Системы счисления Кодирование числовой информации

Системы счисления
Кодирование числовой
информации
«Все есть число»
- так говорили пифагорейцы, подчеркивая
необычайно важную роль чисел в
практической деятельности.
Наглядное представление
количественной информации
Счет появился тогда, когда человеку
потребовалось информировать своих сородичей
о количестве обнаруженных им предметов.
Сначала люди просто
различали один предмет
перед ними или нет.
Если предмет был не один,
то говорили «много».
Первыми понятиями математики были "меньше", "больше" и
"столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на
сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно
было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей.
Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу,
чтобы обмен между племенами состоялся.
Самым простым инструментом счета были
пальцы на руках человека
С их помощью можно было считать до 5, а если
взять две руки, то и до 10.
Одна из таких систем счета впоследствии и стала
общеупотребительной - десятичная.
В древние времена люди ходили босиком.
Поэтому они могли пользоваться для счета
пальцами как рук, так и ног.
Таким образом они могли, казалось бы,
считать лишь до двадцати.
Но с помощью этой «босоногой машины»
люди могли достигать значительно
больших чисел,
1 человек - это 20,
2 человека - это два раза по 20 и т.д.
До сих пор существуют в Полинезии племена, которые для счета
используют с 20-ую систему счисления
Запомнить большие числа было трудно, поэтому к
«счетной машине» рук и ног добавляли
механические приспособления.
Способов счета было придумано немало:
В разных местах придумывались разные способы
передачи численной информации:
Например, перуанцы употребляли
для запоминания чисел
разноцветные шнуры с завязанными
на них узлами.
Для запоминания чисел использовались
камешки, зерна, ракушки и т.д.
=
Число стало отделяться от предметов
5
Потребность в записи чисел появилась в очень
древние времена, как только люди научились
считать.
Количество предметов изображалось нанесением
черточек или засечек на какой-либо твердой
поверхности: камне, глине и т.д.
=
Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки
на костях животных или ветках деревьев
Археологами найдены такие "записи"
при раскопках культурных слоев,
относящихся к периоду палеолита
(10 - 11 тыс. лет до н. э.)
Этот способ записи чисел называют
единичной ("палочной”, “унарной”)
системой счисления
Любое число в ней образуется
повторением одного знака - единицы.
Единичная система счёта
3
5
10
Система нумерации
• В языке некоторого туземского племени
было всего два числительных:
один – урапун, два – окоза
• Как назвать числа 3, 4, 5?
– 3 – окоза-урапун
– 4 – окоза-окоза
– 5 – окоза-окоза-урапун
• Начиная с семи, числа имели одно
обозначение – много
Египетская нумерация
Очень наглядной была система
таких знаков у египтян.
Египтяне придумали эту
систему
около
назад.
5 000 лет тому
Это одна из древнейших систем
записи чисел, известная
человеку
Египетская нумерация
1
10
Как и большинство людей для счета небольшого
количества предметов Египтяне использовали
палочки
Каждая единица изображалась отдельной палочкой
Такими путами египтяне связывали коров
Если нужно изобразить несколько десятков, то
иероглиф повторяли нужное количество раз.
Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
10 000 000
Это мерная веревка, которой измеряли земельные
участки после разлива Нила.
Цветок лотоса
Поднятый палец - будь внимателен
Головастик
Увидев такое число, обычный человек очень
дивится и возденет руки к небу
Египтяне поклонялись богу Ра, богу Солнца и, наверное,
так изображали самое большое свое число
Система нумерации
Древнего Египта
= 359
1 245 386
Число
в древнеегипетской записи будет выглядеть
1 2
4
5
3
8
6
Алфавитная нумерация
В середине
V в. до н. э. появилась запись чисел нового типа,
так называемая алфавитная нумерация.
кириллическая нумерация
В этой системе записи числа
обозначались при помощи букв
алфавита., над которыми ставились
черточки: первые девять букв
обозначали числа от 1 до 9,
следующие девять - числа 10, 20, 30,
..., 90, и следующие девять - числа
100, 200, ..., 900.
Таким образом, можно было
обозначать любое число до 999.
90
900
Славянская система нумерации
(алфавитная)
= 341
Римская нумерация
Это нумерация, известная нам и в
настоящее время.
С нею мы достаточно часто
сталкиваемся в повседневной жизни.
Это номера глав в книгах, указание века, числа на
циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в древнем
Риме. В ней имеются узловые числа: один (один палец), пять
(раскрытая ладонь), десять (две сложенные ладони). Для
обозначения чисел 50, 100, 500, 1000 и 2000 специальные
знаки. Остальные числа получались путем прибавления или
вычитания одних узловых чисел из других
Например,
четыре записывается как IV, т. е. пять
минус один,
восемь — VIII (пять плюс три),
сорок—XL (пятьдесят минус десять),
девяносто шесть—XCVI (сто минус
десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.
