квадратных уравнений Исследовательская работа на тему:

Исследовательская
работа на тему:
Способы решения квадратных
уравнений
Цель работы:
Изучить историю развития знаний и
известные способы решения квадратных
уравнений
Содержание















История развития знаний о квадратных уравнениях
Квадратное уравнение
Виды квадратных уравнений
Способы решений квадратных уравнений
Решение квадратных уравнений по формулам
Зависимость числа корней от знака дискриминанта
Теорема Виета
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Метод «переброски»
Графический способ
Геометрические способы. Решение квадратных уравнений с
помощью циркуля и линейки
Метод номограммы
Приложение. Биквадратные уравнения
Биография Франсуа Виета
Задача Диофанта
История развития знаний о квадратных
уравнениях. Основные этапы
Квадратные уравнения в Древнем Египте (около 2000 лет до н.
э.)
Решение неполных и некоторых полных квадратных уравнений
в Древнем Вавилоне (около 2000 лет до н. э., решение в виде
рецептов)
Решение квадратных уравнений в Древней Греции, используя
геометрические построения.
Диофант рассматривал различные случаи и подробно объяснял
свой способ решения, рассматривал отрицательные корни в
своем сборнике «Арифметика»
Квадратные уравнения в Древней Индии в V – VII веках
(благодаря работам математика Брахмагупты, астронома
Ариабхатты)
История развития знаний о квадратных
уравнениях. Основные этапы
Квадратные уравнения у ал - Хорезми (систематизация и
формулы квадратных уравнений в трактате «Китаб альджебр валь-мукабала» ученого).
Квадратные уравнения в Европе появляются в XVII
благодаря работам математика Фибоначчи (позднее
общее правило решения было сформулировано
Штифелем)
Квадратные уравнения у Франсуа Виета (окончательный
вывод формулы нахождения корней квадратного
уравнения, но исключается существование
отрицательных корней)
Квадратные уравнения принимают современный вид в XVII
веке (благодаря работам Декарта, Ньютона, Жирара).
Квадратное уравнение.

Квадратным уравнением называют
алгебраическое уравнение второй степени
вида ax 2  bx  c  0 , где x – переменная, a, b,
c - действительные числа, число a
называется первым (старшим)
коэффициентом, число b вторым
коэффициентом, а число c свободным
членом.
Виды квадратных уравнений
Приведенные квадратные уравнения.
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

x 2  px  q  0,
где a  1.
Неполные квадратные уравнения.
Неполным квадратным уравнением называют квадратное
уравнение, в котором коэффициент b или свободный член c
равен нулю.
Виды неполных квадратных уравнений:

1. ax 2  c  0, где c  0.
2. ax 2  bx  0, где b  0.
3. ax 2  0.
Способы решений квадратных
уравнений










Метод выделения полного квадрата
Решение квадратных уравнений по формулам
Теорема Виета
Свойства коэффициентов
Разложение левой части на множители
Способ «переброски»
Графический способ
Метод номограммы
Геометрические способы. Решение квадратных
уравнений с помощью циркуля и линейки
Тригонометрический способ
Решение квадратных уравнений по формулам

Корни квадратного уравнения вида
находятся по формуле
x1, 2

ax 2  bx  c  0, где a  0.
 b  b 2  4ac

2a
Корни приведенного квадратного уравнения вида
x 2  px  q  0, где
p 
b
c
,q 
.
a
a
находятся по формуле
 p  p 2  4q
p
p 2
x1, 2 
   ( ) q
2
2
2
-формула Виета.
Решение квадратных уравнений по формулам
Корни квадратного уравнения ax 2  bx  c  0, где a  0
в случае, когда b=2k, ax 2  2kx  c  0, где a  0
то есть второй коэффициент есть четное число, можно
найти по формуле

x1, 2
 k  k 2  ac

a
Зависимость количества корней от
знака дискриминанта
Знак
дискриминанта
D>0
D=0
D<0
Количество корней
Два различных действительных корня.
Два действительных равных корня(один
действительный двукратный корень).
Нет действительных корней, есть пара
комплексных, сопряженных корней, которые
находятся по формуле x   b  i D
2a
Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного
уравнения равна второму коэффициенту,
взятому с противоположным знаком, тогда
и только тогда, когда произведение корней
равно свободному члену.
x 2  px  q  0
 x1  x 2   p

 x1  x 2  q,
Свойства коэффициентов квадратного
уравнения

Если в уравнении ax 2  bx  c  0 , где a  0 ; a  b  c  0
( то есть сумма коэффициентов равна нулю),
то:
c
x 1  1, x 2 
a
Пример
2
Дано уравнение 45 x  23 x  22  0
Так как a + b + c=0, 45+(-23)+(-22)=0, то

x 1  1, x 2  
22
45
Свойства коэффициентов квадратного
уравнения

Если a  b  c  0 , или
x 1  1, x 2  
b  ac
c
a
Пример
2
Дано уравнение 2008 x  2005 x  3  0
Так как b  a  c , 2005=2008-3, то

x 1  1, x 2 
3
2008
, то
Свойства коэффициентов квадратного
уравнения

2
Если a  c, b  a  1; , то
x 1  a, x 2 
Пример
Дано уравнение 7 x 2  50 x  7  0
Так как
7=7, 50=49+1, то
a  c, b  a 2  1;

x 1  7, x 2  
1
7
-1
a
Свойства коэффициентов квадратного
уравнения

Если a  c, b  (a
2
 1)
, то
x 1  a, x 2 
Пример
Дано уравнение 11x 2  122 x  11  0
Так как a  c, b  (a 2  1); 11=11, 122=121+1, то

