Распад поляризованного мюона

Темы семинара №3 по электрослабому
взаимодействию



Распад поляризованного мюона
Распад пиона
Нейтрино-электронное рассеяние
Докладчик: Бех С.В.
1
Распад поляризованного мюона

Прошлый раз мы рассмотрели процесс распада мюона
на электрон, мюонное нейтрино и электронное нейтрино
  ( p)  e ( p)   (k )  e (k )

Инвариантная амплитуда этого процесса имеет вид:
G
M 
[  (k )  (1   5 )  ( p)][e ( p)  (1   5 ) e ( k )]
2

Ширина распада тогда равна:
1 1
d 
M

2 E 2 spins

2
d 3 pd 3k d 3k   (4) ( p  p  k  k )
(2 )5 2 E 2 2 
Где квадрат инв. амплитуды M даётся свёрткой следов:
1
M

2 spins
2
G2

Tr   (1   5 ) p   (1   5 )k  
4
(1)
Tr   (1   5 )k   (1   5 ) p   64( pk )(kp)
2
Теорема о следе (лирическое отступление)

При расчёте процессов со слабым взаимодействием полезно
знать формулу
Tr   (1   5 ) p 1  (1   5 ) p 2  Tr   (1   5 ) p 3  (1   5 ) p 4  
 256( p1 p3 )( p2 p4 )

При её выводе не используется закон сохранения. Только одно
слагаемое остаётся как раз из-за наличия 5 матриц:
2Tr (1   5 )  p 1  p 2  2Tr (1   5 )  p 3  p 4  
 43  p1 p2  p1 p2  g  ( p1 p2 )  i  p(1) p(2)  
  p3 p4  p3 p4  g  ( p3 p4 )  i  p(3) p(4)  
 43  2( p1 p3 ) ( p2 p4 )  2( p1 p4 )( p2 p3 ) 
 2( p1 p3 )( p2 p4 )  2( p1 p4 )( p2 p3 )   44 ( p1 p3 )( p2 p4 )
3
Распад поляризованного мюона

Пусть в системе покоя мюона его спин направлен по
единичному вектору h, тогда матрица плотности равна:
k 
1
hp
p(h p) 
5
u ( s)ul ( s)  ( p  m)(1   s )  ,  s0 
,s h 

l
2
m
m( E  m) 

k

Тогда в предыдущем выражении для квадрата M мы
должны домножить на соответствующий проектор. При
этом из свойств следа  матриц следует:
Tr...(1   5 )( p  m)(1   5 s )  (1   5 )... 
 Tr...(1   5 )( p  p  5 s  m  m 5 s )(1   5 )  ... 
 Tr...(1   5 )( p  m 5 s )  (1   5 )... 
 Tr...(1   5 )( p  ms )  (1   5 )...
4
Распад поляризованного мюона

Таким образом видим что следует сделать замену в (1):

Для квадрата инв. амплитуды получаем выражение:
p  p  m s , p  p  me se
1
M

2 spins

2
 64(kp  me kse )(k p  m k s )
В системе покоя мюона (также учитывая me=Ee):


64  kp  me kse   k p  m k s   64kp(1   ne )  m  m (k h ) 


 32( p  k ) 2 (1   ne )m   1  (n eh ) 




 32m2  (m  2 )(1   ne ) 1  (n eh )

Соответственно для распада +:
32m2  (m  2 )(1   ne ) 1  (n eh )
5
Распад поляризованного мюона. Выводы



Как видим угловая асимметрия явл. как Р
так и С-неинвариантной:
она имеет разные знаки в левой и правой
системе координат
она имеет разные знаки для е+ и е- для
распадов + и -.
6
Распад пиона

Пион  может распадаться на мюон  (и вообще говоря
на электрон е-) и мюонное (электронное) нейтрино:
  ( p)    ( p)    (k );   ( p)  e  ( p)   e (k ) 

Инв. амплитуда имеет структуру:
G
M 
(...)  ( p)  (1   5 )  (k )
2

Где (…) означает
слабый ток пиона
диаграммы:
7
Распад пиона

Можно было бы написать ток (…) как:
(...)

