ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Типовые задачи В-11

ПРАВИЛЬНАЯ
ПИРАМИДА
Типовые задачи
В-11
http://gorkunova.ucoz.ru
1. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все
его ребра увеличить в два раза?
Если все ребра тетраэдра увеличить в 2 раза, то
мы получим подобный тетраэдр (коэффициент
подобия в данном случае равен k = 2)
Объемы подобных тел относятся как куб их
коэффициента подобия
k3 = 23 = 8
Ответ: 8
2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного
тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
Если все ребра тетраэдра увеличить в 2 раза, то
мы получим подобный тетраэдр (коэффициент
подобия в данном случае равен k = 2)
Площади подобных тел относятся как квадрат
их коэффициента подобия
k2 = 22 = 4
Ответ: 4
3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 1, а высота равна √3
Формула объема пирамиды:
V 
1
S H
3
S – площадь основания, Н = √3 – высота пирамиды
О
В правильной треугольной пирамиде в основании
лежит правильный треугольник со стороной равной 1
a2 3
3
S

4
4
Подставляем данные в формулу объема пирамиды:
V 
1 3
1

 3   0,25
3 4
4
Ответ: 0,25
4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 2, а объем равен √3
Формула объема пирамиды:
V 
1
S H
3
S – площадь основания, Н – высота пирамиды
О
В правильной треугольной пирамиде в основании
лежит правильный треугольник со стороной равной 2
a2 3 4 3
S

 3
4
4
Подставляем данные в формулу объема пирамиды:
3
1
 3 H ,  H  3
3
Ответ: 3
5. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны
10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой
пирамиды.
M
Формула площади поверхности пирамиды
В
А
С
D
В правильной четырехугольной пирамиде в основании
лежит квадрат со стороной равной а = 10
Sосн = а2 = 102 = 100
Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных равнобедренных
треугольников со сторонами а = 10 и b = 13
Площадь одного треугольника можно найти по формуле Герона:
S  pp  a p  b p  b 
S  18  8  5  5  60
где р = (а + b + b) : 2 = 18
ДРУГОЙ СПОСОБ
Подставляем данные в формулу площади поверхности пирамиды:
S = 100 + 4 . 60 = 340
Ответ: 340
6. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной
пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.
Формула площади боковой поверхности
правильной пирамиды:
S  pl
p – полупериметр основания,
l – апофема (высота боковой грани)
О
К
В правильной четырехугольной пирамиде в основании
лежит квадрат со стороной равной а = 6
p = 2a = 12
Апофему l = SK найдем из SOK (O = 900): SO = H = 4, OK = ½ AB = 3
по т. Пифагора SK = 5
Подставляем данные в формулу площади бок. поверхности пирамиды:
S = 12 . 5 = 60
Ответ: 60
7. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной
пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.
Формула площади поверхности пирамиды
Формула площади боковой поверхности
правильной пирамиды: S
 pl

О
p – полупериметр основания,
l – апофема (высота боковой грани)
К
В правильной четырехугольной пирамиде в основании
лежит квадрат со стороной равной а = 6
p = 2a = 12
Апофему l = SK найдем из SOK (O =
по т. Пифагора SK = 5
900):
Sосн
S = а2 = 36
о
SOс
= H = 4, OK = ½ AB = 3
н
Подставляем данные в формулу площади бок. поверхности пирамиды:
Sбок = 12 . 5 = 60
Подставляем данные в формулу площади бок. поверхности пирамиды:
S = 36 + 60 = 96
Ответ: 96
8. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое
ребро равно 10. Найдите ее объем.
Формула объема пирамиды:
V 
1
S H
3
S – площадь основания, Н = 6 – высота пирамиды
В правильной четырехугольной пирамиде в основании
лежит квадрат со стороной равной а
О
Найдем АО из SOА (O = 900): SO = H = 6, AS = 10
по т. Пифагора AO = 8
S
AO = ½ AC = ½ d, где АС – диагональ квадрата
ABCD
о
d = 2AO = 16,
a 2  16 ,
d = a√2
16с
 a н
2
S = a2 = 128
Подставляем данные в формулу объема пирамиды:
V 
1
 128  6  256
3
Ответ: 256
9. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем
равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Формула объема пирамиды:
V 
1
S H
3
S – площадь основания, Н = 12 – высота пирамиды
S = 3V : H = 3 . 200 : 12 = 50
О
В правильной четырехугольной пирамиде в основании
лежит квадрат со стороной равной а
S = a2 = 50

