Тема дипломной работы: Исследование модели фрактального броуновского движения Студент: X Руководитель: X 1 Основные определения Непрерывный гауссовский процесс X X t t 0 с нулевым средним и ковариационной функцией 1 2H 2H 2H Cov X s , X t s t ts 2 называется фрактальным броуновским движением (ФБД) с показателем автомодельности Харста 0 H 1. При H 0.5 получаем обычный винеровский процесс. Н = 0.8 Свойства: 1) X 0 0, M X t 0 2) однородные приращения, Xt X s N 0, t s 2H 3) гауссовский процесс, 4) непрерывные траектории, 5) свойство автомодельности: Law X at Law a H X t Н = 0.2 2 Моделирование ФБД n BH n BH n 1 , n 1 Фрактальный гауссовский шум (ФГШ), как разность ФБД: Ковариационная функция ФГШ: Спектральная плотность и ее аппроксимация: 1 fH 2 N Моделирование ФГШ: 1 2H 2H 2H H n n 1 2 n n 1 2 n e e i k k ik n k 1 H k , H k k N 0, 2 2 fˆH w dw fˆH k k k 1 1 N 0 0 1 ... N 21 N 2 BH n k k 1 k L i k Vk Ak cos k n Bk sin k n k 1 ФБД как сумма ФГШ: e k 1 n L N 2 Ak iBk Vk , где Ak , Bk 2 2 k2 1 fˆH 2 3 Оценка характеристик смоделированного фрактального гауссовского шума 1 S n1 Оценка ковариационной функции: ˆ S n n k k S n k 0 где n - фрактальный гауссовский шум. Для реализации в случае Н = 0.8 Для реализации в случае Оценка параметра Харста по методу моментов: 1 ln ˆ S 1 1 1 Ĥ 2 ln 2 2 Н = 0.2 Hˆ 1 ˆ S 1 = 0.8 : Ĥ 0.7914 Для Н = 0.2 : Ĥ 0.2467 Для Н 4 Оценка ФБД по наблюдениям в двух точках Теорема о нормальной корреляции: Bˆ H u M X | Y , BH s где X BH u - оцениваемое значение, Y - вектор наблюдений. BH t При Н = 0.5 получаем линейную оценку. H = 0.2 H = 0.8 - наблюдения, - оценка. 5 Фильтрация Калмана-Бьюси в диффер. системе с возмущениями в виде ФБД Дифференциальная система, описывающая процесс Орнштейна-Уленбека: H = 0.8 1, 0.01, 0 1 t x t m t dx t x t dt dBH1 t , 2 dy t x t dt dBH t , x 0 N 0, 0 , y 0 0. t 0, T 0 0 0 0 BH1 t , BH2 t - ФБД. Фильтр Калмана-Бьюси: dm t m t dt dy t где 2 2 наблюдаемый процесс оцениваемый процесс оценка фильтра Калмана-Бьюси H = 0.2 1, 0.01, 0 1 t x t m t