1.
2.
d   (1   5 )u
Однако это не верно так как u и d кварки связаны в 
мезоне. Мы знаем что:
амплитуда M лоренц инвариантна следовательно ток
пиона может быть только вектором или изовектором
Пион – скалярная частица поэтому единственным
вектором может быть её импульс р.
(...)  p f ( p 2 )  p f
8
Распад пиона

Так как р2=m2 то функция f явл. константой, (позже
предположим что она равна m) тогда амплитуда распада равна:
M 

G
( p  k  ) f   ( p)  (1   5 )  (k ) 
2
Используя ур. Дирака для мюона и нейтрино:
M 

G
f m  ( p)(1   5 )  (k )
2
Запишем ширину распада (в системе покоя пиона):
3
3

1
d
p
d
k
2 2 2
4
d 
4G f m ( pk )
(2

)
 ( p  p  k ) 
3
3
2m
(2 ) 2 E  (2 ) 2
d 3 pd 3k
(3)




(
E


)

(
m

E


)

(k  p)

2
(2 ) 2m
E 
G 2 f2 m2
9
Распад пиона

Трёхмерная функция снимается тривиально


2

4  d  1 
2
2
2

(2 ) 2m
m




G 2 f2 m2
 m
G f
2

m m 1  2
 m
8


2

2
2




  (m  m2   2   ) 


2
При снятии последней -функции получили:
0 
m2  m2
2m

0
; f ( 0 )  1 
2
2

m



0





10
Распад пиона. Выводы

Если предположить что f=m (что следует из
размерности, то получено время жизни будет
соответствовать эксперименту.

Как упоминалось в начале пион может распадаться
не только в мюон, а и в електрон. Расчёты при этом
не изменятся и мы получим отношение:
(  e  e )  me 





(     )  m 


2
 m  m
 2
 m  m
2
2
e
2
2

4
  1, 2 10

11
Распад пиона. Выводы

1.
2.
3.
Как видим распад пиона в электрон сильно
подавлен, это связано с законом сохранения
углового момента и тем что в слабый ток входят
только левые компоненты спинора:
пион без спиновая частица следовательно лептонная пара
имеет J=0.
При этом электрон и антинейтрино имеют положительную
спиральность
В пределе me=0 повышающий заряд слабый ток связывает
левый электрон с правым антинейтрино.
12
Нейтрино-электронное рассеяние

Современные технические достижения позволяют
создать интенсивные пучки нейтрино и измерять
непосредственно угловые распределения в e рассеянии

Амплитуда рассеяния диаграммы а) равна:
G
M 
[ e (k )  (1   5 )e( p)][e ( p)  (1   5 ) e (k )]
2
13
Нейтрино-электронное рассеяние

Рассуждая аналогично случаю распада мюона получим:
1
M

2 spins

2
 64G 2 (kp)(k p)  16G 2 s 2
Последнее равенство верно в приближении me=0. В
системе центра масс угловое распределение сечения:
d ( e e ) |M |2 G 2 s

 2
2
d
64 s 4

После интегрирования по углам (что даст 4) имеем:
 ( e e ) 

G2s

14
Нейтрино-электронное рассеяние

Диаграмма b) связана с а) соотношением кроссинг
симметрии (s заменяется на t):
1
Mb

2 spins

2
 16G 2t 2  4G 2 s 2 (1  cos  ) 2
После интегрирования по углам имеем:
G2s 1
 ( e e ) 
  ( e e )
3
3


Можно показать что если бы слабый ток имел структуру
V+A то было бы верно:
2
G
s

 ( e e ) 
  ( e e )
4
15
Нейтрино-электронное рассеяние

Для сравнения процесс ee     имеет сечение
4 2
 (ee   ) 
3s

Для чисто V структуры тока квадрат матричного элемента
будет иметь следующий вид (и ни одной операцией
кроссинга его нельзя привести к виду V-A)
M
2
2
2
s

u
 2e4
t2
16
Семинара №3 по электрослабому
взаимодействию
Конец доклада
17