В качестве цифр используются: I(1), V(5),
X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000),
Z(2000).
Величина числа определяется как сумма или разность
цифр в числе.
MCCMXXXCXVI =
=1000+(1000-100-100)+(100-10-10-10)+5+1 =
= 1876
Запишите данное число арабскими цифрами.
ZZCCCCMLCVX =
=2000+(1000-100-100-100-100)+(100-50)+(10-5) = 2655
Пятеричная система
счисления
Китай
Африка
Двадцатеричная система
20
Майя и Ацтеки
(Центральная Америка)
Кельты (Западная Европа)
1 франк = 20 су
12-ричная система счисления
12
1 шиллинг = 12 пенсам
1 фут = 12 дюймам
60-ричная система
счисления (Вавилонская)
основание = 60
– 1
= 59
– 10
= 747
12 * 60
27
60 минут
60 секунд
Арабская нумерация
Это, самая распространенная на сегодняшний день
нумерация, которой мы пользуемся в настоящее время.
В России арабская нумерация стала использоваться
при Петре I (до конца XVII века сохранялась славянская
нумерация)
По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира
арабским цифрам в их первоначальном варианте было
придано значение в строгом соответствии с числом углов,
которые образуют фигуры
Система счисления
– это способ наименования и обозначения
чисел.
Системы счисления
позиционные
непозиционные
десятичная
двоичная
восьмеричная
шестнадцатеричная
и т.д.
римская
Непозиционные и
позиционные системы
• В непозиционных системах счисления значение
цифры не зависит от ее позиции в числе
MMDCCCLXXVI
сто

сто
сто
В позиционных системах счисления значение
цифры зависит от ее позиции в числе
213335
три тысячи
три
сотни
три десятка
Знаки (символы), используемые в СС для
обозначения чисел, называются
цифрами.
Позиционные системы
счисления
• Основанием системы может быть любое
натуральное число, большее единицы;
• Основание ПСС – это количество цифр,
используемое для представления чисел;
• Значение цифры зависит от ее позиции, т.е. одна
и та же цифра соответствует разным значениям в
зависимости от того, в какой позиции числа она
стоит;
• Например: 888: 800; 80; 8
• Любое позиционное число можно представить в
виде суммы степеней основания системы.
Любое натуральное число можно разложить в
степенной ряд по основанию 10, например:
2545 = 2·103 + 5·102 + 4·101 + 5·100
Но почему именно число 10
взято в качестве основания?
Ведь с таким же успехом число можно разложить по
какому-нибудь другому основанию, например, 7:
2545 = 1·74 + 0·73 + 2·72 + 6·71 + 4·70 =
= 102647
Анатомическое
происхождение системы
Десятичная СС
• Основание системы – число 10;
• Содержит 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9;
• Любое десятичное число можно
представить в виде суммы степеней
числа 10 – основания системы;
234510  2 10  3 10  4 10  5 10
3
2
1
0
Двоичная СС
• Основание системы – 2;
• Содержит 2 цифры: 0; 1;
• Любое двоичное число можно
представить в виде суммы степеней
числа 2 – основания системы;
• Примеры двоичных чисел: 11100101;
10101;
Правила перехода
Из десятичной СС в двоичную СС:
• Разделить десятичное число на 2. Получится
частное и остаток.
• Частное опять разделить на 2. Получится
частное и остаток.
• Выполнять деление до тех пор, пока
последнее частное не станет меньшим 2.
• Записать последнее частное и все остатки в
обратном порядке. Полученное число и
будет двоичной записью исходного
десятичного числа.
Примеры:
2710  110112
Задание № 1:
Для десятичных чисел 341; 125; 1024; 4095
выполни перевод в двоичную систему
счисления.
проверка
2. Правило перехода из двоичной системы
счисления в десятичную.
Для перехода из двоичной системы
счисления в десятичную необходимо
двоичное число представить в виде
суммы степеней двойки и найти ее
десятичное значение.
Пример:
111012  1 2  1 2  1 2  0  2  1 2 
4
3
 16  8  4  0  1  2910
2
1
0
Задание № 2:
• Двоичные числа 1011001, 11110,
11011011 перевести в десятичную
систему.
проверка
Восьмеричная СС
• Основание системы – 8;
• Содержит 8 цифры: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;
• Любое восьмеричное число можно
представить в виде суммы степеней
числа 8 – основания системы;
• Примеры восьмеричных чисел: 21058;
734618;
Правило перехода из десятичной
системы счисления в восьмеричную
• Разделить десятичное число на 8. Получится
частное и остаток.
• Частное опять разделить на 8. Получится
частное и остаток.
• Выполнять деление до тех пор, пока
последнее частное не станет меньшим 8.
• Записать последнее частное и все остатки в
обратном порядке. Полученное число и будет
восьмеричной записью исходного
десятичного числа.