1
x 1  11, x 2 
11
1
a
Графический способ


Решим графически
уравнение:
Перенесем
второй и третий
члены в правую
часть, получим:
Строим
графики
зависимостей
y  x 2 (парабола) и
y  -bx - c(прямая)
Абсциссы точек
пересечения прямой и
параболы будут
являться корнями
квадратного уравнения
Геометрические способы. Решение квадратных уравнений с
помощью циркуля и линейки.
Допустим, что искомая окружность
пересекает ось абсцисс в точках D( x2 ;0)
и , B( x1 ;0) где x1 и x 2 – корни
уравнения ax 2  bx  c  0 , и проходит
через точки A(0;1) и C (0; y ) на оси
координат. Тогда по теореме о секущих
имеем
OB ,OD  OA  OC
OC 
OB  OD x1  x2 c


.a
OA
1
откуда
По теореме Виета OC= y 0 , C (0; c )
a
Центр окружности находится в точке
пересечения перпендикуляров SF и
SK, восстановленных в серединах
хорд AC и BD, поэтому
b
c

1
x x
b
y y
ac
SK  1 2  a   , SK  ys ; SF  1 2  a 
, SF  xs
2
2
2a
2
2
2a
Решение квадратных уравнений с помощью
циркуля и линейки.

При этом возможны
случаи:
1.
0
0
.
.
x1
x2
ac
AS  SK , или R 
2a
два корня
x 2 x1 ,
x1
ac
AS  SK , или R 
2a
Один корень
1
x
AS  SK , или R 
Нет корней.
ac
2a
Геометрические способы. Решение квадратных
уравнений с помощью циркуля и линейки.
Алгоритм решения:
b
1.
Строим отрезки c (катет), 2 (гипотенуза).
2.
Достраиваем до прямоугольного треугольника ABC.
3.
Проводим окружность с центром в точке A и радиусом,
равным b
2
DC= x1 ,CE= x. 2
Решение квадратных уравнений с
помощью циркуля и линейки.
В случае, когда c<0, построение производится иначе.
Построим прямоугольный треугольник ABC с катетами
b
b
BC  c, AB  , тогда по теореме Пифагора AC  ( ) 2 . c
b
2
2
Такое построение возможно всегда. Теперь радиусом, равным 2
строим окружность с центром в точке A.Она пересечет
гипотенузу и ее продолжение в точках D и E. В таком случае
DB  x1 , а BE  x 2
. Знак модуля ставится для того,
чтобы можно было
рассматривать эту
задачу в случае,
когда p<0.
Метод номограммы

Криволинейная шкала
номограммы строится
по формулам:
a
 z2
OB 
, AB 
1 z
1 z
.
1.OC=p, ED=q,
Метод «переброски».
Дано уравнение: 2 3x 2  (2  3 ) x  1  0
Решим данное уравнение способом «переброски».
Пусть ax  y, тогда получим:
y 2  (2  3 ) y  2 3  0
По теореме Виета:
 y1  2,

 y 2  3.
Так как
ax  y ,
2

x

 1 2 3 

x  3 
 2 2 3
Ответ:
1
3
то:
,
1
.
2
1 1
3, 2 .
Приложение. Биквадратные уравнения

Рассмотрим пример:
9 x 4  10 x 2  1  0,
Введем новую переменную, обозначив x 2 через y :
x 2  y.
Получим квадратное уравнение с переменной y :
9 y 2  10 y  1  0.
Решив его, найдем, что
1
y1  , y 2  1.
9
Значит,
1
или x 2  1.
9
Решая эти уравнения находим, что
x2 
1
1
x 1  , x 2   , x 3  1, x 4  1
3
3

Такой способ
также
называется
приведением к
квадратным
уравнениям
Биография Франсуа Виета

Франсуа Виет - замечательный французский математик,
положивший начало алгебре как науке о преобразовании
выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель
буквенного исчисления. Виет первым стал обозначать
буквами не только неизвестные, но и данные величины.
Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о
возможности выполнять алгебраические преобразования
над символами, т. е. ввести понятие математической
формулы. Этим он внес решающий вклад в создание
буквенной алгебры, чем завершил развитие математики
эпохи Возрождения и подготовил почву для появления
результатов Ферма, Декарта, Ньютона Франсуа Виет
родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке
Фантене-ле-Конт, что находится в 60 км от Ла-Рошели,
бывшей в то время оплотом французских протестантовгугенотов. Большую часть жизни он прожил рядом с
виднейшими руководителями этого движения, хотя сам
оставался католиком. По-видимому, религиозные
разногласия ученого не волновали. Отец Виета был
прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и
стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году
двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном
городе, но через три года перешел на службу в знатную
гугенотскую его дочери двенадцатилетней семью де
Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем
Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом
юристе интерес к математике.
Задача Диофанта
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры,
однако в ней содержится систематизированный ряд задач,
сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления
уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело
выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает,
что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их
произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них
будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е.
10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение
или же
(1)
Задача Диофанта
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение
х = —2 для Диофанта не существует, так как греческая
математика знала только положительные числа.
(2)
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно
из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения
(2)