a = 5√2
S
Боковое ребро АS найдем из SOА (O = 900): SO = H = 12,
AO = ½ AC = ½ d, где АС – диагональ
1
AO   5 2  2  5
2
По т. Пифагора:
о
квадрата
с
н
d = a√2
AS  AO 2  SO 2  13
Ответ: 13
10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA
равно 5, сторона основания равна 3√2. Найдите объем этой пирамиды.
Формула объема пирамиды:
V 
1
S H
3
S – площадь основания, Н – высота пирамиды
В правильной четырехугольной пирамиде в основании
лежит квадрат со стороной равной а = 3√2
О
S = a2 = 18
Высоту SO = H найдем из SOА (O = 900): SА = 5,
S
AO = ½ AC = ½ d, где АС – диагональ квадрата
AO 
По т. Пифагора:
о
с
1
3 2  2  3
2
н
d = a√2
SO  SA 2  AO 2  4
Подставляем данные в формулу объема пирамиды:
V 
1
 18  4  24
3
Ответ: 24
11. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10,
боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности
этой пирамиды.
Боковая поверхность пирамиды состоит из шести
равных равнобедренных треугольников
со сторонами а = 10 и b = 13
Площадь одного треугольника можно найти по формуле Герона:
S  pp  a p  b p  b 
S  18  8  5  5  60
где р = (а + b + b) : 2 = 18
Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:
S = 6 . 60 = 360
ДРУГОЙ СПОСОБ
Ответ: 360
12. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2,
боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.
M
Формула объема пирамиды:
D
О
А
V 
1
S H
3
S – площадь основания, Н – высота пирамиды
В правильной шестиугольной пирамиде в основании
лежит правильный шестиугольник со стороной
равной а = 2
3a 2 3
S
6 3
2
Высоту МO = H найдем из МOА (O = 900): АМ = 4, АО = а = 2
По т. Пифагора:
MO 
AM 2  AO 2  12  2 3
Подставляем данные в формулу объема пирамиды:
1
V   6 3  2 3  12
3
Ответ: 12
13. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания
равна 1. Найдите боковое ребро.
M
Формула объема пирамиды:
D
О
А
V 
1
S H
3
S – площадь основания, Н – высота пирамиды
В правильной шестиугольной пирамиде в основании
лежит правильный шестиугольник со стороной
равной а = 1
3a 2 3 3 3
S

2
2
Подставляем данные в формулу объема пирамиды:
6
1 3 3

 H,
3 2
 H
12
3
Боковое ребро АМ найдем из МOА (O = 900): ОМ = Н, АО = а = 1
По т. Пифагора:
AM  OM 2  AO 2 
144
 1  48  1  49  7
3
Ответ: 7
14. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4,
а угол между боковой гранью и основанием равен 450. Найдите объем
пирамиды
Формула объема пирамиды:
V 
1
S H
3
S – площадь основания, Н – высота пирамиды
О
К
В правильной шестиугольной пирамиде в основании
лежит правильный шестиугольник со стороной
равной а = 4
2
S
3a
3
2
 24 3
Высота SO = OK, как боковые стороны равнобедренного прямоугольного
SOK (O = 900, K = S = 450)
OK найдем из ОКС (К = 900): ОС = а = 4, СК = ½ а = 2
По т. Пифагора:
OK  OC 2  CK 2  12  2 3
Подставляем данные в формулу объема пирамиды:
V 
1
 24 3  2 3  48
3
Ответ: 48