Примеры:
13210  2048
Задание № 3:
Десятичные числа 421, 5473, 1061
перевести в восьмеричную систему.
проверка
Правило перехода из восьмеричной системы
счисления в десятичную.
• Для перехода из восьмеричной системы
счисления в десятичную необходимо
восьмеричное число представить в виде
суммы степеней восьмерки и найти ее
десятичное значение.
2158  2  8  1 8  5  8 
2
1
 2  64  8  5  14110
0
Задание № 4:
Восьмеричные числа 418, 5208, 3068
перевести в десятичную систему.
проверка
Шестнадцатеричная СС
• Основание системы – 16;
• Содержит 16 цифр: от 0 до 9; A; B; C; D;
E; F;
• Любое шестнадцатеричное число можно
представить в виде суммы степеней
числа 16 – основания системы;
• Примеры шестнадцатеричных чисел:
21AF3; B09D;
Правило перехода из десятичной системы
счисления в шестнадцатеричную
• Разделить десятичное число на 16. Получится
частное и остаток.
• Частное опять разделить на 16. Получится
частное и остаток.
• Выполнять деление до тех пор, пока
последнее частное не станет меньшим 16.
• Записать последнее частное и все остатки в
обратном порядке. Полученное число и будет
шестнадцатеричной записью исходного
десятичного числа.
Примеры:
33510  14 F16
Задание № 5:
Десятичные числа 512, 302, 2045
перевести в шестнадцатеричную
систему.
проверка
Правило перехода из шестнадцатеричной
системы счисления в десятичную.
Для перехода из шестнадцатеричной
системы счисления в десятичную
необходимо шестнадцатеричное число
представить в виде суммы степеней
шестнадцати и найти ее десятичное
значение.
A1416  10 16  116  4 16 
2
1
 10  256  16  4  258010
0
Задание № 6:
Шестнадцатеричные числа B516,
A2816,CD16 перевести в десятичную
систему.
проверка
Связь систем счисления
10-ая
2-ая
8-ая
16-ая
0
0
0
0
1
1
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
8
9
1001
9
10
1010
A
11
1011
B
12
1100
C
13
1101
D
14
1110
E
15
1111
F
Правило перехода из двоичной системы
счисления в восьмеричную
Разбить двоичное число на классы справа
налево по три цифры в каждом.
Заменить каждый класс
соответствующей восьмеричной
цифрой.
1.110.101.100 2  16548
Задание № 7:
Двоичные числа 101011112, 110011001102
перевести в восьмеричную систему
проверка
Правило перехода из восьмеричной системы
счисления в двоичную
Каждую восьмеричную цифру заменить
двоичным классом по три цифры в
каждом
25718  10.101.111.0012
Задание № 8:
Восьмеричные числа 268, 7028, 40178
перевести в двоичную систему.
проверка
Правило перехода из двоичной системы
счисления в шестнадцатеричную
Разбить двоичное число на классы справа
налево по четыре цифры в каждом.
Заменить каждый класс
соответствующей шестнадцатеричной
цифрой.
1.1011.1000.11012  1B8D16
Задание № 9:
Двоичные числа 101011112, 110011001102
перевести в шестнадцатеричную
систему
проверка
Правило перехода из шестнадцатеричной
системы счисления в двоичную
Каждую шестнадцатеричную цифру
заменить двоичным классом по четыре
цифры в каждом
F 54 D016  1111.0101.0100.1101.0000 2
Задание № 10:
Шестнадцатеричные числа C316, B09616,
E38 перевести в двоичную систему.
проверка
Задания для домашней работы
1. Для каждого из чисел: 12310, 45610
выполнить перевод: 102, 10  8, 10  16.
2. Для каждого из чисел: 1000112, 1010010112,
11100100012 выполнить перевод: 2  10, 2
 8, 2  16.
3. Для чисел: 543218, 545258, 7778, 1AB16,
A1B16, E2E416, E7E516 выполнить
соответствующий перевод: 8  2, 16  2.
Ответы к заданию №1
34110  1010101012
12510  11111012
102410  10000000000 2
409510  1111111111112
Ответы к заданию № 2
10110012  8910
11110 2  3010
110110112  21910
Ответы к заданию №3
42110  6458
547310  125418
106110  20458
Ответы к заданию №4
418  3310
5208  33610
3068  19810
Ответы к заданию №5
51210  20016
30210  12 E16
204510  7 FD16
Ответы к заданию №6
B516  18110
A2816  260010
CD16  20510
Ответы к заданию №7
101011112  2578
11001100110 2  31468
Ответы к заданию №8
268  10.110 2
7028  111.000.010 2
40178  100.000.001.1112
Ответы к заданию №9
101011112  AF16
11001100110 2  66616
Ответы к заданию №10
C 316  1100.00112
B09616  1011.0000.1001.0110 2
E 3816  1110.0011.1000 2