл = ω ω = 1/ћ dE/dn = -2Ce4m/n3ћ3 = -2En/nћ ωкл2 = e2/mr3 = - 8En3/me4 → ωкл = ω → En = - me4/2n2ћ2 – совпадает с точным решением Кулоновский потенциал Время жизни классического атома водорода τ ~ 10-11 c Скорость электрона v = e2/ћ = 2,2 108 м/с << c (pr ~ ћ) K = mv2/2 = e2/2r → E = mv2/2 - e2/r = - e2/2r Ускоряющийся заряд излучает ~ a2: dE/dt = - 2e2a2/3c3 → e2/2r2 dr/dt = - 2e2a2/3c3 → τ = m2c3r03/4e4 = (0,9 10-27)2(3 1010)3(0,53 10-8)3/4(4,8 10-10)4 = 1,3*10-11 c Спектр излучения атома водорода Спектр излучения – линейчатый Бальмер (1885 г.) (видимая серия): ω = R(1/22 – 1/n2), n = 3,4,5,… R = 2,07 1016 c-1 – постоянная Ридберга. (λ23 = 2πc/R(5/36) = 565 нм λ2∞ = 2πc/R/4 = 365 нм Обобщенная формула Бальмера: ω = R(1/m2 – 1/n2), m < n – целые числа. Спектр водорода