Использование понятия «эффективная масса» в наноэлектронике

Национальный технический университет Украины
«Киевский Политехнический Институт»
XXX Международная Научно-техническая конференция
«Электроника и нанотехнологии»
Использование понятия
«эффективная масса»
в наноэлектронике
Москалюк В.А., к.т.н.
Федяй А.В.
кафедра ФБМЭ НТУУ «КПИ»
13-15 апреля, 2010
Киев, УКРАИНА
1
Задачи доклада


а) унифицировать ряд понятий, производных от
понятия «эффективной масса» (введение в суть
вопроса)
б) на конкретном примере показать, как
правильное использование понятия эффективной
массы в наноэлектронике позволяет получить
адекватные результаты при моделировании такой
наноразмерной структуры, как резонаснотуннельный диод.
2
Свободный электрон vs. электрон в решетке
V (r )  0
V (r  R )  V (r )
R  вектор решетки Брависа
 ( x)  A exp[i (kr  t )]
(волна де-Бройля)
( k )2
p2

E
2m
2m
 (r )  u (r ) exp[i (kr  t )]
(волна Блоха)
u (r  R )  u (r )
E (k  K )  E (k )
K  вектор обратной решетки
E (k )  E (k x , k y , k z )
имеет произвольный вид
3
Разложение E(kx,ky,kz) вблизи краев зон
E0= E(kx0,ky0,kz0)
1
2 E
E (k )  E0  
(ki  ki 0 )(k j  k j 0 )
2 i , j ki k j
i , j  x, y , z
или
 kx  kx0 


E (k )  E0  k x  k x 0 , k y  k y 0 , k z  k z 0  M 1  k y  k y 0 
2
k k 
z0 
 z
где
2
M
1
ij
1 2 E
 2
ki k j
 тензор обраттой эффективной массы
k0
4
Ускорение в электрическом поле F
 m1



M
m2


m3 

1  E
E
E 
v 
ex 
ey 
ez 
 k


k

k
y
z
 x

 m11

 


a
m2 1
  kx  kx0 


k

k
y0 
 y
1  
m3   k z  k z 0 
dv
dk
 M 1
dt
dt
dk
 qF - (полуклассическая модель )
dt
 аналогично закону движения 
Ma  -qF - 

 свободного электрона

5
Понятия, производные от тензора
эффективной массы

Омическая эффективная масса
(используется для определения
удельной электропроводности)
1
1
1
1



mc m1 m2 m3
Эффективная масса плотности
состояний (используется для
определение эффективной
плотности состояний)
md   Z 

Поперечная / продольная
эффективная масса в
долине.
вводится для отдельно взятой
долины, изоэнергетические
поверхности в которых есть
эллипсоиды вращения

Эффективная масса в
кристаллографическом
направлении (или в любом другом)
или эффективная масса
проводимости.
мера инертности при
движении в каком-то одном
определенном направлении
([001], [111], …)

2/3
(m1m2 m3 )1/ 3
6
Нахождение метастабильных
уровней энергии AlAs/GaAs РТД
(перенос заряда в направлении
[001])
7
Вид изоэнергетических поверхностей
GaAs и AlAs, соответствующих
Г- (а), X- (б) и L-долинам (в)
а)
б)
в)
8
Зонная диаграмма РТД подолинно
0
E L
XL
EAlAs
GaAs
L

L
EGaAs
X
X
EGaAs
0.2
AlAs
X
EAlAs
0.6
0.4
GaAs
E 
0.8
AlAs
E X
GaAs
E,
эВ
b
[001]
a
0
b
a
a+b
z
Разрывы зон в долинах:  = 1 эВ, L = 0.21 эВ, X = -0.24 эВ;
Расстояние между долинами и дном проводимости
соответствующих материалов: E X  0.49 эВ E X  0.73эВ E L  0.29 эВ
GaAs
AlAs
GaAs
Ширина слоев: a = 90.4 A, b = 34.0 A
9
Для каждой долины в отдельности
Общее количество уровней
в квантовой яме:
Положение уровней (получается
из трансцедентного уравнения):
 2 mb
N 
 

 mb mw 2 

 1  
 1
m
m


0
0
 0


cos  (n  1)    
2

1
1
mw  1


1
mb   2 2 
2 2
 
,
2
mwUa
2

ka
2
k  2mw E
10
Г
Г - долина GaAs и AlAs
невырождена и
изотропна,
изоэнергетические
поверхности в зоне
Бриллюэна практически
сферические.
Поэтому эффективная
масса в любом
направлении одинакова,
в том числе и в
направлении z.
11
X
Изоэнергетические поверхности
в X-долине GaAs и AlAs
представляют собой 6
эллипсоидов вращения (рис. 3,
в), большие оси четырех из
которых расположены
перпендикулярно направлению
[001]. Эффективная масса
электрона в этих четырех
долинах в направлении [001]
равна поперечной. Большие оси
двух оставшихся долин
совпадают с направлением
[001], поэтому эффективная
масса в них равна продольной.
12
L
Изоэнергетические поверхности
в L-долинах GaAs и AlAs
представляют собой 8
эллипсоидов вращения, каждый
из которых лишь наполовину
находится в первой зоне
Бриллюэна (см. рис. 3, б).
Длинные оси четырех этих
эллипсоидов расположены в
направлениях, эквивалентных
[111], симметрично под углом
относительно направления [001],
который равен:
arcsin( 2 / 3)

3ml* (L)mt* (L)
m (L) 
2mt* (L)  ml* (L)
*
z
13
Продольные/поперечные массы и
найденные массы в направлении [001]
GaAs
AlAs
0.067
0.15
1.9
1.32
0.0754
0.15
0.21
0.367
m*z (X) / m0  mt* (X) / m0
0.23
0.22
m*z (X) / m0  ml* (X) / m0
1.3
0.97
m (, L, X) / m0
*
m () / m0  m () / m0
*
z
*
ml* (L) / m0
mt* (L) / m0
m*z (L) / m0
14
Найденные энергетические уровни
Долина
Материал,
образующий
квантовую
яму
Количество
метастабильных уровней
Собственные энергии в
соответствующих метастабильных
состояниях (относительно дна долины GaAs), эВ
Г
GaAs
4
0.0442, 0.1787, 0.4068, 0.7256
Х
AlAs
2
0.3029, 0.4550
X
AlAs
3
0.2606, 0.3216, 0.4178
L
GaAs
4
0.3036, 0.3446, 0.4126, 0.4964
15
Настоящая работа vs. WinGreen
16
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
mail to: artem.fedyay@gmail.com
17